讲义分式方程与实际应用.docx
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讲义分式方程与实际应用
学科教师辅导讲义
学员编号:
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学员姓名:
辅导科目:
学科教师:
授课
类型
T(分式方程)C(分式方程与实际应用)T(综合提高)
授课日期时段
教学内容
韦复习巩崗
A•*
一、整理你所学到的知识:
1、分式:
一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子万就叫做分式•其中,
A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.
2、分式的基本性质
分式的分子与分母冋乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为:
AAxCAA^C
BBxU,月月,其中AB、C是整式且B’C工0.
3、通分:
利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个分式化成
相冋分母的分式,这样的分式变形叫做通分.
通分的关键是确定几个分式的公分母一一系数取几个分母的系数的最小公倍数,因式的次数取
相同因式的最高次数.
4、约分:
利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变
形叫做约分.
二、巩固与提升
23
1、计算—的结果是()
X-11-x
AB.C.D.―5
x-11-xxT1-x
2、先化简,再求值:
(1-)十「,其中m=2.
in+2irH-l
三、•我仍需要继续关注的问题是
四、预习作业检查
蚤同步
一、同步知识梳理
知识点1:
分式方程:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
知识点2:
分式方程的解法
1去分母:
即方程两边都乘以最简公分母,化分式方程为整式方程
2解这个整式方程
3验根
二、同步题型分析
题型1:
分式方程的概念
例1、
下列关于X的方程中,是分式方程的是(
)
x3
x亠5
x
a
xb
A.
4二
B.
—
——
=—+—
3
5
a
b
ba
C.
(x-1)21
x1二1
D.
x
n
x
X1
n
m
n
解答:
选C
小结:
考查分式方程的概念,即分母中有未知数的方程为分式方程。
例2、将分式方程2y5*1=4-3y化为整式方程时,方程两边应同乘()
2y—624-2y
A.(2y—6)(4-2y)
B.
2(y—3)
C.4(y—2)(y—3)
D.
2(y—3)(y—2)
解答:
小结:
考查最简公分母。
题型
2:
解分式方程
例1、
分式方程
2亠—6的解是(
x-2xx(x-2)
A.
B.2
C.
D.无解
解答:
小结:
分式方程分母为0时方程没有意义。
方程1-1的解是
解答:
x=0
=1
-3
(1)去分母:
即方程两边都乘以最简公分母,化分式方程为整式方程.
(2)
解这个整式方程
(3)验根
2(x-3)x2=x(x-3)
化简得,
5x=6
经检验x=6是原方程的根。
5
-2
x-22—X
分析:
经过观察,我们发现两边的分母互为相反数,改变一边的符号就可把分母化为一样,然后再去分母化整。
解:
将原方程变形得,
xX
x—2x—2
方程两边都乘以(x-2)得,
x(x-2)x=2
化简得,X2-x-2=0
解得,=2,X?
--1
经检验xi=2是增根,X2--1是原方程的根。
所以,方程的解为x--1
眉uX2+13(x+1)
例5、亠一24
x+1x+1
分析:
直接解这道方程会有难度,通过观察,我们不难发现前后两个分式分子分母其实是互
为倒数的,那么我们可以运用换元法去解方程。
o
去分母,化简得,y-4y=0
解得,y1=1,y2=3
解得,
3+717
x^1,
X4
3
2
所以,
经检验,它们都是原方程的根
总结:
(1)用去分母法;
(2)题用化整法;(3)题用换元法.
题型3:
其他应用
例1、若分式方程一3x—+—a—=1的解是x=0,则a=
2x-77-2x
解答:
把x=0代入方程中解出a,得a=7.
11
例2、已知a=1…—,b=1--,用a表示c的代数式为()
bc
111-a
A.cB.aC.cD
1-b1-ca
解答:
D
三、课堂达标检测
1、
F列关于x的方程中,不是分式方程的是
2、
A.1+x=1
x
方程x一1=X_3的解是(
x+2x+4
B.
3x
一2
x
x3x—+•
3
x
16
3、
4、
A.x=—4
方程
x
1
——2
-3
B.
C.
x=3
D.
x=1
A.0
将公式
RR2
A.R^R2-R
C.R1二
4二X的解是
x—3
B.2
C.
D.无解
R2
(R
R,
艮均不为零,
RmRO变形成求
R的式子,正确的是(
rr1亠rr2
R2
RRz
DR1二r_r2
1xx-1
x
厶-1
6、
方程x
x一2的解是
x-5
x-6
7、
当x=
时,分式
3上
亍2
的值互为相反数
x
6-x
&
当m=
时,方程
2
-1=3
的解为1.
