六年级下册数学知识点解析分数和百分数.docx

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六年级下册数学知识点解析分数和百分数六年级下册数学知识点解析分数和百分数五、分数和百分数185.为什么在分数的教与学中,单位“1”是一个重要概念？

单位“1”也称做整体“1”,在分数的教与学中,正确理解单位“1”是正确理解什么是分数的前提.教材中对分数的定义是这样阐述的：

把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数.由此可见,不理解单位“1”,就不理解如何平均分份；更不理解几分之一或几分之几,因此,单位“1”是分数中最基本也是最重要的一个概念.单位“1”一般情况下,表示一个事物的整体.如：

世界的人口数,一个国家的面积,一个县播种小麦的亩数,一段路程,一个果园果树的棵数,一个工厂产品的总产量,一堆煤的重量等,都可以作为单位“1”,也就是把整体看作“1”.但是,整体与部分是相对的,它们之间在一定条件下也是可以相互转化的.当部分转化为整体时,单位“1”也可以表示原来的这个部分.如世界人口是50亿,是个整体,中国人口是11亿,只是它的一部分,当说到北京市人口占全国人口的一百分之一时,中国人口数又成为整体,当说到某区人口是全市人口的十分之一时,全市人口又成了整体等.在这些不同情况下,部分转化为整体时,都可以用单位“1”来表示.例如：

（1）我国土地面积约960万平方千米；

（2）某县的土地面积约8万平方千米；（3）红星小学全校有学生900人；（4）五一班有学生42人；（5）第二学习小组有学生8人；（6）这条公路全长4800米；（7）一根电线全长8.5米；（8）一堆煤重3.2吨.单位“1”包含的数量可以很大,也可以很小.大到有限数的任何事物,都可以看作单位“1”；小到可分事物的某一部分,也可以看作单位“1”.但是,无限多的事物不能看作单位“1”,因为无限多的事物是不可分的.在分数应用题中,单位“1”又是解题的关键.如：

解这道题,要求没修的是多少米,必须知道全长多少米和修了多少米.题目中全长480米已知,未知条件是修了多少米.要求修了多少米,根据题目中如果换一种思路进行分析：

要求没修的是多少米,必须先知道没修的米数是全长的几分之几,然后按求一个数的几分之几是多少的方法解答,关键的问综上所述,无论是在分数的基础知识中,还是在解答分数应用题的过程里,单位“1”都是处于前提和关键的位置.因此,单位“1”在分数的教与学中,是一个非常重要的概念.186.什么是分数的基本计数单位？

任何计量都要有单位,长度单位有：

毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：

毫克、克、千克、吨等.具体到“数”,同样也是有单位的.自然数的计数单位是1,任何一个自然数都是若干个1组成的.例如：

8是由八个1组成的；73是由七十三个1组成的.分数也有分数的计数单位,或称分数单位.根据分数的定义,把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位.一个分数,它的分数单位是有个数的.如图：

分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的,所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位.由此可以说明,不同分母的分数,其分数单位也是不同的.如果分母用所以,自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的,自然数的计数单位永远是1,这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的,它是随着分数的分母不同而变化的.分母不同,分数单位也不同,分母是几,分数单位就是几分之一,分母越大,分数单位就越小；反之,分母越小,分数单位则越大.明确什么是分数单位和分数单位的大小,在学习分数大小比较、分数加、减法时,都是不可缺少的基础知识.186.什么是分数的基本计数单位？

任何计量都要有单位,长度单位有：

毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：

毫克、克、千克、吨等.具体到“数”,同样也是有单位的.自然数的计数单位是1,任何一个自然数都是若干个1组成的.例如：

8是由八个1组成的；73是由七十三个1组成的.分数也有分数的计数单位,或称分数单位.根据分数的定义,把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位.一个分数,它的分数单位是有个数的.如图：

分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的,所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位.由此可以说明,不同分母的分数,其分数单位也是不同的.如果分母用所以,自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的,自然数的计数单位永远是1,这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的,它是随着分数的分母不同而变化的.分母不同,分数单位也不同,分母是几,分数单位就是几分之一,分母越大,分数单位就越小；反之,分母越小,分数单位则越大.明确什么是分数单位和分数单位的大小,在学习分数大小比较、分数加、减法时,都是不可缺少的基础知识.187.分数和整数除法的关系是什么？

