初中数学几何角度计算十一种模型梳理.docx

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初中数学几何角度计算十一种模型梳理

初中数学角度计算中11个经典模型（56页wo/W）

模型1猪脚模型

【条件】如图1

【结论】Z3=Z1+Z2

【证明】如图2,过拐点作平行线

N1=N4,Z5=Z2

Z3=Z4+Z5=Z1+Z2

即N3=N1+N2

例题1如图，NBCD=70。

AB//DE,则/a与满足（）

A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+Zp=90°

【分析】过点c作c尸〃AB,根据平行线的性质得到N5CF=Na,ZDCF=Zp,即可解答.

【解析】如图，过点C作。

■:

XB//DE,J.AB//CF//DE."BCF=/a,NOCT=NB，

VZBCD=70°,/.ZBCD=ZBCF+ZDCF=Za+Zp=70°t/.Za+Zp=700.故选民

【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题关键.

变式1如图工8〃）,/。

=90。

则夕.夕，7的大小关系是（）

A./?

=«+/B.4=2+7—90°C,fi=/+90°-aD.fl=a+90°-/

【解析】如图，过点C和点。

作CG〃A8OH〃A8

CG〃AB.DH//AB9：

.CG//DH//AB/：

AB//EF,：

.AB//EFUCG//DH.

:

CG〃AB；/BCG=a,：

./GCD=/BCD-/BCG=§-a：

：

CGUDH、：

./CDH=NGCD邛-a,

■:

HDHEF,：

./HDE=RZEDC=ZHDE+ZCDH=90\Ay+p-a=90°,Ap=a+90o-y.故选：

D.

【条件】如图1

【结论】ZI+Z2+Z3=360°

【证明】如图2,过拐点作平行线

根据同旁内角互补得，Nl+N4=180°,Z2+Z5=180°

又N3=N4+/5

所以N1+N2+N3=N1+N2+N4+N5=36（T

【推广】Nl+N2+N3+...+N〃=18（T（止1）【即变异铅笔模型】

变式2综合探究：

己知AB〃CQ,点M、N分别是A3、8上两点，点G在A3、

CO之间，连接MG、NG.

（1）如图1,若GM人GN,求NAMG+NCNG的度数：

（2）如图2,若点P是CD下方一点、,MG平分/BMP,ND平分/GNP,已知

ZB;WG=40°,求NMGV+NM/W的度数.

【解析】

（1）如图1，过G作的〃A3，•:

ABHCD、:

.GH//AB//CD

ZAMG=AHGM./CNG=NHGN,MG工NG

：

.ZMGN=ZMGH+ZNCH=ZAMG+NCNG=90。

（2）如图2,过G作GK//A8,过点p作PQ//A8设NGND=c

-GK//AB,AB//CD,GK//CDAKGN=ZGND=a,

♦.♦GK//AB,"MG=40。

..ZMGK=ZBMG=40。

•.•MG平分NBMP,NO平分NGN尸，ZGMP=ZBMG=40°,ZBMP=80°,

••,PQ//AB,:

'4MPQ=4BMP=8S,*；ND斗分4CNP,：

.ZDNP=4GND=a,-AB//CD,：

.PQHCD,:

.ZQPN=ADNP=a9/.ZMG7V=40°+^,

ZMPN=80O—ct,・・.ZMGN+ZMPN=40°+a+80O-a=120。

模型3双垂直模型

【结论】NBAC=NDCE,ZACB=ZCED.

【证明】VZB=ZD=ZACE=90°

，ZBAC+ZACB=90°

XZECD+ZACB=90°

：

.ZBAC=ZDCE

同理，NAC8+NOCE=90°,且NCEQ+NOCE=90°；・NACB=/CED,得证。

例题2如图，在aABC中，NAC8=90。

，/是AC延长线上一点，FD±AB,垂足为

正。

与8C相交于点E,NBED=55°,求NA的度数.

【解析】于。

，AZBED+ZB=90°,

VZAC5=90°,AZA+ZB=90°,AZA=ZBED=55Q.

变式3如图，aABC中，NB=NC,FDLBC,DELAB,ZAFD=152°,求NA的度数.

【解析】VDFXBC,AZFDC=90°,

VZAFD=152°,：

.ZC=ZAFD-ZFDC=152°-90°=62°,

■:

/B=/C,：

.ZA=180°-NB・ZC=180°-62°-62°=56°.

