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数学史报告

數學史報告

授課教授：

李珠矽老師

報告人：

夜數碩二

俞宗賢M9431716

報告主題：

卡爾達諾

（Cardano,Girolamo,1501-1576）

卡爾達諾

（Cardano,Girolamo,1501-1576）

一般稱其英文拼法名字卡當（Cardan）。

1501年9月24日生於義大利的帕維亞（Pavia），1576年9月21日卒於羅馬。

早年學習古典文學、數學和星占學，後入帕維亞大學讀醫學，1526年獲醫學博士學位。

1534年成為數學教師。

1539年到米蘭醫學院任教，1543年成為帕維亞大學醫學教授。

他在醫學上曾是聞名全歐的醫生，也是第一個記載斑疹傷寒病醫療方法的人。

在文藝復興時期是一位舉足輕重的數學家也是一位典型的人文主義者，除了數學他也專注於收集、組織、研究、評論希臘和羅馬的成果，他被譽為16世紀文藝復興時期人文

主義的代表人物和百科全書式的學者，一生共寫了各種類型論著200多種，內容涉及力學、機械學、天文學、化學、生物學、密碼術、及占星術等等。

卡當有個不幸的童年，在40歲之前，他窮得一無所有。

個性孤僻，、自負、缺乏幽默感、不能自我反省，並且往往在言談中，表現得冷漠無情。

他為了逃避窮困、病痛、毀謗和不公平的待遇，曾在25年之中，每天玩骰子，並天天玩棋達40年之久。

青年時代，他致力於研究數學、物理。

從帕維亞大學醫學院畢業後，在波隆納和米蘭行醫並教受他人醫術，成為全歐有名的醫生。

這期間，他也受聘在義大利的多所大學，擔任數學講座。

       西元1570年，因丟擲耶穌的天宮圖，被視為異教徒，而被捕入獄。

不過，令人稱其奇的是，主教隨即以占星術士來聘用他。

卡當的著作涵蓋了數學、天文學、占星學、物理學、醫學以及關於道德方面的語錄。

藉著辛勤的耕耘，他將古世紀、中世紀以及當代所能蒐集到的數學知識，編成百科全書的形式。

他更將自己珍愛、偏好的數論和代數理論，結合在一起。

       西元1545年，他出版的著作《ArsMagra》（大術），在代數學上具有相當重要之地位。

書中首次出現使用符號的雛形，例如：

"3.quad.quad.p.29.quad.p.57.aqualia36.pos.p.74."這相當於"3X4+29X2+57=36X+74"；他對三次及四次方程式提出了系統性的解法，這是一個非常重要的成就。

      卡當在代數學上的另一個貢獻，是認真地引入了虛數，並接受虛數是方程式的根。

虛數的出現，是數學史上一件大事。

虛數和原有的實數統稱為複數系。

根據代數基本定理，在複數系裡任何多項式必有根，而且n次多項式恰有n個根，這就解決了根的存在性問題。

要解出方程式的根，在複數系中，便可迎刃而解了。

       除了在代數學上的重要成就，卡當在概率論這門學科上，也扮演了奠基的工作。

例如在其《DeLudoAleoe》（博奕論，西元1663年出版）一書中，他已經計算了投擲兩顆或三顆骰子時，在可能方法裡，有多少方法是得到某一點數，這可以說是機率論發展的一個濫觴。

以下提出兩個有關卡當的數學故事

故事一：

塔達里亞vs.卡當，究竟是誰想出了三次方程式解?

故事二：

虛數

的誕生

故事一：

塔達里亞vs.卡當，究竟是誰想出了三次方程式解?