5、
F列每小题中的两个方程的解是否相同?
9、
mx
12
分式方程+—
若要化为整式方程,在方程两边同乘的最简公分母是
(1)
x23
与x+2=3(
x-2x-2
x_i2二4与x+2=4(
x—2x—2
(3)
1
x+2+=3+
x-1x-1
1
——与x+2=3
10、解分式方程
(1)7x-2=0
x+2
(2)
7
x2x
_6x2-1
(3)
x2-4x
x2-1
2x
x1
528x/x—jx—1
x-16x44-x
参考答案
1
1、C2、B3、D4、A5、(x-1)(x+1)6、x=107、188、
2
9、
(1)是
(2)不是(3)不是10、略
、专题精讲
题型1:
工程问题
例1、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵,工人为支援四化建设,每天比原计划增产25%,
可提前10天完成任务,问原计划日产多少台?
分析:
本题的等量关系是:
工作时间=工作总量十工作效率,由题意原计划用的时间-实际用的
时间=10天.
解:
设原计划日产筈个零件,
解得:
x=80■
经检噓,80是原方程的根*
苔:
原计划日宇80个零件•
小结:
本题考查分式方程在工程问题中的应用,找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键•工程问题常用的等量关系为:
工作时间=工作总量十工作效率.
例2、现要装配30台机器,在装配好6台后,采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍,
结果共用了3天完成任务。
求原来每天装配的机器数•
丹忻:
本题先很堀题意谒出等量关乘即总的工作时间为3天・从而列出方程--^=3,鶴出方理,最后检验弁作替.
I2x
解罟:
騎:
设厘来毎天装即机器X台,依题意谆:
6JO-6-.
解退个方程得:
k=6-
嵯检验:
買二方是原方程的辭,
昔:
原来画天装母机器&台.
点评:
菇题主要考叠分式方程的应用,解题的关镣是栈岀题中的等重关枭,辻意:
京出的结果必须检验目还要看是杏存合题意.
例3、某工人计划在一定时间内完成48个零件的加工任务,完成一半后,改进了操作方法,使
加工的速度提高到原来的1.5倍,这样提前2天完成了任务,求该工人原计划每天加工多少个零件.
分析:
设原计划每天加工x个零件,根据改进技术后加工24个零件用的时间比原来用的时间少
2天为等量关系,列出方程,再解这个方程就可以求出其值.
解吾:
解:
设原计划每天加工龙个寒件,谀进技术后馬天加工1-5龙个窸件,由题意,得
48-24S-2_48_
解得:
x=4・
经榆验!
沪4是原方程的根*
答:
该工人原计划每天加工4个零件.
点评:
本题考查了列分式方程解决生活中的实际问题的运用,分式方程的解法•在解答中分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键•在解答中容易忽略的问题是不验根.
题型2:
行程问题
例1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米,已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36
千米所用时间相等,求这个人骑自行车每小时走多少千米?
甘折:
先设她输自行车的鬼度每小时走x干米・根葩也歩行12千米斯用的时胃与轎自行车北干輩斯用的时回相等,列出方程,求出方程的解即词解答:
常:
谀他喑自行车的傀度闰小的走*干米』抿据题意得:
1236
jFs'T
萊得:
K=12-
轻楹骏:
x=l2是原分式方程的斛・
答;他嵋自行车的歪匿是12二米F小时,
臣评:
上E题者査了曲戒方理的应用*关飪是读临強至*找到关程須述语,战到合迢的等虽关為,列出方禮求幫,
例2、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动,先遣队与大队同时出发,但行进的速
度是大队的1.2倍,以便提前半小时到达目的地做准备工作,求先遣队和大队的速度各是多少
分析:
本题的等量養素再豁程二谨度X时间.由题意司知先的旳间+1•昌小时二尢饥用的时冃!
•解暂:
解:
设大臥的谨度是船千米/时,先谴肽的連度是i.2x=F米/■时,
由题意得占一-0.5二空*
1.2jcx
解得]<=5,
经检聽!
炸5是原方穫的解!
■■-1.2^.-6>
箸:
先适臥和大駅的速度分别是E千米/时*5千米/时・
|点评:
|別幷式方程韶应用题与所有列方程第应用题一样,査点在于准确地拔出相等关系,这是列方程的依据.
