梁淑坤国立嘉义师范学院数理教育学系.docx
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梁淑坤国立嘉义师范学院数理教育学系
梁淑坤國立嘉義師範學院數理教育學系
摘要
擬題是指「自己想出數學題目來」。
擬題活動可能有的特徵包括：
個人化、猜想、解題之連接，和粗糙性。
筆者說明這四個特徵後，對擬題類型與結構作初步的介紹，當中提及用已定義或未定義清楚的「已知」和「目標」去判別一個題目是否「結構題」。
結構題的定義是題目的已知和目標均已定義清楚。
把非結構題用個人的組織轉寫成一個結構題的動作就是擬題。
除說明特徵及結構外，筆者更區分出要求擬題者構造的部份是屬於數學內容的，還是情境方面的。
在描述特徵，結構和構造部份中，筆者引出過往的研究工作和結果。
其後，筆者用Polya的解題四階段模式解釋擬題和解題的關係。
最後，筆者以三個國家的課堂實例去介紹幼稚園及小學生在上課時進行擬題活動的實況，並建議讓小朋友們從小小年紀開始，養成自己想數學題的好習慣。
直至近期數學擬題已受數學家和教育家們注意（Silver,1993）。
美國的課程和評鑑標準（NTCMStandards,1989）也提及加設擬題於課程中，其他國家也先後對擬題的研究和課程發展工作有所實施。
本文就它的重要性寫出它的研究和課程上的角色，本文的開始是說明筆者指的「擬題」是什麼，接著分析擬題活動的類型和結構；數學內容和情境安排等。
筆者再進一步討論擬題和解題的關係，以建議擬題在課程中的角色。
最後，筆者以三個不同國家的例子說明應自低年級課程開始就列入擬題的活動。
壹、什麼是擬題？
在本文中，筆者先對擬題作一個定義：
「自己想出一個數學題目來」，就是「擬題」。
在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目。
擬題行為可能含有下列的特徵：
1.組織的方法是屬個人的（idiosyncratic）；
2.當中包括猜想及可信推理（plausiblereasoning）；
3.可以發生在解題前，解題中，以及解題後（before,during,andafterproblemsolving）；和，
4.擬題者把想出的題目寫出來時是較課本的題目「粗糙的」（primitive）。
這些題目可能是非完整性的（Incomplete）；非可行的（Inplausible）；亦可能尚欠足夠解題資料的（Insufficient）。
這裡指的擬題，多在學習者身上發生，而非教師在設計某種（個）數學題讓學生去解答。
在本文中，教師設計題目以配合種種教學目標的稱之為「佈題」；若為「考試」而設計題目，則稱之為「命題」。
佈題和命題不一定是擬題，因為佈題及命題者不一定用個人的組織方式去寫出一個題目來，教師可以直接使用課本的現成題目。
但是，若教師們把這些題目加以修改（如：
加一個圖；把文字題的故事內容從菜市場改到超級市場；把數目字更改）則有「個人的組織」這些題目便有擬題的成份了。
此外，為配合教學目標而產生的題目，都是完整的，可行的，以及包括足夠資料以備解答的，教師佈題及命題時已預知該題目是怎樣解答的，所以不會在解題前或解題中去寫出該題目，而在「解題後」寫出。
（一）、個人化
自己想出來的題目，是個人的產品，不一定和別人想的一樣。
筆者現舉出兩組擬題產品，以說明擬題的個人性特徵，就一個正方形為題材，筆者問了兩位擬題者：
「你可以用一個正方形想出一些數學題目來問小朋友嗎？
」得到下列兩組題型：
1.第一組
1.正方形的邊長多少？
四條邊的長度一樣嗎？
2.每一個角度是多少？
四個角度加起來共多少度？
3.若邊長5公分，求面積、求周長。
4.正方形內的對角線共有多少條？
其長度一樣嗎？
5.正方形的對邊是否平行？
2.第二組
1.用正方形的紙來摺，可以摺出什麼圖形呢？
2.若有一疊正方形的紙，可以砌出什麼圖案呢？
3.我們家裡的用品，那一些是像正方形的呢？
4.注音符號的ㄇ、ㄈ、ㄩ，像不像正方形？
為什麼？
從以上兩組的題目，可以看到兩位擬題者有不同的「個人」看法，第一位是注重正方形的幾何特徵（等邊、等角、對角線相等、對邊平行）及其面積和周長。
第二位則注重正方形的形狀；可摺成的圖案（摺小）及砌出其它圖形（擴大）；什麼圖形像正方形；什麼不是正方形。
（二）、猜想
在模擬的階段中想出一個題目來，也許要用數學的猜想與可信推理（Polya,1954）。
一位擬題者見「2、3、5」一組數字可以擬出什麼題目來呢？
在觀察中，他看到2，3，5都是質數，又猜想他們能組合成其他質數，並反問自己一連串問題像「假如是ˍˍ」，「假如不是ˍˍ？
」。
（Whatif…?