自然科學是人類共同的財富，它的誕生和發展凝聚著許多科學家的心血。

在科學上的某一發現或發明，即使在相當不同的文化環境裡，也往往有許多科學家同時或先後為之奮鬥。

正因為這樣，在自然科學史上，就會經常產生發明權或發現先後的爭議。

於是，無可避免地形成了自然科學史上一系列懸而未決的疑案。

翻開十六世紀的數學思想發展過程，最令人津津樂道的一個懸案莫過於「三次方程解法之爭」。

其中兩位主角塔達里亞（N.FontanaTartaglia）和卡丹諾（Cardano）雖然早已蓋棺，但事實真相卻仍無法論定。

緣由

遠在巴比倫時代人們就已經知道用配方法解二次方程式，而對於三次方程式，除了一些孤立的情形外，仍不時地困擾著數學家，甚至在1494年，巴喬里（Pacioli）假定了一般三次方程式不可解。

這個論斷既代表了當時一般人的認識，又刺激了人們對尋找三次方程求根公式的強烈興趣，以致使尋找三次方程的公式解法成了當時數學界十分風行的課題。

大約1500年，波隆那（Bologna）的數學教授費羅（Ferro）解過形如x3+mx=n的方程式，但他並沒有發表其解法，因為在十六世紀和十七世紀中，各種發現都被祕密地藏起來，並持之以向對手挑戰。

大約1510年，他將這個精心研究的解法交託給一個學生費奧（Fior）以及他的女婿兼繼承人納維（Nave）。

但這項工作在布瑞西亞（Brescia）的塔達里亞出場之前，一切都還沒有什麼進展。

孩提時代，由於被一個法國軍人用軍刀從臉上劃過，而使他患了口吃，所以大家都稱其為塔達里亞（口吃者）。

在窮困的環境中成長，他自修學得拉丁文、義大利文和數學，雖然文學程度不怎麼好（據說其著作常令讀者發噱），但是憑著豐富的知識，他在義大利各城市中傳授科學以賺取生活。

當時由於三次方程還沒有公式，很多數學家都在潛心鑽研三次方程的解法。

而塔塔利亚在三次方程的解法上一直走在前面。

而塔達利亞在三次方程的解法上一直走在前面。

1535年初，他对外宣称已经知道了三次方程的解法，但绝对保守秘密。

1535年初，他對外宣稱已經知道了三次方程的解法，但絕對保守秘密。

这引起了一名叫菲俄的数学家的不服，他也称自己会解三次方程。

這引起了一名叫費奧的數學家的不服，他也稱自己會解三次方程。

塔塔利亚认为他是吹牛，于是相约于1535年2月22日在米兰大教堂进行公开竞赛。

塔達利亞認為他是吹牛，於是相約於1535年2月22日在米蘭大教堂進行公開競賽。

　　塔塔利亚闻知菲俄得到当时的大数学家费罗的秘传，而自己的方法又欠完善，深知要取得胜利，必须想出更好的方法来，于是他重新开始钻研，常常彻夜不眠。

　　塔達利亞聞知費奧得到當時的大數學家費羅的秘傳，而自己的方法又欠完善，深知要取得勝利，必須想出更好的方法來，於是他重新開始鑽研，常常徹夜不眠。

比赛日期一天天临近，2月12日夜，他照例伏案工作到黎明，当他步出户外，刹那间豁然开朗，多日思考，有了结果。

比賽日期一天天臨近，2月12日夜，他照例伏案工作到黎明，當他步出戶外，剎那間豁然開朗，多日思考，有了結果。

他终于掌握了较好的解法。

他終於掌握了較好的解法。

　　2月22日，竞赛正式开始。

　　2月22日，競賽正式開始。

两人各给对方出30个题目，谁解得最多最快，谁就胜利。

兩人各給對方出30個題目，誰解得最多最快，誰就勝利。

塔塔利亚在2小时内解完所有题目，而菲俄一个题目也解不出来。

塔達利亞在2小時內解完所有題目，而費奧一個題目也解不出來。

塔塔利亚大获全胜而归。

塔達利亞大獲全勝而歸。

卡當逼著他透露解法，在得到不洩密的保證後，塔達里亞將這種解法寫成含糊的詩體形式交給卡當，這是1539年的事。

1542年，卡當諾和他的學生費拉里（Ferrari）在訪問納維的機會裡，確知了費羅的方法與塔達里亞的是一樣的，所以就不顧自己所提過的保證，在《ArsMagna》中發表了這個方法的解說。

