人教版八年级下《172勾股定理的逆定理》同步练习及答案.docx
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人教版八年级下《172勾股定理的逆定理》同步练习及答案
第02课勾股定理逆定理
【例1】若△ABC三边长满足下列条件,判断△ABC是不是直角三角形?
若是,请说明哪个教角是直角.
(1)BC=
,AB=
,AC=1;
(2)△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,a=n2﹣1,b=2n,c=n2+1(n>1)
【例2】如果△ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
【例3】如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点。
⑴求证:
△ACE≌△BCD;⑵若AD=5,BD=12,求DE的长。
【例4】观察下列等式:
32+42=52;52+122=132;72+242=252;92+402=412…按照这样的规律,第七个等式是:
_________________________________。
【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证:
AF⊥FE.
【例6】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE
⊥DF.求证:
AE2+BF2=EF2.
课堂同步练习
一、选择题:
1、若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可能为( )
A.2:
3:
4 B.3:
4:
6 C.5:
12:
13 D.4:
6:
7
2、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是( )
A.如果∠C﹣∠B=∠A,则△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°
C.如果(c+a)(c﹣a)=b2,则△ABC是直角三角形
D.如果∠A:
∠B:
∠C=5:
2:
3,则△ABC是直角三角形
3、△ABC的三边为a、b、c,且(a+b)(a﹣b)=c2,则( )
A.△ABC是锐角三角形 B.c边的对角是直角
C.△ABC是钝角三角形 D.a边的对角是直角
4、下列命题中,其中正确的命题的个数为( )
①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5;②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形;③三角形的三边分别为a,b,c,若a2+c2=b2,则∠C=90°;④在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
5:
6,则△ABC是直角三
角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、如图,在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形的线段是()
A.CD、EF、GH B.AB、CD、GH C.AB、EF、GH D.AB、CD、EF
6、如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=45°,AB=3,CD=1,则BC的长为( )
A.3 B.2 C.
D.
7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为( )
A.60米2 B.48米2 C.30米2 D.24米2
8、在△ABC中,∠C=90°,c2=2b2,则两直角边a,b的关系是( )
A.abC.A=b D.以上三种情况都有可能
9、已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,判断△ABC的形状( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
10、已知:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状( )。
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
11、如图,在5×5的正方形网格中,以AB为边画直角△ABC,使点C在格点上,满足这样条件的点C的个数( )
A.6 B.7 C.8 D.9
12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状( )
A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形
二、填空题:
13、有四个三角形,分别满足下列条件:
(1)一个内角等于另外两个内角之和;
(2)三个内角之比为3:
4:
5;
(3)三边之比为5:
12:
13;
(4)三边长分别为7、24、25.
其中直角三角形有个.
14、在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,
①若a2+b2>c2,则∠c为____________;
②若a2+b2=c2,则∠c为____________;
③若a2+b2<c2,则∠c为____________.
15、已知一个三角形的三边长分别是12,16,20,则这个三角形的面积为 .
16、如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为__________.
17、已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式
+|a-b|=0,则△ABC的形状为 。
18、如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为______.
19、如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 。
20、如图,△ABC是边长6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上均速移动,它们的速度分别为Vp=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当t=s时,△PBQ为直角三角形.
三、简答题:
21、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,∠C=90°.求绿地ABCD的面积.
23、已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断△ABC的形状并说明理由.
24、已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.
26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁?
请通过计算进行说明.
勾股定理逆定理同步测试题
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A.6,8,10B.5,12,13 C.1,2,3 D.9,12,15
2、五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
3、三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
4、若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
5、下列说法中,不正确的是( )
A.三个角的度数之比为1:
3:
4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3:
4:
5的三角形是直角三角形
C.三边长度之比为3:
4:
5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为5:
12:
13的三角形是直角三角形
6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7、有下列判断:
①△ABC中,
,则△ABC不直角三角形;②△ABC是直角三角形,
,则
;③△ABC中,
,则△ABC是直角三角形;④若△ABC是直角三角形,则(
,正确的有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
8、如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为( )
A.2 B.
C.