变式4如图，在中，ZACB=90c,COd_A8于。

.

（1）求证：

ZACD=ZB：

（2）若A尸平分NCAB分别交CD、BC于E、F,求证：

ZCEF=ZCFE.

【解析】证明：

（1）VZAC5=90。

，COL45于。

，

AZACD+ZBCD=90°,Z5+ZBCD=90°,AZACD=ZB；

（2）在R9FC中，ZCM=90°-NC4F,

同理在RsAED中，ZAED=90°-/DAE.

又YAF平分NCA8,：

.ZCAF=ZDAE,；・NAED=NCFE,

又,：

/CEF=NAED,：

.ZCEF=ZCFE.

变式5

（1）如图①，在Rf/iABC中，NAC3=90。

，CDLAB,垂足为O,/ACD与/B

有什么关系？

为什么？

（2）如图②，在RqABC中，NC=90。

，。

、E分别在AC,A8上，且NAOE=N8,判断

△AQE的形状是什么？

为什么？

（3）如图③，在R/aABC和即aOBE中，ZC=90°,NE=90。

，AB±BD.点C,B,E在

:

.ZACD+ZA=ZB+ZDCB=90%：

./ACD=/B；

（2）ZiADE是直角三角形.

「在府ZiABC中，ZC=90°,D、E分别在AC,A8上，且NADE=NB,NA为公共角,

，/AEO=NAC8=90。

，.二△AOE是直角三角新：

（3）ZA+ZD=90°.;在心△ABC和/?

公。

8七中，NC=90。

，ZE=90°,AB±BD.

：

.NABC+NA=NABC+NDBE=NDBE+ND=90。

：

.ZA+ZD=90°.

模型4A字模型

【条件】图1中三种情况

【结论】Z1=Z2

例题3如图所示，MBC中，ZC=75°,若沿图中虚线截去NC,则/1+N2等于多少度？

VZC=75°,AZA+ZB=180°-75°=105%VZl+Z2+ZA+ZB=360°,

AZl+Z2=360°-（ZA+ZB）,AZl+Z2=360°-105°=255°.

变式6如图，已知NA=40。

，求/1+N2+N3+N4的度数.

【解析】VZA=40%AZl+Z2=Z3+Z4=180°-Z/l=140o.

AZ1+Z2+Z3+Z4=28O°.

模型5双内角平分线模型

BC

【条件】8P、CP分别为NA8C、NAC8的角平分线.

【结论】ZP=9O0+1ZA.

例题4如图，A48C中，

（1）若NB=70。

，点P是aABC的N3AC和NACB的平分线的交点，求NAPC的度数.

（2）如果把

（1）中/8=70。

这个条件去掉，试探索/APC和N8之间有怎样的数量关系.

【解析】

（1）VZB=70°,AZBAC+ZBCA=110%

:

点尸是aABC的N84C和NAC8的平分线的交点，，ZPAC=^ZBAC,NPCA=Ln8CA,22

：

.ZPAC+ZPCA=^-（ZPAC+ZPCA）=1x110°=55°,/.ZP=180°-55°=125°：

22

（2）•.•点尸是aABC的NBA。

和NACB的平分线的交点，

，/%C=LnBAC,NPCA=L/BCA,：

.ZPAC+ZPCA=^（ZPAC+ZPCA）,222

AZP=180°-（ZPAC+ZPCA）=180。

-1（N8AC+N8cA）=180°-A.（180°-ZB）

22

=90&NB.

2

A

变式7如图，在aABC中，NA8C与NAC8的平分线交于点。

.

（1）如图1,已知NA8C=40。

，NACB=60。

，求N80C的度数.

（2）如图2,已知NA=90。

，求N80C的度数.

（3）如图1,设NA=〃?

。

，求/5。

。

的度数.

（Of]

（1）=SC平分NABC,ZABC=40%：

.ZOBC=lzABC=20°,2

•••CO平分NAC3,NAC8=60。

，，NOC8=LnAC8=30。

，

2

，ZBOC=180°-20°-30°=130°.

（2）VZA=90%AZABC+ZACB=180°-90°=90°,

又•••N08C=LnA8C,Z0CB=^ZACB,，NO8C+NOC8=45。

22

，N80C=180。

-45。

=135°.

