复变函数.docx

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复变函数

第一篇第一章作业题

1.解：

2.解：

所以

3.证明：

4．证明：

当点

沿

趋于

时，

故当k取不同值时，

趋于不同的数

在原点处不连续

第二篇第二章

1.解：

因

，

而

，

，

由于

这四个偏导数在z平面上处处连续，且满足C-R方程。

由定理知，f（z）在z平面上处处可微且解析

2．解：

3．解：

4．解：

设

，则

这里

（1）由一定条件定k：

Z=-2时，

要

，则必有k=1

（2）求

的值

因

则

5．解：

均连续，

要满足

条件，必须要

成立

即仅当

和

时才成立，所以函数

处处不解析；

第三篇第三章

1．解：

因奇点z=-2,-3在单位圆

外部，所以

在

处处解析。

由柯西积分定理：

2．解：

由于

在z平面上解析

所以在z平面内积分与路径无关

因此，选取最简单的路径为0与

的直线段[0,

]

则：

3．解：

由C-R条件

则

又因为

即

则

即

又

所以

故

4．解：

（1）

内包含了奇点

∴

（2）

内包含了奇点

∴

第四章

1．解：

，

在复平面上以原点为中心分为三个解析环：

，

，

．

（1）在

内，

．

（2）在

内，

．

（3）在

内，

．

2．解因为部分和

，所以，

，

不存在.

当

而

时（即

），

和

都没有极限,所以也不收敛．

.

故当

和

时,

收敛.

3．解:

（1）

故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

所以

于是有：

（2）令：

故R=∞,由逐项求导性质

由此得到

即有微分方程

故有：

，A,B待定。

所以

4．解:

因为

奇点为

所以

又

于是，有展开式

第五章

1．解：

显然，被积函数

在圆周|z|=2的内部只有一阶极点z=0及

二阶极点z=1

故由留数定理得

2．

解：

函数

有孤立奇点0与

，而且在

内有如下Laurent展开式：

故

3．解：

令

，在

内，函数

有两个奇点．

为可去奇点，

，

为一阶极点，

，

原式

4．解：

因为

在c内有z=1，z=-i两个奇点．

所以

第六章1、解：

2解解：

令

，则

，

故

将上半单位圆域映射为

且沿0到1的半径有割痕.

第二篇第一章

1．证明：

因为

其中

为f（t）的傅里叶变换

当f（t）为奇函数时，

为奇函数，从而

为偶函数，从而

故

有

为奇数。

=

所以，当f（t）为奇函数时，有

同理，当f（t）为偶函数时，有

.其中

2．

（1）解：

（2）解：

因为

所以根据傅里叶变换的微分性质可得

3．解:

4.

当a>0时,令u=at.则

当a<0时,令u=at,则

.

故原命题成立.

第二篇第二章

1．解：

在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得

即

故

2.解:

（1）

（2）

3.

（1）

（2）