D.
9、 如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为()
A.24平方米 B.26平方米 C.28平方米 D.30平方米
10、在下列条件中:
①在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3;②三
角形三边长分别为32,42,52;③在△ABC中,三边a,b,c满足(a+b
)(a-b)=c2;④三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数),能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11、在△ABC中,如果(a+b)(a﹣b)=c2,那么∠=90°.
12、若三角形三边分别为6,8,10,那么它最长边上的中线长是.
13、某住宅小区有一块草坪如图4所示,已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,
DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是 。
14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以
a-2、a、a+2为边的三角形面积为.
15、在△ABC中,若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________.
16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值 .
17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。
18、如图,已知∠ADC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24.
(1)证明:
△ABC是直角三角形.
(2)请求图中阴影部分的面积.
19、如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)求证:
BH=AC;
(2)求证:
BG2-GE2=EA2.
20、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,①
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2).②
∴c2=a2+b2.③
∴△ABC是直角三角形.
问:
(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?
请写出该步的代号:
;
(2)错误的原因为;
(3)本题正确的解题过程:
例题答案详解
【例1】解:
(1)∵(
)2+12=
=(
)2,∴BC2+AC2=AB2.∴△ABC是直角三角形;
(2)∵(n2﹣1)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
【例2】解析:
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。
【例3】①通过SAS证明全等 ②13
【例4】152+1122+1132.
【例5】提示:
连结AE,设正方形的边长为4a,计算得出AF,EF,AE的长,由AF2+EF2=AE2得结论.
【例6】提示:
延长FD到M使DM=DF,连结AM,EM.
课堂同步参考答案
1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、D8、C9、D10、A11、C12、A
13、答案为3.
14、①锐角;②直角;③钝角.
15、96
16、14
17、等腰直角三角形
18、6.提示:
延长AD到E,使DE=AD,连结BE,可得△ABE为Rt△.
19、
20、
或
21、24
22、【解答】解:
连接BD.如图所示:
∵∠C=90°,BC=15米,CD=20米,∴BD=
=
=25(米);
在△ABD中,∵BD=25米,AB=24米,DA=7米,242+72=252,即AB2+BD2=AD2,
∴△ABD是直角三角形.∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
AB•BD+
BC•CD=
×24×7+
×15×20=84+150=234(平方米);
即绿地ABCD的面积为234平方米.
23、a=6, b=8, c=10,直角三角形
24、证明:
所以△ABC是直角三角形.
25、150m2.提示:
延长BC,AD交于E.
26、解:
公路AB需要暂时封锁.理由如下:
如图,过C作CD⊥AB于D.
因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,所以根据勾股定理有AB=500米.
因为S△ABC=
AB•CD=
BC•AC所以CD=240米.
由于240米<250米,故有危险,因此AB段公路需要暂时封锁.
同步测试题参考答案
1、C2、C 3、C4、C 5、B 6、B 7、C8、C9、A10、B
11、90°.
12、5.
13、36
14、8提示:
7<a<9,∴a=8.
15、 108
16、2,6,3.5,4.5
17、24
18、解答】
(1)证明:
∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=8,CD=6,
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100,∴AC=10(取正值).
在△ABC中,∵AC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形;
(2)解:
S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=
×10×24﹣
×8×6=96.
19、证明:
(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∵∠ABC=45°,∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC, 1’
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°, ∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,∴∠HBD=∠ACD,
∵在△DBH和△DCA中, ∠BDH=∠CDABD=CD∠HBD=∠ACD
∴△DBH≌△DCA(ASA),∴BH=AC.
(2)连接CG,由
(1)知,DB=CD,
∵F为BC的中点,∴DF垂直平分BC,∴BG=CG,
∵点E为AC中点,BE⊥AC,∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得:
CG2-GE2=CE2,
∵CE=AE,BG=CG,∴BG2-GE2=EA2.
20、【解答】解:
(1)③
(2)除式可能为零;
(3)∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2),∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2,
当a2﹣b2=0时,a=b;当c2=a2+b2时,∠C=90°,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
故答案是③,除式可能为零.