数值分析作业三次样条插值.docx
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数值分析作业三次样条插值
数值计算方法作业
实验名称
实验4.3三次样条插值函数
（P126）
4.5三次样条插值函数的收敛性
（P127）
实验时间
姓名
班级
学号
成绩
实验4.3三次样条差值函数
实验目的：
掌握三次样条插值函数的三弯矩方法
实验函数：
2
e2dt
t
X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
F（X）
0.5000
0.5398
0.5793
「0.6179
0.7554
f（x）=
X
求f（0.13）和f（0.36）的近似值
实验内容:
（1）编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；
（2）计算各插值节点的弯矩值；
（3）在同一坐标系中绘制函数f（x）,插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值结果。
实验4.5三次样条差值函数的收敛性
实验目的：
多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。
对三次样条插值函数如何呢？
理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。
实验内容：
按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。
实验要求：
（1）随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；
（2）三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。
作为工业应用的例子，考
算法描述:
拉格朗日插值：
错误！
未找到引用源。
nfχ_X）其中错误！
未找到引用源。
是拉格朗日基函数，其表达式为：
Ii（X）L
j=0（Xi一Xj）
牛顿插值：
yixhiMi4hiMiyi
匕一丁）（〒计）,χgxj
式中Mi=S（Xi）.
—hi
hi+hy
-:
hy
'i
hi+hγ
di=-6hGy^比-yhyr=6f[Xij,Xi,Xi.1]hi+hi屮hi屮hi
则Mi满足如下n-1个方程:
.-iMij2M「：
iiMi1=di,i=1,2,...n-1
常用的边界条件有如下几类：
（1）给定区间两端点的斜率mo,m∏,即S（Xo）=y0=mo,S（xn）=yn=mn
（2）给定区间两端点的二阶导数Mo,Mn,即S（XoHy0=M0,S”（Xn）=Mn
（3）假设y=f（X）是以b-a为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S（X）也为周期函数，对S（x）加上周期条件S（P）（XO•0）=S（P）（Xn-0）,p=0,1,2
6Y1—Y0
2M0+M1=—（2j-m0）
对于第一类边界条件有
*h1hi
Mnj2Mn6（mn-也丛）hnhn
2M0+人0M1—d0
FnMnJ+2Mn=dn
Y0=Yn,M°=Mn,S（x°0）=S（Xn-0）,由此推得
'2.7,0......J
M01
d1
田.2..剳.....
M1
d1
M2
d2
....-4..2.Λn4
=
巴..2
MnJ
dn4
<■J
Mn-
I
dn一
那么解就可以为
对于第三类边界条件,
2M00M1%MnT=d0,其中
hl,J0hn,do6（f[Xθ,Xl]-f[Xn-1,Xn]）,那么解就可以为:
hi■hnh1hnh1-hn
程序代码:
1拉格朗日插值函数
Lang.m
funCtiOnf=lang（X,Y,xi）
%X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%f求得的拉格朗日插值多项式的值
n=length（X）;
f=0;
fori=1:
n
l=1;
forj=1:
i-1
l=l.*（xi-X（j））∕（X（i）-X（j））;
end;
forj=i+1:
n
l=l.*（xi-X（j））/（X（i）-X（j））;
end;%拉格朗日基函数
f=f+l*Y（i）;
end
fprintf（'%d∖n',f）
return
2牛顿插值函数
newton.m
funCtionf=newton（X,Y,xi）
%X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%f求得的拉格朗日插值多项式的值
n=length（X）;
newt=[X',Y'];
%计算差商表
forj=2:
n
fori=n:
-1:
1
ifi>=j
Y（i）=（Y（i）-Y（i-1））∕（X（i）-X（i-j+1））;elseY（i）=0;end
end
newt=[newt,Y'];
end
%计算牛顿插值
f=newt（1,2）;
fori=2:
n
z=1;
fork=1:
i-1
Z=（Xi-X（k））*z;
end
f=f+newt（i-1,i）*z;
end
fprintf（'%d∖n',f）
return
3三次样条插值第一类边界条件
ThreCh.m
funCtionS=ThreCh1（X,Y,dyO,dyn,xi）
%X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%S求得的三次样条插值函数的值
%dy0左端点处的一阶导数
%dyn右端点处的一阶导数
n=length（X）-1;
d=zeros（n+1,1）;
h=zeros（1,n-1）;
f1=zeros（1,n-1）;
f2=zeros（1,n-2）;
fori=1:
n%求函数的一阶差商
h（i）=X（i+1）-X（i）;
f1（i）=（Y（i+1）-Y（i））∕h（i）;
end
fori=2:
n%求函数的二阶差商
f2（i）=（f1（i）-f1（i-1））∕（X（i+1）-X（i-1））;d（i）=6*f2（i）;
end
d
（1）=6*（f1
（1）-dyθ）∕h
（1）;
d（n+1）=6*（dyn-f1（n-1））∕h（n-1）;%?