在該書的第十一章裡，他說:

「波隆那的費羅大約在三十年以前，發現了這個規則，並將之交給威尼斯的費奧，他與塔達里亞的較量為後者提供了發現這個規則的機會;塔達里亞應我的要求將解法透露給我，但保留其證明。

有了這些幫助，我推出了其各種形式的證明，這是相當困難的，我的觀點如下：

……」。

卡丹諾舉了x3+6x=20為例說明他的方法，但為了不失一般性，我們考慮x3+mx=n其中m,n均為正數。

他提出輔助量t和u，使t-u=n

（1）以及tu=（m/3）3

（2）。

其次他假設

（3）。

由

（1）和

（2）可以消去解得

卡丹諾所取的是正平方根，既然得到t和u，再代入（3）就能得到x的一值，這也正是塔達里亞所得到的根。

如果解法只寫到這裡，相信有很多人都會提出疑問，難道（3）式一定是正確的嗎？

於是卡丹諾也附上了幾何觀點的證明，確定（3）式是無誤的。

塔達里亞對這種背信提出抗議，並且在他的《Quesitiedinvenzionediverse》（1546年）中公開自己的解法；然而，這部著作和他的另一部著作《Generaltrattatode'numeriemisure》（1556年）均未對三次方程式本身做更進一步的探討。

到底是誰先解開三次方程式？

這個爭論導致塔達里亞和卡丹諾之間發生了公開的衝突。

卡丹諾的學生費拉里挺身而出，竭力為他的老師辯護，在塔達里亞和費拉里之間前後許多次的通信，都是互相譴責以至最後變成雙方肆意謾罵收場。

在這場爭論中，卡丹諾始終保持著中立。

而塔達里亞本人也不能免於被責備，他出版了一本得自於WilliamofMoerbecke有關阿基米德之作品的譯本，且自認已經發現了斜面運動定律，然而這個定律實際上是得自Jordanus。

另一種解釋

通常在這時期的義大利數學家的社會背景大致可分為以下四群:

那就是技術員、醫生和城市的專家、小土地的貴族以及都會貴族。

而要成為專業的精英，通常也要以社會和經濟地位作為判斷的基準。

由以上所討論的觀點，現在再讓我們回過頭來看看塔達里亞和卡丹諾之爭-「究竟是誰想出了三次方程式解?

」-這樁懸案時，應該能對整個事件有更清楚的了解，也較能知道其所代表的歷史意義。

由於卡丹諾是大學理論醫學的教授，而塔達里亞為實用算術和幾何的大眾教師，兩者的社會背景自有不同。

當塔達里亞在1540年代攻擊卡丹諾時，卡丹諾已躋身於醫學界的精英群中並頗有名聲。

當時的卡丹諾既沒有接受也沒有明顯地拒絕塔達里亞的挑戰。

因為不想與「低等」的算盤師傅對話，於是他把問題丟給了應用數學家費拉里。

有趣的是，雖然如此，塔達里亞卻寧願把答案給卡丹諾。

塔達里亞原本的用意是藉由打敗卡丹諾，可以獲得社會的合法地位，由算盤師傅晉身於醫生的階層。

若贏的是與他社會地位幾乎相等的費拉里，並不能達到他的目的。

史家柏托洛堤（Bortolotti）相信最初激怒塔達里亞的並不是卡丹諾發表他的三次方程式的解法，因為這個「祕密」的發表可能是被當作一種交換條件。

塔達里亞希望卡丹諾能夠引薦他進入社會地位較高的圈子，但卡丹諾食言了。

卡丹諾違反了禮物交換的承諾，這應該是塔達里亞激烈反應的主因。

這一段公案雖然仍未落幕，但隨著三次方程解法的發表，代數學正不斷地蓬勃發展，再加上拉格蘭吉（Lagrange）、阿貝耳（Abel）、伽羅瓦（Galois）、約旦（Jordan）等人的努力，從古代開始到十九世紀中葉為止，用代數方法解n次方程的問題終於得到徹底、圓滿的解決。

由於前人的執著，使後繼者能更清楚地掌握數學知識的豐富面貌，而這也正是科學發展的真諦!