（3）VZA=m°：

.ZABC+ZACB=\S0Q-W,

又,•,N08C=LnA8C,/ocb=L/acb,22

ANO3C+NOC8=90。

-Xn°,AZB0C=90°+Xh°.22

变式8已知在△ABC中，ZA=100°,点。

在△ABC的内部连接8。

，CD,且NABO=N

CBD,ZACD=ZBCD.

（1）如图1,求N8OC的度数:

（2）如图2,延长3。

交AC于点E,延长CQ交A8于点尸，若NAEO-NAFO=12。

，求

NAC/的度数.

【解析】

（1）VZA=100°,AZABC+ZACB=80°,

又•：

/ABD=/CBD,/ACD=NBCD,：

.ZCBD=^ZABC,ZBCD=^ZACB.

22

；.NCBD+NBCD=L（NABC+NACB）=40。

，/.ZBDC=180°-40°=140°：

2

（2）设NACF=a,则N3CD=a,VZBDC=140%AZCBD=40°-a=ZABD,

•••/AEO是aOCE的外角，乙4/。

是AB。

尸的外角，

:

.ZAED=/ACF+/CDF,ZAFD=NABE+NBDF,

：

.ZAED-ZAFD=ZACF+ZCDF-ZABE-ZBDE=a-（400-a）=12。

，

解得a=26。

，AZACF=26°.

变式9已知任意一个三角形的三个内角的和是180°.如图1,在△ABC中，NABC的角平

分线B0与NACB的角平分线CO的交点为0

（1）若NA=70。

，求NBOC的度数:

（2）若NA="，求N50C的度数；

（3）如图2,若BO、。

。

分别是NAB。

、NACB的三等分线，也就是NO8C=；NABC,Z

OCB=g/ACB,NA=“，求N80C的度数.

【解析】⑴VZA=70°,AZABC+ZACB=180Q-ZA=110%

•・•在△ABC中，ZABC的角平分线BO与NAC3的角平分线CO的交点为O,

：

.ZOBC=^ZABC,NOCB=L/ACB,22

AZOBC+ZOCB=^-（ZABC+ZACB）=55。

，

2

AZBOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=125°；

（2）VZA=a,

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-a,

•・•在△ABC中，ZABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为O,

：

.ZOBC=^ZABC,NOCB=L/ACB,22

:

./OBC+/OCB=L（ZABC+ZACB）=工（180°-a）=90°-La,222

AZBOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=180°-（90°--l-a）=90。

」a：

22

（3）VZA=a,AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-a,

VZOBC=^ZABC,NOC8=L/AC&

33

:

./OBC+/OCB=L（ZABC+ZACB）=▲（180°-a）=60°-Ld,333

AZBOC=180°-（ZOBC+ZOCB）=180°-（60°-ia）=120°+ici.33

模型6内外角平分线模型

【条件】8P、CP分别为NA8C、NACE的角平分线

【结论】ZP=1ZA例题5如图，“8C中，NA8C与NAC3的外角的平分线相交于点£

（1）已知NA=60。

，求NE的度数；

（2）直接写出NA与NE的数量关系：

.

【解析】3）・：

CE、8七分别平分NACO、NA8C,

：

.ZECD=^ZACD.ZEBC=^ZABC,22

:

./E=/ECD-NEBD=L（ZACD-ZABC）=lzA=30°；

22

（2）由

（1）得，ZE=1ZA,AZA=2ZE

2

变式1（）如图，△ABC的外角NACO的平分线CP与内角/ABC平分线5P交于点P,若/

BPC=40°,求NCAB的度数.

【解析】在中，ZACD=ZBAC+ZABC9

在△PBC中，/PCD=/BPC+/PBC,•:

PB、PC分别是NABC和NACO的平分线,

:

.NPCD=L/ACD,NP8C=LnA8C,22

:

.ZPCD=ZBPC+ZPBC=40Q+^ZABC,C.^AACD=^ZABC+40Q,

222

：

.ZACD-ZABC=80%，N8AC=NACO-NA8C=80。

，即NCAB=800.