在教材中,学生是在学习整数的基础上,先学习小数而后学习分数的.如果把小数划入十进分数的范围,那么分数是小学数学的第二个主要阶段,也是数的一次重要扩展.从整数到分数中间有着密切的联系,特点是分数基本概念的建立,都用到整数除法的知识.例如：

在整数范围内,当两个自然数相除不能整除时,由于商无法表示,而不能计算,进入分数领域,这种情况将是不存在的.因为任何除法算式,都可以用分数来表示它们的商.即使在整数范围内,被除数小于除数这种无法计算的情况,用分数表示也不存在任何问题.分数与整数除法的关系,下图可以揭示：

在分数中,分子相当于除法算式中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商.还应该看到,分数并不等于除法,两者还有着区别,这就是：

分数是一种数,而除法是一种数与数之间的运算.在上述关系的基础上,分数和整数除法的联系,还表现在分数的基本性质上.分数的基本性质是：

分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外）,分数的大小不变.这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质,即：

被除数与除数同时乘以或者除以相同的数（零除外）,商不变.除此之外,根据分数与整数除法的关系,假分数可以化为带分数,分子（被除数）除以分母（除数）,所得的商即为带分数的整数部分,余数为分子,原来的分母不变.将分数化为小数,或把繁分数化简,也都是依据分数与除法的关系.至于在分数中分母不能是零的道理,只要沟通分数与除法的关系,即：

除法中除数不能是零,分数中分母自然不能是零.总之,在分数教与学中,只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移,温故而知新,许多属于算理的问题,都是比较容易得到解决的.188.“就是一半”这句话对吗？

中的单位“1”不仅表示自然数的一个基本计数单位,也表示一切可分的事物.如：

一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛书的册数、一本书的页数等,单位“1”既可表示整体,也可以表示整体的一部分.,一半也就不知道是谁的一半了.按后者说法,其结果很容易引起误解,因不是4个苹果,而是半个苹果.这与原来题意就相距太远了.这句话是不严密的,也是不妥当的.189为什么有的分数能够化成有限小数,有的能够化成纯循环小数或混循环小数？

把一个分数化成小数,有三种情况：

即：

有限小数、纯循环小数和混循环小数.至于什么样的分数化成什么样的小数,确有规律可循,这个规律可通过下面各样分数化小数的实例来观察：

从上面分数化小数的三种情况看,什么样的分数化什么样小数,关键不在分子,而在分母.因此,在分数化小数时,要观察分母的特点,其规律是：

（1）分母只含有质因数2和5,这样的分数就可以化成有限小数.如

（2）分母里只含有2和5以外的质因数,这样的分数就可以化成纯循（3）分母里既含有质因数2和5,又含有2和5以外的质因数,这样有了上面这个规律,不需要通过计算,就能判断出一个最简分数能化成什么样的小数.例如：

掌握了分数化有限小数的规律,可以把常见分数化小数的数据汇集成表,并且能熟练地背诵下来,这对于提高互化的准确度和速度,都是非常有益的.常见的分数与有限小数互化表对于分数化纯循环小数或混循环小数,按照上述规律,可以事前根据分数的分母特点,提早做出判断.190为什么分数不能化成无限不循环小数？

在不同的情况下,一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数（包括纯循环小数和混循环小数）,但是不能化成无限不循环小数.用分子除以分母（7）,其余数必定小于分母,每次的余数只能是从1到6之间的一个自然数（如果余数是0,这个分数就能化成有限小数）；或者说,除数是7,余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数.如果在除的过程中,有一个余数重复出现一次,那么后面所得的商与余数,也必定要重复出现.也就是说,余数一重复出现,商的相应数位上的数字也重复出现,循环就开始了,所得的商当然是循环小数.原来这个分数化成的是纯循环小数.根据上述分析可以得出,当一个分数化成无限小数时,只能得到循环小数,而不可能化成无限不循环小数.分数虽然不能化成无限不循环小数,但在数学中无限不循环小数还是有的,如圆周率值就是一个无限不循环的小数.=3.14159265358979323846无限不循环小数在数学上叫做无理数.191怎样把纯循环小数化成分数？

在小学数学课本中,分数与有限小数是可以互化的.分数可以化成纯循环小数,但纯循环小数化成分数,并没有涉及.事实上,两者也是可以互化的,比起有限小数化成分数,纯循环小数化成分数的方法要稍难一些.例如：