赋初值
A=Zeros（n+1,n+1）;
B=ZeroS（1,n-1）;
C=Zeros（1,n-1）;
fori=1:
n-1
B（i）=h（i）∕（h（i）+h（i+1））;
C（i）=1-B（i）;
end
A（1,2）=1;
A（n+1,n）=1;
fori=1:
n+1
A（i,i）=2;
end
fori=2:
n
A（i,i-1）=B（i-1）;
A（i,i+1）=C（i-1）;
end
M=A∖d;
SymSX;
fori=1:
n
Sx（i）=collect（Y（i）+（f1（i）-（M（i）∕3+M（i+1）∕6）*h（i））*（x-X（i））
+M（i）∕2*（x-X（i））^2+（M（i+1）-M（i））∕（6*h（i））*（x-X（i））^3）;
digits⑷；
Sx（i）=vpa（Sx（i））;%三样条插值函数表达式
end
fori=1:
n
disp（'S（x）='）;
fprintf（'%s（%d,%d）\n',char（Sx（i））,X（i）,X（i+1））;
end
fori=1:
n
ifxi>=X（i）&&xi<=X（i+1）
S=Y（i）+（f1（i）-（M（i）∕3+M（i+1）∕6）*h（i））*（xi-X（i））+M（i）∕2*（xi-X（i））^2+（M（i+1）-M（i））∕（6*h（i））*（xi-X（i））^3;
end
end
disp（'xiS'）;
fprintf（'%d,%d∖n',xi,S）;
return
4三次样条插值第二类边界条件
ThreCh2.m
funCtion[Sx]=Threch2（X,Y,d2yO,d2yn,xi）
X为已知数据的横坐标
%Y为已知数据的纵坐标
%xi插值点处的横坐标
%S求得的三次样条插值函数的值
%d2yθ左端点处的二阶导数
%d2yn右端点处的二阶导数
n=length（X）-1;
d=zeros（n+1,1）;
h=zeros（1,n-1）;
f1=zeros（1,n-1）;
f2=zeros（1,n-2）;
fori=1:
n%求一阶差商
h（i）=X（i+1）-X（i）;
f1（i）=（Y（i+1）-Y（i））∕h（i）;
end
fori=2:
n%求二阶差商
f2（i）=（f1（i）-f1（i-1））∕（X（i+1）-X（i-1））;
d（i）=6*f2（i）;
end
d
（1）=2*d2yθ;
d（n+1）=2*d2yn;%赋初值
A=Zeros（n+1,n+1）;
B=Zeros（1,n-1）;
C=Zeros（1,n-1）;
fori=1:
n-1
B（i）=h（i）∕（h（i）+h（i+1））;
C（i）=1-B（i）;
end
A（1,2）=0;
A（n+1,n）=0;
fori=1:
n+1
A（i,i）=2;
end
fori=2:
n
A（i,i-1）=B（i-1）;
A（i,i+1）=C（i-1）;
end
M=A∖d;
SymSX;
fori=1:
n
Sx（i）=collect（Y（i）+（f1（i）-（M（i）∕3+M（i+1）∕6）*h（i））*（x-X（i））
+M（i）∕2*（x-X（i））^2+（M（i+1）-M（i））∕（6*h（i））*（x-X（i））^3）;
digits⑷；
Sx（i）=vpa（Sx（i））;
end
fori=1:
n
disp（'S（x）='）;
fprintf（'%s（%d,%d）∖n',char（Sx（i））,X（i）,X（i+1））;
end
fori=1:
n
ifxi>=X（i）&&xi<=X（i+1）
S（i）=Y（i）+（f1（i）-（M（i）∕3+M（i+1）∕6）*h（i））*（xi-X（i））+M（i）∕2*（xi-X（i））^2+（M（i+1）-M（i））∕（6*h（i））*（xi-X（i））^3;
end
end
disp（'xiS'）;
fprintf（'%d,%d∖n',xi,S）;
return
5插值节点处的插值结果
main3.m
clear
clc
X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];
Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];
xi=0.13;
%xi=0.36;
disp（'xi=0.13'）;