科學研究畢竟是人從事的事業，人性的弱點也會在其中表現出來。

做為一項最為看重首創權的工作，因爭名奪利結下的種種個人恩怨也就難以避免，有時也難以讓人看清其中的是非曲折。

雖然根據現代科研的規範和歷史資料來看，卡當在這個事件中的所作所為並無過錯，他並沒有試圖去剽竊他人成果，為了公布學術成果與眾人分享所作的努力還很值得讚賞，反倒是塔塔利亞死守學術成果的偏執和對卡當的憎恨都有點變態。

奇怪的是，在後人的傳說中，卡當卻成了欺世盜名的騙子，人們對弱者的同情有時會超過了對真相的探求。

不過事實的真相畢竟難以掩蓋，尤其是在信息發達的今天，更是如此。

故事二：

虛數

的誕生

一般人都知道虛數

是方程式x2+1=0的根，在合理的推論之下，虛數

應該是誕生在二次方程中。

如果你也這樣以為，那麼數學史家的觀點，絕對出乎你的意料之外。

在數學史的發展過程中，早期的數學家面對方程式x2+1=0時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然也就沒有發明一個數來表示方程式x2+1=0的根。

因此，當我們回顧虛數

誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，虛數

並非誕生在二次方程式中，而是在三次方程。

關於虛數

誕生的故事，可以從西元1545年義大利的學者卡當諾（G.Cardano，1501-1576）談起。

卡當諾是數學史上有名的怪人，不但博學多才，通曉醫學、數學與天文學，且喜好賭博與占星術。

他對當時的一切知識相當投入，著述豐富且涉及許多方面。

在1545年時，卡當諾發表了他的傑作《大術》（ArsMagna，原意為「偉大的技藝」），其中介紹一般三、四次方程的求根公式最為著名。

書中首先以具體方程為例，說明了（不完全）三次方程x3+mx=n（m、n為正整數）的解法：

「將x項係數的三分之一自乘三次，再加上方程式常數項係數n一半的平方，將兩者之和開平方。

將此過程重複一次，其中一根加上常數項係數n的一半，另一根則減去常數項係數n的一半……然後前者的立方根減去後者的立方根，剩下的即為x的值。

」換言之，所謂卡當諾公式解即是

x=

。

要特別注意的是，十六世紀時的數學家要求方程式中的係數必須為正數，因此，卡當諾在書中分別針對x3=mx+n、x3+n=mx等等（不完全）三次方程，提出了以現代眼光來看似乎是多此一舉的公式解。