有限小数化成分数.只要根据小数的最低位是什么数位,用10、100、1000等做分母,就可以直接化成分数,不是最简分数的,要约成最简分数.把纯循环小数化成分数,并不象有限小数那样,用10、100、1000等做分母,而要用9、99、999等这样的数做分母,其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数,就是这个分数的分子.这样,前面的四例可以得到证明.即：

192怎样把混循环小数化成分数？

分数既然能化成混循环小数,同样,混循环小数也能化成分数.这种化的方法,比起纯循环小数化成分数的方法,就显得更为复杂一些.混循环小数化成分数的方法是：

用第二个循环节以前的小数部分所组成的数,减去不循环部分所得的差,以这个差作为分数的分子；分母的前几位数字是9,末几位数字为0；9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同.箭头所指是说明：

循环节有一位写一个9,不循环部分有一位写一个0.箭头所指说明：

循环节有两位写两个9,不循环部分有一位写一个0.箭头所指说明：

循环节有两位写两个9,不循环部分有两位写两个0.这种化的方法,比纯循环小数化成分数明显要复杂,但究其算理,仍依据纯小数化成分数的方法.即：

先把混循环小数化成纯循环小数的形式,然后再化成分数.上面三个例题通过推导,都可以得到证明.推导结果与例（3）的中间脱式一致.由此可见,采用先扩大后缩小相同倍数的方法,根据纯循环小数化成分数的方法,证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的.193为什么分子相同的分数,分母大的分数比较小？

在小学数学课本中,涉及到分数大小比较时,经常遇到分子相同的分数进行比较.结论是：

分子相同的两个分数,分母小的分数比较大.反过来说,分子相同的两个分数,分母大的分数比较小.由于受到整数或小数大小比较的影响,学生在理解这个结论时,有时会在算理上表现出困惑.解决这种困惑,要从直观和分数单位两方面入手：

从圆形图和线段图中观察,凡是分子相同的分数,分母大的分数比较小.这个结论在直观上是能够接受的,但这并非全部的算理.因此,除直观外,还要从分数单位这个角度上进行具体的阐述.根据分数的意义,把单位“1”平均分成若干份,所分的份数是分母,表示取出的份数是分子,既然两个分数的分子相同,说明它们含有各自的分数单位个数是相同的,这时它们的大小就取决于分数单位的大小；而分数单位的大小又取决于分母,分母越大,分数单位就越小.所以,分子相同的分数,分母大的分数比较小.194什么是分数的相等和分数的不等？

分数的相等是指两个分数的分数值一样.其定义是：

如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积,等于第二个分数的分子与第一个分数的分母的积,那么,这两个分数就相等.分数的不等是指两个分数的分数值不一样.其定义是：

如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积,大于（或小于）第二个分数的分子与第一个分数的分母的积,那么,第一个分数就大于（或小于）第二个分数.这两个分数就是不等的.195有什么简便方法,来比较异分母分数的大小？

异分母分数由于分数单位不一致,在比较大小时,一般使用的方法,都是先进行通分,使异分母分数转化成同分母分数,有了相同的分数单位；然后再比较大小.除上述这一般方法外,还有一种较为简便的方法,即：

异分母分数大小比较时,不必通分,只要把两个分数的分子、分母交叉相乘,根据这两个乘积进行比较就行了.用第一个分数的分子（5）去乘第二个分数的分母（10）,所得的积是510=50；再用第二个分数的分子（7）去乘第一个分数的分母（9）,所得的积是79=63.为什么这种简便方法也能比较异分母分数的大小呢？

其算理与一般方法先通分后比较是一样的,只不过是省略了通分的过程.两个分数的分子、分母交叉相乘,所得的积是在取得公分母情况下的各自的分子,分数单位既已一致,分子的大小就可以比较出分数的大小.但在这比较过程中,省略了通分,也就看不到公分母了.按一般方法先通分：

196同分母分数相加时,为什么原来的分母不变？

同分母分数的加法法则是：

分子相加的和作分子,原来的分母不变.原来的分母不变的道理,在于分母是把单位“1”平均分成若干份的数,它决定了这个分数的分数单位,只表示每一份的大小,而不表示所取份数的多少；分子表示取了多少份的数,也就是有多少个分数单位.因此,同分母分数相加,由于是同分母,其分数单位也必然相同,相加的实质是几个相同分数单位的相加,只是分子的相加,而分母是不能变的.如果两个分母5也相加,那么分母就变成了10,这就表示把单位“1”下面线段图,可以说明一旦分母也相加所造成的错误结果.197为什么在计算异分母分数加、减法时,要先通分？