Whatifnot?
見Brown&Walter（1983）一書“TheArtofProblemPosing”）。
以下是他想出的兩個問題。
1.假如其中兩數相乘加餘下的數組合出來的是質數嗎？
（問題一）
2.假如不是「2、3、5」一組，而用「2、3、7」的話，可以用以上所說的方法組織出質數嗎？
（問題二）
（三）、解題前、解題中、解題後
事實上，在解題階段的任何時刻我們都可以擬題。
接上一例子，該擬題者在未解題前想出用2、3、5組合質數的問題。
他在解答第一個問題時，寫出一個性質出來。
性質
（1） 2×3+5=11
3×5+2=17
5×2+3=13
在解題後，他會把「5」改為「7」，寫出上述的「問題二」，可是，在解第二個題目的過程中，新的問題（問題三）又冒出來了。
性質
（1） 2×3+5=11 2×3+7=13
3×5+2=17 3×7+2=23
5×2+3=13 －－－－－
3.引理：
給定一組具有性質
（1）的質數，其中必有一個數字是2。
（問題三）
在寫出問題三時，他猜測出2、3、7也具性質
（1），所以在未寫出7×2+3=17之前，他已擬出問題三來（羅，1987）。
（四）、原始性
在不用解題下的擬題成果會有「粗糙」的味道，因為是先把想出的數學題目馬上寫下來而未經修飾的產品。
擬題者並不像教師佈題時的深思熟慮，他們可能是在一剎那間在腦袋中想出題目來，可能沒有用紙筆起草及撰寫，他們想到的題目，接而連三地跑出來，也會是暫時性的猜想待引證。
在筆者參予的一個實驗中，發現師範學院學生在有限時間內擬題，所擬出的題目有獨創性之處，題目是較「粗糙」的。
其中有未完成的如「把數字加起來」；有非可行的如「求男生比女生的百分率」；亦有欠資料的如「三角形的兩個邊長是5公分、4公分，求第三邊的長」（Leung&Silver,1992）。
我們已知擬題的特徵，接著討論其種類、結構、和內容。
貳、擬題活動類型與結構
Reitman（1965）提及題目的結構時提及下列四種情況：
已知（Given）
目標（Goal）
1.
ˇ
ˇ
2.
ˇ
×
3.
×
ˇ
4.