变式11如图所示，已知3。

为A48C的角平分线，CD为“8C外角NACE

的平分线，且与8D交于点。

：

（1）若NA8C=60。

，NOCE=70。

，则NO=°：

（2）若NA8C=70。

，NA=80。

，则N0=。

：

（3）当NA8C和NAC8在变化，而NA始终保持不变，则NO是否发生变化？

为什么？

由

此你能得出什么结论？

（用含NA的式子表示NO）

【解析】

（1）・・・8。

为aABC的角平分线，ZABC=60°,，NOBC=30。

,:

NOCE=70。

，，/D=/DCE-ZDBC=70°-30°=40°：

（2）VZABC=70°,NA=80。

，AZACE=150°

•；BD为A48C的角平分线，CD为△ABC外角NACE的平分线，

:

.NO8C=LnaBC=35。

，ZDCE=izACE=75°,22

:

.ZD=ZDCE-ZDBC=75°-35°=40°：

（3）不变化，理由：

•:

/DCE=NDBC+ND,

，/O=L/ACE-L/ABC=L（ZA+ZABC）

22222变式12如图，已知8。

是aABC的角平分线，。

。

是aABC的外角NACE的外角平分线,CD与BD交于点D.

（1）若/从=50。

，则NO=：

（2）若NA=80。

，则NO=：

（3）若NA=130。

，则NO=：

（4）若NO=36。

，则NA=：

（5）综上所述，你会得到什么结论？

证明你的结论的准确性.

【解析】如图，TB。

是A48C的角平分线，CQ是"8C的外角NACE的平分线,

AZACE=2Z2,NABC=2/1,VZACE=ZABC+ZA,A2Z2=2Z1+ZA,

而N2=N1+/O,，2N2=2N1+2N。

，，/A=2NO,即NO=L/A,

2

（1）当若NA=50。

则NO=25。

；

（2）若NA=80。

则NO=40。

：

（3）若NA=130。

则/。

=65。

.

（4）若NO=36。

，则/A=72。

，

例题6如图，A48C中，分别延长&48C的边A3、AC至lj。

、E,/CBD

与NBCE的平分线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

（1）若NA=60。

，则NP=°；

（2）若NA=40。

，则NP=°；

（3）若NA=100。

，则NP=。

：

（4）请用数学表达式归纳NA与NP的关系

【解析】＜1）VZA=60°,

，ZABC+ZACB=1SOQ-60°=120°,NOBC+NBCE=3600-120。

=240。

，

又,•,NC8。

与NBCE的平分线相交于点P,:

・NPBC=L/DBC,NPCB=L/bCE,22

:

./PBCMPCB=LQDBC+NECB）=120°,AZP=60°.2

（2）70°；（3）40°（4）NP=90°-L/A.理由如下：

2

•；BP平分NDBC,CP平分N8CE,；•NDBC=2NCBP,ZBCE=2ZBCP

又,:

ZDBC=ZA+ZACBZBCE=NA+NA3C,

：

.2ZCBP=ZA+ZACB,2ZBCP=ZA+ZABC.

：

.2ZCBP+2ZBCP=ZA+ZACB+ZA+ZABC=180°+ZA,，ZCBP+ZBCP=90°+^ZA

2

又•••NC8P+N8CP+NP=180。

，AZP=90o-i.ZA.

2

变式13BD、CD分别是aABC两个外角NC8E、N8CE平分线，求证/3。

。

=90。

-gZA.

【解析】证明：

・・・8。

、CO分别是NCBE、N8CF的平分线

:

./DBC=L/EBC,/BCD=L/BCF,22

■:

/CBE、N8CF是aABC的两个外角，ZCBE+ZBCF=360°-（180°-ZA）=180°+ZA

NDBC+NBCD=L（NEBC+NBCF）=1（180°+ZA）=90°-+XzA,222

在△O8C中，ZBDC=180°-（NDBC+NBCD）=180°-（900+X/A）=90o-2.ZA.22

变式14如图，BI,C/分别平分△ABC的外角NO8C和NEC8,

（1）若NA8C=40。

，NAC8=36。

，求N3/C的大小：

（2）若NA=96。

，试求N5/C：

（3）根据前面问题的求解，请归纳N8/C和NA的数量关系并进行证明.

