当x>x2时，f（x）>g（x），且g（x）在（0，＋∞）上是增函数．
∴f（2016）>g（2016）>g（8）>f（8）．
[规律方法] 三种函数模型的表达形式及其增长特点：
（1）指数函数模型：
能用指数型函数f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a>0，b>1）表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸〞.
（2）对数函数模型：
能用对数型函数f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1）表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长〞.
（3）幂函数模型：
能用幂型函数f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0，α≠1）表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
[跟踪训练]
f（x）＝lgx，g（xx－1的图像如图3 6 3所示．
图3 6 3
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）比拟两函数的增长差异（以两图像交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比拟）.
【导学号：
60712319】
[解]
（1）C1对应的函数为g（xx－1，
C2对应的函数为f（x）＝lgx.
（2）当xf（x）；
当x1g（x）；
当x>x2时，g（x）>f（x）；
当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）.
建立函数模型解决实际问题
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：
每天回报40元；
方案二：
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路探究] 首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．
[解] 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：
y＝40（x∈N＋）；
方案二：
y＝10x（x∈N＋）；
方案三：
y×2x－1（x∈N＋）．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴假设是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资那么选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．
[规律方法] 解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.
[跟踪训练]
2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：
栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：
栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后答复：
十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
（不考虑最初的树苗本钱，只按成材的树木计算）
【导学号：
60712320】
[解] 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a（1＋20%）5（1＋10%）5＝a×1.1）5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为
y2＝2a（1＋20%）5＝2a5≈a.
y1－y2＝4aa<0，
因此，乙方案能获得更多的木材.
选择函数模型
[探究问题]
1．如图3 6 4给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝〞所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？
图3 6 4
提示：
由题中图像可知，该函数模型为指数模型．
2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
×106
×107
×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
关于x呈指数函数变化的变量是什么？
提示：
由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y2.
20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：
全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，假设用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x（即当年数与1989年的差）的关系，模拟函数可选用二次函数f（x）＝px2＋qx＋r（其中p，q，r为常数），或g（x）＝abx＋c（a，b，c为常数且b>0，b≠1）．
（1）根据题目中的数据，求f（x），g（x）的解析式；
（2）如果1994年大气中CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？
并说明理由.
【导学号：
60712321】
[思路探究]
（1）列出方程组求系数，从而求解析式；
（2）由x＝5得出函数值，通过比拟选择模拟函数．
[解]
（1）由题目中的数据得
解得
由
解得
所以f（x）＝
x2＋
x,g（x）＝
·
－3.
（2）因为f（5）＝15，g（5）＝17.25，f（5）更接近16，
所以选用f（x）＝
x2＋
x作为模拟函数好．
[规律方法] 解决函数应用题时的常用方法：
（1）先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.
（2）将求出的函数通过数据比拟确定出最适合的函数模型.
[跟踪训练]
3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植本钱Q（单位：
元/102kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植本钱Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从以下函数中选取一个函数，描述西红柿种植本钱Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植本钱最低时的上市天数及最低种植本钱．
[解]
（1）由表中数据知，当时间t变化时，种植本钱并不是单调的，
故只能选择Q＝at2＋bt＋c，
即
解得Q＝
t2－
t＋
.
（2）Q＝
（t－150）2＋
－
＝
（t－150）2＋100，
所以当t＝150天时，西红柿的种植本钱最低，为100元/102kg.
[当堂达标·固双基]
1．以下函数中，自变量x充分大时，增长速度最快的是（ ）
【导学号：
60712322】
A．y＝6xB．y＝log6x
C．y＝x6D．y＝6x
A
2．以下四种说法中，正确的选项是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xa＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．一定存在x0，使x＞x0，总有ax＞xn＞logax
D [对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比拟，而B、C都受a的影响．]
3．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6633
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
其中关于x呈对数型函数变化的变量是___________________，
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________.
【导学号：
60712323】
y3 y2 y1 [由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数〞增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]
4．某商场2021年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f（x）＝p·qx（q>0，q≠1）；
②f（x）＝logpx＋q（p>0，p≠1）；
③f（x）＝x2＋px＋q.
能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系的函数模型为________（填写相应函数的序号），假设所选函数满足f
（1）＝10，f（3）＝2，那么f（x）＝________.
③，x2－8x＋17 [①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系的函数模型为③
由f
（1）＝10，f（3）＝2，得
，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f（x）＝x2－8x＋17.]
5．用模型f（x）＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f（x）（亿元）和生产本钱投入x（亿元）的关系．统计说明，当每季度投入1（亿元）时利润y1＝1（亿元），当每季度投入2（亿元）时利润y2＝2（亿元），当每季度投入3（亿元）时利润y3＝2（亿元）．又定义：
当f（x）使[f
（1）－y1]2＋[f
（2）－y2]2＋[f（3）－y3]2的数值最小时为最正确模型．
（1）当b＝
时，求相应的a使f（x）＝ax＋b成为最正确模型；
（2）根据题
（1）得到的最正确模型，请预测每季度投入4（亿元）时利润y4（亿元）的值.
【导学号：
60712324】
[解]
（1）b＝
时，[f
（1）－y1]2＋[f
（2）－y2]2＋[f（3）－y3]2
＝14
＋
，
∴a＝
时，f（x）＝
x＋
为最正确模型．
（2）f（x）＝
＋
，那么y4＝f（4）＝
.
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