×
×
「ˇ」：
已定義清楚
「×」：
未定義清楚
Reitman更把第1.類稱為結構題（structuredproblem）而其他三類為瑕結構題非結構題（ill-structuredproblem），我們發現目前的一般教室裡所使用的學生習作中，都是第一類型的題目，已知的資料在題目中列出，要找的目標也寫清楚，學生要做的是把已知用解題方法把目標找出來。
餘下的三類（即2、3、4）我們可以把它們看成擬題作業，供學生上課時作活動，把非結構題用自己的組織寫成結構題，就是擬題了。
以下是三個擬題活動例子。
例一、在Silver&Mamona（1989）的「桌球數學擬題」研究中，已知道的是「桌子是長方形的」，「球是從左下角發出」，「發球的角度是45度」，而目標（例：
若長桌是3×2公尺，球會跑到那一個桌角？
）則任由受試者寫出，這種擬題活動是Reitman指的第二類題目結構了。
例二、在一個拼圓形的問題中，解題者要想出那些卡片合起來是一個圓（Cohen,1993），這項活動的「目標」明確，而「已知」是要從一堆卡片中找出來，雖然「已知」未清楚，但並不是在題中欠缺，如果我們把這個題目改為「想出一個題目，使其答案是一個圓形」，題目便是Reitman指的第三類，亦變了一種擬題活動了。
例三、澳洲學者Ellerton在1986年的實驗中請小朋友寫出一個題目來，「題目的條件」及「題目最終要求什麼」都由小朋友決定，這就是Reitman指的第四類題目結構。
這裡應先補足上述Reitman所分類的欠「已知」和欠「目標」定義，當然是指「外在」的，而非在擬題者內心的世界裡，外在的如研究者提供的「正方形」和「2、3、5」，在內心的指擬題者想到的如「正方形可摺成兩塊三角形」和「2、3、5都是質數」，所以，一個題目之形成是「擬題者亦即提供結構者」（“providerofinformation”,見Simon,1973）下功夫後的結果，並不像Reitman分類表第四類看出來的「無中生有」，而美國學者Winograd（1991）亦有試驗像Ellerton所研究的擬題種類，他請小學五年級的學生去擬題，他亦沒有限制「已知」或「目標」，學生自由發揮，Winograd和Ellerton的實驗有所不同，Winograd的研究是讓小朋友在一般上課時擬題，而且指名是寫故事題（storyproblem）。
從這不同之處，我們亦發現除了用Reitman的「已知--目標」分類法，更可用「數字--故事」分類法把擬題活動分類。
參、數學內容與情境安排
這裡先提及文字題（如包括故事內容的擬題活動）；再提及沒有情境安排的擬題活動。
在前者我們提及「外在」所提供數學內容而擬題者被要求擬出情境來，或相反地在已有的情境中擬出數學題目來，在後者我們提及沒有情境安排的擬題類型。
（一）、已有數學部份而欠故事內容
日本學者古藤伶（1986）曾研究小朋友怎樣去寫出5+3=8的故事題。
他發現小朋友可以想出四類不同的故事來。
其中有「改變」型如「有5人在操場玩，又來3人，所以變成8人」和「併加」型如「紅花5朵和白花3朵共有多少朵花？
」；亦有排先後的「一郎排在從前面數起第5位，一郎後面的第３位是二郎，問二郎排在由第一位算起的第幾位？
」；最後亦有問加法反運算的問題如「操場上有一些人走了3人還有5人，原有幾個人？
」。
這種擬題是可以覺察到學生的日常生活經驗，亦可以知道他們是否將現實生活與數學世界相結合。
在Kilpatrick（1987）提及「好的問題那裡來」時，亦提及晒衣服的鐵架所用的鐵線網製造時的鐵線長度超過晒衣架的圖的周長，因為接口即需用鐵絲;英國學者Greer（1991）亦提及像古藤伶所使用的題材下叫學生擬題（如3+5=8），學生可以問及繩子5公尺長，再結上另一3公尺長的繩子，共多長？
Greer指出學生在擬故事時只注意數學而忘記了結繩子會縮短了繩子的事實。
在另一組類似的擬題實驗中，研究者提供540÷40的直式計算餘數為20，而我們的師範生去擬出故事題（Silver,1993）
研究者亦發現一些不合乎現實生活只顧數學部份的題目，如「農夫丁種540個南瓜，若每行種13個則可種多少行？
」及「禮堂裡共540學生，他們共座40排，每排座多少人？
