动态规划法回溯法分支限界法求解TSP问题实验报告doc.docx
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动态规划法回溯法分支限界法求解TSP问题实验报告doc
TSP问题算法实验报告
指导教师：
季晓慧
姓名：
辛瑞乾
学号：
提交日期：
2015年11月
总述......................................................................
动态规划法................................................................
算法问题分析............................................................
算法设计................................................................
实现代码................................................................
输入输出截图............................................................
OJ提交截图..............................................................
算法优化分析............................................................
回溯法....................................................................
算法问题分析............................................................
算法设计................................................................
实现代码................................................................
输入输出截图............................................................
OJ提交截图..............................................................
算法优化分析............................................................
分支限界法................................................................
算法问题分析............................................................
算法设计................................................................
实现代码................................................................
输入输出截图............................................................
OJ提交截图..............................................................
算法优化分析............................................................
总结......................................................................
总述
TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又
回到原来的城市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如
蛮力法，动态规划法⋯具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动
态规划法，回溯法以及分支限界法。
动态规划法
算法问题分析
假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组
mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。
首先，按个
数为1、2、⋯、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]
中，例如当n=4时，
x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]=
{1,2,3}
。
设数组
dp[n][2^n-1]
存放迭代结果，其中
dp[i][j]
表示从顶点
i
经过子集
x[j]
中的顶点一次且一次，最后回到出发点
0的最短路径长度，动
态规划法求解
TSP问题的算法如下。
算法设计
输入：
图的代价矩阵mp[n][n]
输出：
从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长
度
1.初始化第0列（动态规划的边界问题）for（i=1;i
dp[i][0]=mp[i][0]
2.依次处理每个子集数组x[2^n-1]
for（i=1;i
if（子集x[j]中不包含i）
对x[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min{mp[i][k]+dp[k][j-1]};
2.输出最短路径长度。
实现代码
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#definedebug"outputfordebug\n"
#definepi（acos）
#defineeps（1e-8）
#defineinf0x3f3f3f3f
#definelllonglongint
#definelsonl,m,rt<<1
#definersonm+1,r,rt<<1|1
usingnamespacestd;
constintMax=100005;
intn,mp[20][20],dp[20][40000];
intmain（）
{
while（~scanf（"%d",&n））
{
intans=inf;
memset（mp,0,sizeofmp）;
for（inti=0;i
{
for（intj=0;j
{
if（i==j）
{
mp[i][j]=inf;
continue;
}
inttmp;
scanf（"%d",&tmp）;
mp[i][j]=tmp;
}
}
intmx=（1<<（n-1））;
dp[0][0]=0;
for（inti=1;i
{
dp[i][0]=mp[i][0];
}
dp[0][mx-1]=inf;
for（intj=1;j<（mx-1）;j++）
{
for（inti=1;i
{
if（（j&（1<<（i-1）））==0）
{
intx,y=inf;
for（intk=1;k
{
if（（j&（1<<（k-1）））>0）{
x=dp[k][（j-（1<<（k-1）））]+mp[i][k];
y=min（y,x）;
}
}
dp[i][j]=y;
}
}
}
dp[0][mx-1]=inf;
for（inti=1;i
dp[0][mx-1]=min（dp[0][mx-1],mp[0][i]+dp[i][（mx-1）-（1<<（i-1））]）;printf（"%d\n",dp[0][mx-1]）;
}
return0;
}
输入输出截图
OJ提交截图
算法优化分析
该算法需要对顶点集合{1，2，⋯，n-1}的每一个子集进行操作，因此时
间复杂度为O（2^n）。
和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时
间复杂度是O（n!
）的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复
杂度，但仍需要指数时间。
回溯法
算法问题分析
回溯法求解TSP问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为0，然后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。
采用邻接矩阵mp[n][n]存储顶点之
间边的情况，为避免在函数间传递参数，将数组mp设置为全局变量，设数组x[n]表示哈密顿回路经过的顶点。
算法设计
输入:
无向图G=（V,E）
输出：
哈密顿回路
1、将顶点数组x[n]初始化为0，标志数组vis[n]初始化为0；
2、从顶点0出发构造哈密顿回路：
vis[0]=1;x[0]=1;k=1;
3、While（k>=1）
、x[k]=x[k]+1，搜索下一个顶点。
、若n个顶点没有被穷举完，则执行下列操作
∈E，转步骤；
、若数组x[n]已经形成哈密顿路径，则输出数组x[n]，算法结束；、若数组x[n]构成哈密顿路径的部分解，则k=k+1，转步骤3；
、否则，取消顶点x[k]的访问标志，重置x[k],k=k-1，转步骤3。
实现代码
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#definedebug"outputfordebug\n"
#definepi（acos）
#defineeps（1e-8）
#defineinf0x3f3f3f3f
#definelllonglongint
#definelsonl,m,rt<<1
#definersonm+1,r,rt<<1|1
usingnamespacestd;
intmp[20][20];
intx[30],vis[30];
intn,k,cur,ans;
voidinit（）
{
for（inti=0;i
for（intj=0;j
mp[i][j]=-1;
ans=-1;cur=0;
for（inti=1;i<=n;i++）x[i]=i;
}
voiddfs（intt）
{
if（t==n）
{
if（mp[x[n-1]][x[n]]!