【解析】

（1）如图所示，VZABC=40°,ZACB=36°,

AZDBC=140%ZEC5=144°,又,：

BI,C7分别平分aABC的外角NO8C和NECB,

，N3=LnO3C=70。

，Z4=izEC5=72°,中，Z/=180°-70°-72°=38°；22

（2）VZA=96%AZ1+Z2=84°,AZDBC+ZEC5=276°,又,：

BI,CI分别平分△ABC的外角NDBC和NECB,

AZ3+Z4=i（ZDBC+ZECB）=I»x2760=138。

，，△鸟。

中，Z/=180°-138°=42°：

22

（3）ZB/C=90°-XzA.证明：

aABC中，Zl+Z2=180°-ZA,

2

，ZDBC+ZECB=360Q-（180°-ZA）=180。

+NA,又,：

BhCI分别平分△ABC的外角NDBC和NECB,

AZ3+Z4=1（ZDBC+ZECB）=Xx（1800+ZA）=90。

+2/4，222

•♦•△8C7中，ZZ=180°-（Z3+Z4）=180。

-（90°+lzA）=90。

-工乙4.

22

变式15如图，在△ABC中，BD,CO是内角平分线，BP,CP是NA8C,/AC8的外角平分线，分别交于点o,p.

（1）若NA=30°,求NBDC,N8PC的度数.

（2）若NA=/〃。

，求NBOC,N8PC的度数（直接写出结果，不必说明理由）

（3）想一想，NA的大小变化，对NO+NP的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值.

【解析】

（1）•;BD,CD是内角平分线，：

.ZCBD+ZBCD=^（ZABC+ZACB）,2

VZA+Z^BC+ZACB=180°,ZA=30°,：

.ZABC+ZACB=\50%AZCBD+ZBCD=75°.

又,:

ZBDC+ZCBD+ZBCD=180°,AZBDC=105°.

VZCB£+ZBCF=3600-CZABC+ZACB）=210°,BP,CP是/ABC,NAC8外角平分线

:

./CBP+/BCP=L（NCBE+NBCF）=105%

2

:

NBPC+NCBP+NBCP=180。

：

./BPC=75。

.

（2）根据

（1）的求角过程可知：

ZBDC=90°+^t%N8PC=90。

-四。

.

22

（3）VND+NP=90。

目。

+90。

-典。

=180。

为定值,22

・・・NA的大小变化，对NO+/P的值无影响.

模型8共定点角平分线和高线模型

【条件】中，是高、A。

是NB4c的角平分线

【结论】NHAD二（N8-NC）,即共顶点高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半4M

例题7如图，在AA3C中，AD.AE分别是AA8C的高和角平分线，4=500,

ZC=60%贝iJNDAE=度.

【解析】在中，VZB=50%NC=60。

，AZBAC=\800-ZB-ZC=180°.50c-60°=70°,•••AE是A43C的角平分线，，NE4C=：

ZBAC=yx70°=35°,

VXD是aABC的高，，ZADC=90°

，在△AOC中，/OAC=180O-NAOC-NC=180O-900-60o=30。

，

:

.ZDAE=ZEAC-ZDAC=35o-30o=5°.

变式16如图所示，在AA3C中，AO是高，AE>8/是角平分线，它们相交于点。

ABAC=50°,ZC=70%求NZMC、4。

4的度数.

【解析】•・•AO是AA3C的高，，44/>。

=90。

在A4OC中，Z£>AC=90°-ZC=90o-70o=20°

在A4BC中，ZABC=180°-ZBAC-ZC=180°-50°-70°=60°

・・・A£、BF是角平分线,/.ZABO=-ZABC=1x60°=30°22

/BAO=-ABAC=1x50。

=25°22

在中，ZBOA=180°-ZABO-NBA。

=180°-30°-25°=125°

变式17在△力8c中，AO是BC边上的高，AE是N8AC的平分线，NE4O=15。

，ZB=40°.

（1）求NC的度数.

（2）若：

/EAD=a,N8邛，其余条件不变，直接写出用含a,。

的式子表示NC的度数.

【解析】

（1），/AOC=NAOB=90。

，

VZB=40°,AZBAD=90°-40c=50ot=/EAD=15。

，AZBAE=50°-15°=35°t

•••AE平分NBAC,：

.ZCAE=ZBAE=-ZBAC=35°,/.ZBAC=70°,2

，ZC=180。

-NBAC・NB=180°.70o-40o=70