」在第一和二個題目中，13個瓜和13人都是不可行的，但計算上則絕無問題，而故事題是可配合算式的。
（二）、已有情境安排（文句或圖片）而欠缺數學部份
這一類型的擬題活動是希望擬題者寫出在已知的情境安排下寫出數學題來。
情境安排可以是用文字描述，亦可以是用一個圖畫。
擬題者要用自己已理解的知識去閱讀圖片文句再擬出題目來，這裡舉出兩組實驗，第一組是用十五枝火柴枝排出一排正方形而要求學員擬出數學題目來（梁，1993），第二組是用一段描述游泳池的注水及排水的文字以要求學員擬題（Leung,1993），這兩組實驗可看出學員怎樣把情境中的物件或數字建立關係，以下舉出實驗中的實例以說明每一個擬出來的題目，學員是怎樣用個人的體驗把情境「數學化」。
1.例一、在「十五枝火柴」實驗中，研究者所附圖如下
．學員看出「正方形」數目和「火柴枝」數目的關係，問及「若果排出30個整正方形，要用多少枝火柴呢？
」
．學員會在圖中加兩點，「甲」和「乙」
再問「若一個人從甲點走到乙點共有多少路線可走呢？
」
2.例二、在「游泳池」實驗中，研究者所附的文字描述泳池有注水管、排水管，以及要定時清洗。
．學員會自己附加資料擬出算術題如「若泳池有6000立方公尺的水而排水速度是每分鐘20立方公尺，則要多久才可把一滿池的水排完？
」
．學員也許會自己附加故事內容說「若泳池不受鄰里歡迎而改建為公園，要填土多少才把泳池變平地？
」
在這裡，我們已提及什麼是擬題，再提及擬題的種類。
可是，擬題者想出題目來，有沒有考慮是為誰寫的？
有沒有考慮其難度？
有沒有驗證它是否為可解的？
從學習者立場來看擬題，所擬的題目是給學習者自己去解答，擬題者在擬題後有「解題」的動機和興趣是自然的，筆者在下一段建議出一個擬題和解題的關係來。
肆、擬題和解題的關係
Polya（1945）在他的書「如何解題」（Howtosolveit）中提到解題時，說明解題過程共有四個階段：
理解（Understand），策劃（Plan），實行（CarryOut），和回想（LookBack）。
解題者為何先要了解題目？
因為解題者在解答別人擬好之題目，若果解題者亦是擬題者，他（她）當然清楚題目的內容，馬上可以做策劃功夫，不用再理解他（她）自己擬出的題目了。
在解題時也許會想出新的題目來，然後再策劃、再解題。
再者解題後可將所得結果整理後再擬出題目來，這樣下去，可以變成永無休止的擬題和解題活動筆者試把這擬題和解題的關係用Polya的四階段說明於下面兩個圖
如上圖所表示，擬題取代了「理解」階段，而「回想」階段可再擬出其他題目來，若有動機去解再次擬出的題目，則要再次策劃及實行了。
伍、讓我們的學生自己動手去擬題
現在要介紹的，是筆者參考其他學者所發表有關在上課時讓學生自己擬題目的心得，希望讀者一賭學生上課的情形，首先列出所介紹的三個例子。
學者名稱
國家
學生年級
教師
Skinner
澳洲
幼稚園至二年級
Skinner本人
Tsubota
日本
小學一至三年級
Tsubota本人
Winograd
美國
小學五年級
另一位老師
（一）、從小小年紀開始
澳大利亞一位教師PennySkinner在1985-1987年任教幼稚園至二年級的同一班學生時是使用解題取向的方式上學，她特別強調，所用之題目大部份是由學生想出來的，這就證明，小小年記就可以自己想題目去解答了。
Skinner把這兩年半的教學經驗及學生的習作整理後在“What'sYourProblem?
”（1990）一書中與我們分享她上課的樂趣。
Skinner先提及問題的兩個基本條件，第一，問題是解題者擬出來的，這樣，解題的動機就會很高，要知道答案是理所當然的。
第二，解題者要動腦筋才可以解題，若問題說出來後馬上可以念出答案來，就表示問題太簡單，不用解題了。
在這一書裡，Skinner區分「真實問題」（RealProblem）和「假想問題」（ContrivedProblem）。
真實問題是符合上述兩個條件，如「我們怎樣分成四組？
」「我們還要買多少枝鉛筆？
」，老師只要察覺到問題存在時馬上邀請讓學生用自己的方法去解答。
另一方面「假想問題」的添加可讓課程內容獲得更好的平衡。