%disp（'xi=0.36'）;
disp（'拉格朗日插值结果’）；
Iang（X,Y,xi）;
disp（'牛顿插值结果’）;
newtOn（X,Y,xi）;
disp（'三次样条第一类边界条件插值结果’）;
ThreCh1（X,Y,0.40,0.36,xi）;%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数
disp（'三次样条第二类边界条件插值结果’）;
ThreCh2（X,Y,0,-0.136,xi）;%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数
6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上
main2.m
clear
clc
X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];
Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];
a=linspace（0,0.4,21）;
NUM=21;
L=Zeros（1,NUM）;
N=Zeros（1,NUM）;
S=Zeros（1,NUM）;
B=Zeros（1,NUM）;
fori=1:
NUM
xi=a（i）;
%拉格朗日插值
%牛顿插值
%原函数
%三次样条函数第一类边界条件
P∣ot（a,B,
'--r'
）；
holdon;plot（a,L,
'b'
）；
holdon;
plot（a,N,
holdon;
'r'
）；
'r+'
plot（a,S,
holdon;
legend（'原函数’，’拉格朗日插值’，’牛顿插值’,'三次样条插值’,2）;holdoff
）;
7增加插值节点观察误差变化
main4.m
clear;
clc;
N=5;
%4.5第一问
Ini=zeros（1,1001）;
a=linspace（-1,1,1001）;
Ini=1.∕（1+25*a.^2）;
%节点数量变化次数
fori=1:
3
N=2*N;
t=linspace（-1,1,N+1）;
ft=1.心+25*t^2）;
VaI=IinSPaCe（-1,1,101）;
forj=1:
101
L（j）=lang（t,ft,val（j））;
%插值节点
%插值节点函数值
Sa）=ThreCh1（t,ft,0.074,-0.074,val（j））;end
%三样条第一类边界条件插值
plot（a,Ini,holdon
'k'）%原函数图象
Plot（Val,L,'r'）%拉格朗日插值函数图像
holdon
plot（val,S,'b'）%三次样条插值函数图像
Str=SPrintf（'插值节点为％d时的插值效果',N）;
title（str）;
legend（'原函数’，’拉格朗日插值’，’三次样条插值’）；％显示图例
holdoff
figure
end
8车门曲线
main5.m
clear
clc
X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29];
dy0=0.8;
dyn=0.2;
n=length（X）-1;
d=zeros（n+1,1）;
h=zeros（1,n-1）;
f1=zeros（1,n-1）;
f2=zeros（1,n-2）;
fori=1:
nh（i）=X（i+1）-X（i）;
f1（i）=（Y（i+1）-Y（i））∕h（i）;
end
fori=2:
nf2（i）=（f1（i）-f1（i-1））∕（X（i+1）-X（i-1））;
d（i）=6*f2（i）;
end
d
（1）=6*（f1
（1）-dy0）∕h
（1）;
d（n+1）=6*（dyn-f1（n-1））∕h（n-1）;A=Zeros（n+1,n+1）;
B=Zeros（1,n-1）;
C=Zeros（1,n-1）;
fori=1:
n-1
B（i）=h（i）∕（h（i）+h（i+1））;
C（i）=1-B（i）;
end
A（1,2）=1;
A（n+1,n）=1;
fori=1:
n+1
A（i,i）=2;
end
fori=2:
n
A（i,i-1）=B（i-1）;
A（i,i+1）=C（i-1）;
end
M=A∖d;
X=ZeroS（1,n）;
