九年级圆与相似三角函数结合二.docx
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九年级圆与相似三角函数结合二
圆与相似、三角函数结合
(二)
1、已知:
P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C为⊙O上一点。
(1)如图1,若AC为直径,求证:
OP∥BC;
(2)如图2,若sin∠P=
,求tan∠C的值。
知识点一圆与直角三角形斜边中线
【知识梳理】
如图:
Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:
(1)DE切⊙O⇔E是BC的中点;
(2)若DE切⊙O,则:
①DE=BE=CE;②D、O、B、E四点共圆⇒∠CED=2∠A;
③CD·CA=4BE2,
图形特殊化:
在
(1)的条件下
如图2:
DE∥AB⇔△ABC、△CDE是等腰直角三角形;
如图3:
若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:
①DE:
EF=1:
3;②BE:
R=1:
【例题精讲】
例1、如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,且∠BAC=30°,M是线段OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E。
(1)求证:
CF是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为1,且AC=CE,求EC和MO的长。
【课堂练习】
如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,N是线段BC上一点(不与B﹑C重合),过N作AB的垂线交AB于M,交AC的延长线于E,过C点作半圆O的切线交EM于F。
(1)求证:
△ACO∽△NCF;
(2)若NC∶CF=3:
2,求sinB的值。
例2、如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P。
(1)求证:
BF=EF;
(2)求证:
PA是⊙O的切线;
(3)若FG=BF,且⊙O的半径长为3
,求BD和FG的长度。
【课堂练习】
如图D为Rt△ABC斜边AB上一点,以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E,F,G三点,连接FE,FG。
(1)求证:
∠EFG=∠B;
(2)若AC=2BC=4
,D为AE的中点,求FG的长。
知识点二圆与等腰三角形结合
【知识梳理】
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,基本结论有:
(1)DE⊥AC⇔DE切⊙O;
(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:
①△DFC是等腰三角形;②EF=EC;③D是弧BF的中点。
【例题精讲】
例1、如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F,连接BD交OF于点E。
(1)求证:
OF⊥BD;
(2)若AB=
,DF=
,求AD的长。
【课堂练习】
如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点。
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长。
例2、如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,D在劣弧AC上,∠ABD=45°。
(1)如图1,BD交AC于E,连CD,若AB=BD,求证:
CD=
DE
(2)如图2,连接AD、CD,已知tan∠CAD=
,求sin∠BDC。
【课堂练习】
在⊙O中,AB为直径,PC为弦,且PA=PC。
(1)如图1,求证:
OP∥BC;
(2)如图2,DE切⊙O于点C,DE∥AB,求tan∠A的值。
知识点三圆与直角梯形结合
【知识梳理】
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:
(1)如图1:
①AD+BC=CD;②∠COD=∠AEB=90°;③OD平分∠ADC(或OC平分∠BCD);(注:
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中,知一推三)
④AD·BC=
2=R2;
(2)如图2,连AE、CO,则有:
CO∥AE,CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
(3)如图3,若EF⊥AB于F,交AC于G,则:
EG=FG.
【例题精讲】
例1、直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F.
(1)求证:
CD为⊙O的切线
(2)若
,求
的值
【课堂练习】
1、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O,⊙O交AB于点一点E,EF⊥AC于点F.
(1)求证:
⊙O与AC相切;
(2)若EF=3,BC=4,求
的值.
2、如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,过点C作⊙O的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,且
AD+BC=CD.
(1)求证:
AD是⊙O的切线;
(2)设OE交AC于F,若OF=3,EF=2,求线段BC的长.
1、如图,等腰直角△ABC内接于⊙O,D为⊙O上一点,连接AD、BD、CD。
(1)如图1,点D在半圆BC上时,求证:
BD+CD=
AD;
(2)如图2,点D在劣弧AB上时,直接写出BD、CD、AD间的数量关系_____________;
2、如图,AB是⊙O的直径,C、P是弧AB上两点,AB=13,AC=5。
(1)如图
(1),若点P是弧AB的中点,求PB的长;
(2)如图
(2),过点P作PD⊥BC于点E,交AB于点D,若
,求PC的长。
1、如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,以点A为圆心,AB为半径的圆交BC于点E。
(1)求证:
DE为⊙A的切线;
(2)如果BE=4,CE=2,求DE的值。
2、如图,已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠ABC的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F。
(1)求证:
EF是⊙O切线;
(1)若EF=8,tan∠AEF=
,求CD的长。
3、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE。
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若cos∠BAD=
,BE=
,求OE的长。
4、如图1,△ABC中,CA=CB,点O在高CH上,OD⊥CA于点D,以O为圆心,OD为半径作⊙O,若AC=5,AB=6。
(1)若O为CH的中点,⊙O与OH相交于点E,连接AE、BE,求△ABE的面积;
(2)如图2,若⊙O过点H,且连接DH,求tan∠AHD的值。