「假想問題」並不真實，所解決假想問題的動機不如真實問題，但若鼓勵學生擬出「假想問題」時，效果就不同了，擬題後的解題變得有意義得多，解答同學想的題有真實感而不至於像解題是為滿足教師要求而已。
Skinner在書中舉出不少學生寫出來的問題，其中有和不同學科有關的（自然、社會、美術、文字），亦有關不同數學內容的，若題目類型不平均，Skinner自己會添加一些或引導方式先指導學生擬出他種類的題目來。
當小朋友學過奇偶數後但沒有擬出奇偶數來時，Skinner剛好看到一位小朋友寫出「大廈著火了，救火員，快快來！
」她便把故事延續「現在救火員在爬樓梯了，他在梯的中間那一級，還有三級就到梯頂了，雲梯共有多少級呢？
」這樣小朋友就想出接而連三的問題而討論到有關奇偶數了！
一些小朋友擬題時只改梯級數但保留「中間」那一個條件。
有一些發現無論還有三、四、五、六級，只要救火員站在中間，梯級的總數還是奇數，於是便討論起來，最後還總結出「梯級數可是任一奇數但不能是1，因為救火員沒有中間一級站立了！
」Skinner趁機會更鼓勵他們再擬一些有關的問題，小朋友想出的問題如下：
「兩個奇數相加是什麼？
」
「三個奇數相加是什麼？
」
「任意相加奇數個奇數是什麼？
」
「兩個偶數相加是什麼？
」
「一個奇數加一個偶數是什麼？
」
小朋友更列表去解題，並作結論，討論得興高采烈，最後他們還以奇偶數為主題想到摺紙問題如下：
「先把紙張對摺，再用打孔機任意打孔，之後，把紙張翻開再數一數有多少個孔，是奇數還是偶數？
請檢查答案？
」
其中一個小朋友David更把故事改為
「一條毛絨對摺為雙線
，再剪任意多少刀，請數一數剪出多少段，是奇數還是偶數？
」
Skinner著重於自然帶出上課內容而又讓學生參予課堂內容的設計，若果有教師懷疑這個方式不妥，擔心學生想不出題目或想出與數學無關問題而使教學失敗，筆者則建議他們參考Skinner的著作找答案。
最值得一提的是有關修改已寫出來的題目，小朋友在解答別人擬出的題目時會反問擬題者，擬題者從別人的疑點發現漏洞或語文的不當再加修改，擬題和解題是相連性的活動了。
（二）、培養分析發展問題的能力
日本的數學教育方面很注重創造能力的培養（Shimada1977），所以，在解題活動中建議要用開放性解題（Open-endedproblemsolving）。
該開放性包括解題後的延續，先不要急著結束，而以這個題目做基礎，去做出新的問題。
這樣做的話，老師又會發現自己從未注意到的問題，而平時上算術課時不活躍的小孩子，會在擬題活動時出乎意料地活潑起來，使得老師不得不另眼相看，而對教材的看法也會改變。
一位日本教師（Tsubota,1987）彙整其任教一、二、三年級的實例而寫成「日本文」一書，帶出小孩子想題目的精神。
他認為上課時讓學生出題目，主要在培養兒童的分析發展問題能力。
Tsubota認為算數的目標，也應考慮到培育小孩子的創造力，其理由有兩個：
第一個是養成適應現代激烈變化的社會的能力。
第二，是為了保持心裏的健康。
人們要把自己的力量充份地發揮出來，如果總是做既定的事物，漸漸會失去創造力，而只能做一些最低限的事情。
也就是說，遇到未知的問題時，培育出充分發揮自己潛能來解決問題的力量，是很重要的目標。
換成算數科的數語，就是「在各科問題場合中，把它拉進算數的領域，形成問題後，再試著動員所學習過的知識、技能、想法，來解答問題的能力」。
在教材的開發中，使小孩子經常有「為什麼」的心情，是最好不過的了，因為老師不用再三說明，小孩子本身就會有追究問題的意識。
之後，不要把教科書照本宣科的使用，因為課本是依全國平均水準編列的，教師應自己有一套輔助教材，而課本上的習題，亦不一定要原封不動地使用，而考慮把問題提示的條件部份，稍加修改，得更精練才使用。
製定一定的格式，找出一個正確的答案，問題就結束了。
但是，試著把問題的條件更改。
或是改換數值，或是去掉某些數值，或是加入一些不需要的數值，這樣做的話，或許答案就不會只有一個，甚至於沒有答案。
此時，小孩子就會產生疑問，而必須自己來判斷。
大部份的小孩子會因此而活躍起來，去分析問題，去發展問題。
Tsubota所提及的例子，以解題後擬題為主（例如：
解答三角形之問題想一想四邊形又如何），而不像剛才提及的澳洲教師Skinner的上課情形，她要求學生先擬題再解答擬好的題目。