《大術》的最後，卡當諾做出了結論，他認為三次方程已獲得解答。

事實果真是如此嗎？

答案顯然是否定的，因為他所處理的是不完全的三次方程，並非針對一般的三次方程式。

儘管如此，對於三次方程的解決，卡當諾公式仍令人感到相當振奮。

不過，卻也因為卡當諾公式的出現，引出了一個數學史上的重要難題。

接著出現的難題，卻成為虛數

誕生的契機。

當我們考慮到三次方程x3=15x+4時，卻出現了令當時數學家難以解釋的結果，因為根據卡當諾的公式解可得x=

。

就當時數學家的觀點，出現負數的平方根絕對是不合理的，所以很容易忽略它，而認為這個三次方程是不可解。

然而，我們卻可以輕易的檢驗出x=4是此三次方程的一個解，但是為何在利用卡當諾公式所求得的結果中，卻沒有看到x=4出現？

究竟所得到的解

和4有沒有關係呢？

       事實上，卡當諾早已遇到虛數根的問題。

他在《大術》第三十七章中，提出並解決這樣的問題：

「把10分為兩部分，其中一部份乘以另一部份結果為40…因此，將分成的兩部分應是5+

和5-

。

」並且分析：

「讓我們解除思想的束縛，用5+

乘5-

，我們便得到25-（-15），也就是25+15。

因此乘積為40。

」然後，他寫道：

「算術就是這樣的精巧奇妙，它最根本的特點，正如我所說過的，是既精妙又無用。

」雖然卡當諾已經遇到虛數根，但卻未能解決三次方程所謂“不可約”（即判別式為負）的情形。

關於卡當諾所面對虛數根的困惑，數十年後另一個義大利數學家邦貝力（R.Bombelli，1526-1573）提出了他的深刻想法。

       邦貝力認真看待虛數，用它解出不可約三次方程，並建立了虛數的運算法則，這是人們對數認識的一大進步，儘管他仍認為虛數是人為而非真實的數。

針對三次方程x3=15x+4的兩個解

和4的關係，他暫時拋開當時數學家對虛數

潛在的成見，提出了不受侷限的奇妙想法。

因為

和

只是運算符號上的差異，所以他大膽地令

=

和

=

，將

開立方的結果和

作對照可得a=2，b=1，然後檢驗出x=

=（

）+（

）=4。

如此，邦貝力不但賦予了虛數

的意義，並且也發展出虛數

的運算法則，奠定了虛數理論的基石。

用現在的符號i=

（尤拉在1748年提出）表示，除了乘法運算法則：

，

，

，

，也包含虛數的加法與乘法運算，例如：

和

。

邦貝力深刻洞悉了虛數

在代數中所扮演的角色，不愧為十六世紀義大利的偉大數學家之一。

       在虛數尚未在數學王國之中取得正統地位之前，許多數學家和卡當諾一樣，認為虛數是不存在的。

虛數

的地位，一直要到兩世紀後經過尤拉（L.Euler，1707-1783）、高斯（F.Gauss，1777-1855）和柯西（A.Cauchy，1789-1857）的努力，才算在數學王國之中取得正統。

十六、七世紀的數學家，大都把虛數看成是不可能或是不存在的。

數學家之所以願意如此為虛數「扶正」身分，全都是因為它十分「有用」。

虛數

發展至今，在處理代數、分析、幾何與數論的問題上，皆可看到複數的蹤跡。

       任何數學知識的發展，都是由解決問題開始，虛數的誕生當然也不例外。

希臘數學家丟番圖（Diophantus，250-275）的《算術》（Arithmetica）書中，就已出現負數根的問題：

「一直角三角形周長為12面積為7試求其邊長」，但是丟番圖並不考慮虛根的問題，一直到卡當諾才去面對方程式中的虛數根，雖然他認為虛數是精妙卻無用，卻引起邦貝利對虛數的興趣，進一步研究虛數的運算法則。

因為方程式的虛數根是不可避免的，虛數不應輕易再被忽視，數學家也因此被強迫去面對虛數。

當然，要讓數學家就此接受虛數是不容易的。

正如吉拉德雖然認為要接受虛數，但卻將它視為「形式」上的根；笛卡兒一樣也難以接受虛數，認為是它並不是數。

那麼是何種理由，奠定了虛數在數學王國裡的地位呢？

在經過尤拉、高斯和柯西等人的努力，除了虛數可以滿足數學家天生對完美的渴望外（例如：

滿足算術基本定理），更重要的是它相當「有用」。

正如吉拉德所說：

「有人可以說這些不可能的解有什麼用？

我回答：

它有三方面的用處－一是因為它能肯定一般法則；二是它們有用；再有，還因為除此之外再沒有別的解。

」總之，它的誕生與發展，倒真地呼應了克萊恩（M.Kline）所言：

「虛數……其強自佔入算術計算也，不特未嘗獲得世人之承諾，抑且與算學家之始願相違，但終以日積月累之功，在其表現效能範圍之內，流行日廣。

」

  回顧了虛數

誕生的過程，值得一提的是虛數

的出現，與一般人所認知的並不相符。

它之所以出現在數學的領域，並不是用來作為解二次方程式的工具，而是誕生在三次方程x3=15x+4解法的懷抱中。

這不是很出乎我們的意料之外嗎？