=-1&&（mp[x[n]][1]!
=-1）&&（cur+mp[x[n-1]][x[n]]+mp[x[n]][1]{
for（inti=1;i<=n;i++）
vis[i]=x[i];
ans=cur+mp[x[n-1]][x[n]]+mp[x[n]][1];
}
}
else
{
for（inti=t;i<=n;i++）
{
if（mp[x[t-1]][x[i]]!
=-1&&（cur+mp[x[t-1]][x[i]]
{
swap（x[t],x[i]）;
cur+=mp[x[t-1]][x[t]];
dfs（t+1）;
cur-=mp[x[t-1]][x[t]];
swap（x[t],x[i]）;
}
}
}
}
intmain（）
{
while（~scanf（"%d",&n））
{
init（）;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
for（intj=1;j<=n;j++）
{
if（i==j）
continue;
scanf（"%d",&mp[i][j]）;
}
}
egin（）;
sum+=*it;
it++;
sum+=*it;
}
returnsum/2;
}
intgao（nodes）
{
intres=*2;
intt1=inf,t2=inf;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
if（!
[i]）
{
t1=min（t1,mp[i][]）;
t2=min（t2,mp[][i]）;
}
}
res+=t1;
res+=t2;
inttmp;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
tmp=inf;
if（!
[i]）
{
it=Mp[i].begin（）;
res+=*it;
for（intj=1;j<=n;j++）
tmp=min（tmp,mp[j][i]）;
res+=tmp;
}
}
return!
（res%2）?
（res/2）:
（res/2+1）;
}
voidbfs（nodes）
{
（s）;
while（!
（））
{
nodehead=（）;
（）;
if==n-1）
{
intp;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
if（!
[i]）
{
p=i;
break;
}
}
intcnt=+mp[p][]+mp[][p];
nodetmp=（）;
if（cnt<=
{
ans=min（ans,cnt）;
return;
}
else
{
up=min（up,cnt）;
ans=min（ans,cnt）;
continue;
}
}
nodetmp;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
if（!
[i]）
{
=;
=+mp[][i];
=i;
=+1;
for（intj=1;j<=n;j++）[j]=[j];
[i]=1;
=gao（tmp）;
if<=up）
（tmp）;
}
}
}
}
intmain（）
{
while（~scanf（"%d",&n））
{
for（inti=0;i<=n;i++）
Mp[i].clear（）;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
for（intj=1;j<=n;j++）
{
if（i!
=j）
{
scanf（"%d",&mp[i][j]）;
Mp[i].push_back（mp[i][j]）;
}
else
mp[i][j]=inf;
}
sort（Mp[i].begin（）,Mp[i].end（））;
}
memset（vis,0,sizeofvis）;
vis[1]=1;
up=0;
up+=getup（1,1,up）;
low=getlow（）;
nodefir;
=1;
=1;
=1;
for（inti=1;i<=n;i++）[i]=0;
[1]=1;
=0;
=low;
ans=inf;
bfs（fir）;
printf（"%d\n",ans）;
}
return0;
}
输入输出截图
OJ提交截图
算法优化分析
分支限界法的复杂度是根据数据的不同而不同，搜索的节点越少，复杂
度越低，跟目标函数的选择有很大关系。
目标函数值的计算也会需要一定时
间，比如此文章中的目标函数值求解的复杂度是O（n^2）。
当然此算法仍然
有可以优化的地方，比如在记录该路径每个叶子结点的孩子结点时可以采用
二进制的思想，从而使算法的时间复杂度在下降到当前T/n的数量级，解决
COJ1814问题应该不成问题。
总结
TSP问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由TSP问题延伸和
发展的，也可以称之为TSP问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用
已学过的算法对其进行解决。
我在学习算法课以前的TSP问题大都用动态规
划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，
在解决此类延伸问题时容易调试和修改。
学完算法后最有感触的一点就是，
算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。
有了算法的思想，那
么潜移默化中问题就可以得到解决。
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