Tsubota所形容的是老師先提出一個問題，學生好好地解答，之後，邀請學生想出其他問題來，學生可以用剛才解過的題目為基礎，再擬出題目來，亦是Tsubota在書中所指的「從問題中出問題」，Tsubota說明的出問題方法共有七個。
1.模仿法或類題法（學習某個問題後，做出和此同樣的題目）。
2.算式法（提出一個公式，再做出適用此公式的問題）。
3.原理法（給與四則算法和通分等原理，做出和此相對的題目）。
4.訂正法（出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是給與其他不必要的條件，或做出矛盾而訂正的方法）。
5.實驗法（實驗或以具體東西的操作，再以此事象為根基做出問題）。
6.自由法（以自由的題材，做成自由型式的問題）。
7.題材法（給定題材來做問題）。
像這樣的做題目法，融入教學之中，也是一種有價值的指導。
現在的日本教科書中，低年級的部份也時有所見如此的內容。
國內現行設計實驗課本，是否也要注意這一方面的改革！
小孩子在像這樣的活動中，到底做出怎樣的問題呢？
以下是三年級所做的例子，用這個例子來考慮看看。
先前的問題（原題）是兩位數乘上一位數的問題。
解答這個問題之後，小孩子做的問題就多樣化了。
其中最多的就是著眼於數字的出題方式。
（著眼於數字作出的題目）
這個問題是把邊長改變，而問題的架構卻沒有變。
然而，解答原題時是36×3的式子，而以48代替36，變成48×3就可以了。
像這類的問題中，也可能從36公分這種二位數，變成三位數的108公分。
出現這種問題的話，可能成為三年級階段好的學習的第一步。
以下所舉的是改變出現場合的東西的問題。
（著眼於事物所做出的問題）
又，可以把正三角形變成其他的圖形來製作題目。
（改變形狀所作的問題）
像這種問題，因為三年級還沒有正六角形的概念，可以用圖形說明其為邊長相等的六角形。
和原題比較的話，就是改變被乘數。
改變數值、事物、形狀已分別說明後，當然小孩子可以把這一些加以組合，以變更點的不同，就可做出各種不同的題目。
更進一步，我們可以把平面的圖形變成立體的圖形。
（以類堆的方式做出題目）
因為三年級的小孩不懂立方體的意義，所以我們可以說成是骰子形狀。
做成像這樣的問題，小孩子未必會解答。
這是因為乘數是二位數的緣故。
也就是說，因為立方體的邊有12條，所以可以提出像36×12這樣的新的問題。
其他，我們可以舉一些較複雜的組合問題。
（做組合問題）
像這樣是把正三角形和正方形的組合在一起形成的複雜問題。
可以用36×4×2－36×3×2的計算式子來計算，也可以知道正方形長36公分的乙倍。
又，可能會有把題目結構反過來的小孩子
（用相反的結構所做的題目）
像這樣以相反結構做成的問題，演算的規則也會改變。
乘法變成除法。
由三年級的問題演變成4年級的內容。
在這個階段或許沒辦法直接解答問題，但形成這種場面時，就可理解這是用除法可以解答的問題。
成了有意義的問題。
最後還會出現構造相同，而場面完全不同的問題。
（相同構造，不同場面的問題）
有三個袋子，每個袋子各放36枝鉛筆，鉛筆共有幾枝？
故出像這種問題的場合，最好把原題的組織，以乘法的一般化來處理。
要真正了解到問題的真意所在。
以全體的問題來講，如能使其仔細體會有什麼共通點的話，那就是很好的活動了。
（三）、擬題過程比成果重要
美國學者Winograd（1990）的博士論文是書寫，解答和分享原創性的數學故事題。
筆者閱他的博士論文，而得到豐富資料，Winograd和Skinner及Tsubota不同之處是他與另一位老師合作，而他只作研究者身份去觀察上課的情況。
Winograd比較注意師生互動方面，用個案手法（CaseStudies）去追蹤Donna及學生在五個月內上課時的寫題目活動，這一組五年級學生是分小組上課，每週約有三至五次是要寫故事題（Storyproblem），之後，他們會討論並了解擬題者的動機，在下課後，研究者從晤談中找出學生對上課的感受。
五年級的學生會認為這樣上課很有意義，他們對「好題目」的定義是要難倒同學的。
同
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