例3、夏季里某一天,离供电局30千米远的郊区发生供电故障,抢修队接到通知后,立即前去
抢修.维修工骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果两车同时到达抢修点.已
知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍,求这两种车的速度.
为忙设金托车的iSIE加干米曲愿抢储车的世虫如亦米曲很1B时司之司的等更关采列出方眉学二晋嚅'求出坦箔进司.
解言:
窮;设匡托车罰匣度药h千米/时,划抢懐车的產歴対1,显千米/曲.根摇題总*得
30^30
J'―l.5jf60'
辭这伞方程■得e=40^
经箱酣,x=4。
是原方程的很.
故枪幄车的遁度为]1.5z=l.5X40-6D■
霑;區梅车闵匣度药40千議川力推假车的逮度为牝千米/时.
点押:
本題是一谊丢于行程冋題的应用癒,式方趕在留决英歸河陋中的运用,別方思财腿的矢建是质到等車丢弟,要注意的是舟式方程必顶螯
题型3:
其他问题
例1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等,已知轮船在静水中的速
度是每小时18千米,求水流速度.
分析:
关系式拘:
枪船顺水航行阮千米所用时间=逆水航行翻千米的时间,把相关数值代入计莫即可.
解薈:
解:
设水流的谨度为朮千米/时.
4S
18+x~18-x'解得斫话,经检验孟=罟是原方程的解-
—一54
普:
水流速度为二千米/时.
例2、乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市,水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅,
前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg,第三天她发现市场上乌梅数量陡增,而自己的乌梅卖相已不大好,于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%勺价格全部售出,前后一共获利750元,求小
李所进乌梅的数量.
分析;
先设小李所进马将的埶皇为xk.很拥前启_共获利ted元,列出方程,求出氏的值,冉退行检验即可.
解簷:
鯛:
设小李所进乌梅的教里向孟k即很拥趣意得:
5000”\3000
4035U50-(k-150)2C%=750-
XX
解得二x=200,
经检^k=200是原方程的解,
答:
小李所港乌枸的教蛍対页Qks
电评:
此駆者査了分式方程的应用,解题的黄键呈读憤题意,携出之间的等卑養系・列出方程・領分式方程时要注意检验-
、专题过关
1某班学生军训打靶,有m人各中靶a环,n人各中靶b环,那么所有中靶学生的平均环数是()
A.ab
B.
ambn
mn
mn
c.1(ab)
D.
1
一(am亠bn)
2mn
2
2.某农场挖一条480米的渠道,开工后,每天比原计划多挖
20米,结果提前4天完成任务,若设
原计划每天挖x米,那么下列方程正确的是(
)
人480480,
480
480"
A....4
B.
■20
xx+20
x
x4
C4804804
D.
480
480-20
x—20x
x—4
x
3•仓库贮存水果a吨,原计划每天供应市场m吨,若每天多供应2吨,则要少供应天.
4•某人上山,下山的路程都是s,上山速度vi,下山速度V2,则这个人上山和下山的平均速度是
5•若一个分数的分子、分母同时加1,得1;若分子、分母同时减2,则得丄,这个分数是•
23
6•—辆汽车先以一定速度行驶120千米,后因临时有任务,每小时加5千米,又行驶135千米,结
果行驶这两段路程所用时间相等,求汽车先后行驶的速度.
7.—个工厂接了一个订单,加工生产720吨产品,预计每天生产48吨,就能按期交货,后来,由
于市场行情变化,订货方要求提前5天完成,问:
工厂每天应该生产多少吨?
&甲、乙两同学学习电脑打字,甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同,
已知甲每分钟比乙多打12个字,问甲、乙两人每分钟各打字多少个?
9.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤,已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100
吨煤的时间相同•问现在平均每天采煤多少吨?
10.某一工程招标时,接到甲、乙两工程队的投标书,每施工一天,需付甲工程队工程款1.5万元,乙工程队工程款1.1万元.目前有三种施工方案:
方案一:
甲队单独完成此项工程刚好如期完成;
方案二:
乙队单独完成此项工程比规定日期多5天;
方案三:
若甲、乙两队合作4天,剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
1、B2、A3
2a
m(m2)
2V|V2
v1v2
5
11
哪一种方案既能如期完工又最节省工程款?
参考答案
6解:
设汽车之前的速度是xkm/h,则之后的速度是(x5)km/h,由题意,得
120_135
xx5
120(x5)=135x
120x600=135x
x=40
经检验:
x=40是原分式方程的解
x+5=45(km/h)
答:
汽车之前的速度是40km/h,之后的速度是45km/h。
7、