S=ZeroS（1,n）;
fori=1:
n
x（i）=X（i）+0.5;
S（i）=Y（i）+（f1（i）-（M（i）∕3+M（i+1）∕6）*h（i））*（x（i）-X（i））+M（i）∕2*（x（i）-X（i
））^2+（M（i+1）-M（i））∕（6*h（i））*（x（i）-X（i））^3;
end
plot（X,Y,'k'）;holdon;
plot（x,S,'o'）;
title（'三次样条插值效果图’）；
legend（'已知插值节点’，’三次样条插值’）;
holdoff
实验结果：
4.3
1计算插值节点处的函数值
xi=0.13时
Ki=Oe13
5.S36E03e-DOl
半硕⅛5l≡结果
5,665517e-αθl
三样条第——爭⅛⅛⅛界寿√牛価值蜡果
BS=
.500□+.400α*κ-.3S98*x^2+3.698*κ^3
Ξ=
-514Γ-1O,93*κ^3-ι-4,aiε*z-'2-.-⅛O73e-l≠χ<1”OOOOO□e-0O2”ODOoOOe-OO1）
ΞS=
.1O93-∣-39.6≡*κ^3—2G.39⅛2-t-6.O⅛□*κ<2.□C∣O□QOm-OeItA了*OCQDOOe-OO1）
3=
2.476-4Z.93*h,,3+52.4.6⅛"2-17.til*κ¢3.OOUDOOer-OOIJI⅛.ODOooUe-UO1J
χiS
1.30□000e-OOIF5.S31403e-0Ol
三样条第二⅛⅛边界⅛∏f牛插直半吉果
S.5Q0□÷.380丘7E4⅛'3¢0,1.OOOoOOs-OO1J
ΞS=
5108-9,O7O+κ^3+3.247*sc2-t-.5S73e-l≠κ<1,OOOOOOe-OOU2,OoOOOOe-OOI>
Ξ⅛>=
.I6fi3-bΓ33,93*x^3-22.55*^c-x2÷Ξ-215*x¢2.□OQ□ClDE-（JEJ1,3.□OOΠ口口亡一口门1、
S⅛>=
L.SO7—ΞS.3⅛⅛κ"3-∣-3Ξ.1⅛*≡≡^Ξ-LI*19⅛κ¢3-OOOOODe-OoIJ4-OOOOOOe-OD1>
XlS
1.30000Oe-OOlJllO
5.5□□212—口Olj.>>
Xi=0.36时
拉搭翎曰栖值⅛⅛弟
6,ΓΓ9SS2e-O□I
牛顿⅞G値⅛B耒
T-1633S3θ-O□1
三样毎第一粪边界号lfit⅛⅛値细果
.5□□□-f-*⅛ODO*κ-.3B9B*se^Z-l-3.09S*h□tDj1*OOOOOoe-OOl>
≡M=
“S147—LO.ΘS*3b:
"S-H1*□L3*3T^2—.407Se-L*κ（1*OOOOODe-OO1,2-OOODooe-OOL>
S<«>=
.l□93-∣-39.60≠≥c*3-26.39⅛2+6.O40≠x<2.0OOOOOer-OO1,3.OOOOOOer-OO1>
2.475-⅛T.93⅛3+52.46*x2-17.61*κ¢3T□□OOOOC-OOIJ4,0□0000t-00I）
ZKΞLS
号”0O□QOO⅛-□□Ijβτθβ-i2□O⅛-□□I
三彳羊朵弟二粪边界祭俏插于亘细乐
-r>□OO-I-,38∩5*ZH-1.75^*κ^3“5103—9.O7r□⅛ιc^3-∣-3x2^2+_5575e-1（1.□OOOOOe-OOIJ2-OOOOoOe-OO1>
“1663-1-33.S3⅛"3—22.SS*3tC2-∣-5.21S*a∑¢2.0□0000⅛-0□lj3.OoOOOo&-OO1）
1.807-2S.84≠x^3-∣-3Ξ.14*x^Ξ-l1.19*x<3.00□000e-0□lp4.00□□□0e-001）
≈ciS
3,60000Oe-OO1,O
U.Ll
e.θ15-45S∈-O□Ij>>I
2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上
0.85
原國数
拉格朗日摘值
牛顿插值摘值
+三样条插值
4.5.1增加插值节点观察误差变化
JSH宜卞熄致为WHT旳JiIn宜孜果
插值节点数为20时的插值效果
从上面三张图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果
4.5.2车门曲线
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