电大历年离散数学试题汇总.docx

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电大历年离散数学试题汇总

计算机科学及技术专业级第二学期离散数学试题

2012年1月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C2．C3．B4．A5．D

1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．

A．10B．100C．1024D．1

2．设A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={,}，R2={,,}，R3={,}，则（）是从A到B的函数．

A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R3

3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为（）．

A．8、2、8、2B．无、2、无、2

C．6、2、6、2D．8、1、6、1

4．若完全图G中有n个结点（n≥2），m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．

A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数

5．已知图G的邻接矩阵为

则G有（）．

A．6点，8边B．6点，6边

C．5点，8边D．5点，6边

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}}．

7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2，R2-R1中对称关系有4个．

8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去1条边后使之变成树．

9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．

10．设个体域D＝{a,b}，则谓词公式（x）（A（x）∧B（x））消去量词后的等值式为（A（a）∧B（b））∧（A（a）∧B（b））．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．

设P：

今天有联欢活动，Q：

明天有文艺晚会，（2分）

P∧Q．（6分）

12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．

设P：

小王来，Q：

小李去（2分）

P→Q．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．若偏序集的哈斯图如图一所示，

则集合A的最大元为a，极小元不存在．

错误．（3分）

对于集合A的任意元素x，均有R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）

但按照极小元的定义，在集合A中b,c,d均是极小元．（7分）

14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永假式．

错误．（3分）

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）及P组成的析取式，

如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）

如果P的值为假，则┐P及P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，

也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）

另种说明：

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）及P组成的析取式，

只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）

可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）及P总有一个为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）

或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨PT

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．设集合A={1，2，3，4}，R={|x,yA；|xy|=1或xy=0}，试

（1）写出R的有序对表示；

（2）画出R的关系图；

（3）说明R满足自反性，不满足传递性．

15．

（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}（3分）

（2）关系图如图二：

图二（6分）

（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的．（9分）

因有<2,3>及<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的．

（12分）

16．设图G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v2），（v1,v3），（v2,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）画出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；

（4）画出图G的补图的图形．

16．

（1）关系图如图三：

（3分）

（2）邻接矩阵

（6分）

（3）deg（v1）=2

deg（v2）=2

deg（v3）=2

deg（v4）=2

deg（v5）=2（9分）

（4）补图如图四

（12分）

17．求PQ∧R的合取范式及主析取范式．

P→（R∧Q）

Û┐P∨（R∧Q）（4分）

Û（┐P∨Q）∧（┐P∨R）（合取范式）（6分）

P→（R∧Q）

Û┐P∨（R∧Q）

Û（┐P∧（┐Q∨Q））∨（R∧Q）（7分）

Û（┐P∧┐Q）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（8分）

Û（（┐P∧┐Q）∧（┐R∨R））∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（9分）

Û（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（10分）

Û（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（（┐P∧Q）∧（┐R∨R））∨（R∧Q）

Û（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨（┐P∧Q∧R）∨（R∧Q）

Û（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨

（┐P∧Q∧R）∨（（┐P∨P）∧（R∧Q））

Û（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨

（┐P∧Q∧R）∨（P∧R∧Q）（主析取范式）（12分）

说明：

此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．

六、证明题（本题共8分）

18．设连通无向图G有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G中可能有的顶点数．

证明：

可利用数列可图化及握手定理解答

顶点度数和为214=28，（2分）

28-（34+43）=4，则知其他顶点度数和为4，（4分）

对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：

2个2度点；

1个2度点和2个1度点；

4个1度点，（6分）

即对应图的顶点数分别至少为9、10、11．（8分）

2011年7月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．C3．C4．D5．B

1．若集合A={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．

A．{2}AB．{1，2}A

C．1AD．2A

2．设G为无向图，则下列结论成立的是（）．

A．无向图G的结点的度数等于边数的两倍．

B．无向图G的结点的度数等于边数．

C．无向图G的结点的度数之和等于边数的两倍．

D．无向图G的结点的度数之和等于边数．

3．图G如图一所示，以下说法正确的是（）．

A．{（a，b）}是边割集

B．{a，c}是点割集

C．{d}是点割集

D．{（c，d）}是边割集

图一

4．设集合A={1}，则A的幂集为（）．

A．{{1}}B．{1，{1}}

C．{，1}D．{，{1}}

5．设A（x）：

x是人，B（x）：

x犯错误，则命题“没有不犯错误的人”

可符号化为（）．

A．┐（x）（A（x）→┐B（x））B．┐（x）（A（x）∧┐B（x））

C．┐（x）（A（x）∧B（x））D．（x）（A（x）∧B（x））

二、填空题（每小题3分，本题共15分）

6．命题公式的真值是　真（或T，或1）　．

7．若无向图T是连通的，则T的结点数v及边数e满足关系v=e+1时，T是树．

8．无向图G是欧拉图的充分必要条件是G是连通的且结点度数都是偶数．

9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<2,2>,<1,2>}，则在R中仅需加入一个元素<1,1>，就可使新得到的关系为自反的．

10．（x）（P（x）→R（y）∨S（z））中的约束变元有x．

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）

11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．

设P：

雪是黑色的，（2分）

则命题公式为：

P．（6分）

12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．

设P：

如果明天下雨，Q：

我们在室内上体育课，（2分）

则命题公式为：

PQ．（6分）

四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）

判断下列各题正误，并说明理由．

13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1,3>，<1,4>}，则f是A到B的函数．

错误．（3分）

因为A中元素1有B中两个不同的元素及之对应，故f不是A到B的函数．（7分）

14．设G是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有6个面．

正确．（3分）

因G是一个连通平面图，满足欧拉定理，有v-e+r=2，

所以r=2-（v-e）=2-（5-9）=6（7分）

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

15．试求出P→（R∧Q）的合取范式．

P→（R∧Q）┐P∨（R∧Q）（6分）

（┐P∨R）∧（┐P∨Q）（合取范式）（12分）

16．设A={{1},{1,2}，1}，B={1,2,{2}}，试计算

（1）（A∩B）

（2）（A∪B）（3）（A∩B）A．

（1）（A∩B）={1}（4分）

（2）（A∪B）={1,2,{1},{2},{1,2}}（8分）

（3）（A∩B）A=（12分）

17．试画一棵带权为2,3,3,4,5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．

最优二叉树如图二所示．

（10分）

图二

权为23+33+32+42+52=39（12分）

六、证明题（本题共8分）

18．试证明：

若R及S是集合A上的对称关系，则R∩S也是集合A上的对称关系．

证明：

设x，yA，因为R对称，所以若R，则R．（2分）

因为S对称，所以若S，则S．（4分）

于是若R∩S则R且S

即R且S（6分）

也即R∩S，故R∩S是对称的．（8分）

中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试

离散数学（本）试题

2011年1月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．D3．B4．D5．C

1．若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是（）．

A．{1}AB．{1}A

C．{a}AD．A

2．设图G＝，vV，则下列结论成立的是（）．

A．deg（v）=2EB．deg（v）=E

C．D．

3．如图一所示，以下说法正确的是（）．

A．（e,c）是割边B．（d,e）是割边

C．（b,a）是割边D．（b,c）是割边

4．命题公式（P∨Q）的合取范式是（）．

A．PB．（P∧Q）