在进行整数加、减法计算时,对不同计量单位的各个数量,都不能直接进行加、减,必须化成相同单位的量,才能直接进行计算.如：

4公顷-30亩=4公顷-2公顷=2公顷或：

4公顷-30亩=60亩-30亩=30亩在整数中是这个道理,所以在计算异分母分数加、减法时,要先通分,其理由与上述道理也类似.由于异分母分数的分母不同,因而它们的分数单位也不一样.要直接进行加或减,必须把不同分母的分数转化成同分母分数,才能使分数单位一样,完成这个转化的手段就是通分.进行计算.从上图可以看到,在进行异分母分数加法时,不经过通分,就无法使不同分数单位的分数转化成相同分数单位的分数.减法也是同样的道理.198有没有比较简便的方法来确定最小的公分母？

在进行异分母分数加、减法时,必须先通分,使异分母分数转化成同分母分数,然后才能直接计算.通分首先要确定异分母分数的公分母,由于数是无限多的,因此公分母也是无限多的.只有确定最小公分母,才能使计算的过程变得简便.确定最小公分母就是求最小公倍数的应用,通常使用的比较简便的方法有以下几种：

（1）当大分母是小分母的倍数时,大分母就是最小公分母.15是5的倍数,最小公分母为15.24是8的倍数,最小公分母为24.

（2）当几个分母是互质数时,这几个分母的乘积就是它们的最小公分母.7和5是互质数,最小公分母为（75=）35.3、5、7两两互质,最小公分母为（357=）105.（3）当几个分母有公约数时,这几个分母的最小公倍数,就是它们的最小公分母.8和12的最小公倍数是24,24就是最小公分母.由于在实际计算异分母加、减法时,分母都不会太大,可以通过对分母的观察,采用大分母翻倍法来确定最小公分母.所谓的大分母翻倍法,就是当几个分母有公约数时,不采用求最小公倍数的方法,而是把大分母扩大2倍、3倍、4倍、5倍、.如果所得的结果是小分母的倍数时,这个结果就是最小公分母.上述确定最小公分母的过程,不要求书写出来,它只是口算过程的表述.由于运用口算可以简化通分的程序,从而使确定最小公分母变得简便,也使异分母分数加、减法的准确计算提高了速度.199为什么分数乘以分数时,分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母？

在分数乘法中,一般分为三种情况：

分数乘以整数、整数乘以分数和分数乘以分数.前两种法则是：

整数与分子相乘的积作分子,原来的分母不变.后一种的法则是：

分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母.实际上前两种法则与后一种法则是一致的,只要统一成分数乘以分数的法则就可以了.由于任何整数都可以写成分母是1的假分数,所以任何整数与分数相乘都可以转化成分数乘以分数的形式.至于分子相乘的积作分子,分母相乘的均分成3份,两次均分成15份,根据所分的份数是分母的意义,分母为（53=）15；原来取的4份又均分成2份,这样就变成了8份,分子则为（42=）8,这8份是15份中的8份.由此可见,分数乘以分数的计算法则,是由分数乘法的意义,即：

求一个数的几分之几是多少来决定的.其中分母相乘的积作分母,表示单位“1”一共平均分成的份数；分子相乘的积作分子,表示一共取出的份数.200计算分数除法时,为什么要将除数的分子分母颠倒后用乘法计算？

分数除法的计算法则是：

甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘以乙数的倒数.或者说,被除数不变,除数颠倒变乘.这个算理在“教”与“学”中都是重点和难点.正确地弄清这个算理,可以从以下五方面的任何一个方面入手.

（1）从分数除法的原始法则进行分析：

分数乘法的法则是：

分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母.根据乘、除法的关系,分数除法的原始法则是：

分子相除的商作分子,分母相除的商作分母.使用这种法则的局限性很大,因为无论是分子相除,还是分母相除,都能整除的情况是很少的,如果不能整除,其结果就会出现繁分数的情况,这就使计算结果变得更为复杂.根据除法中商变化的规律,被除数分子缩小几倍,商（分数值）也缩小相同倍数,要保证商缩小相应的倍数,不采用被除数缩小而采用除数扩大的方法,也同样达到被除数缩小的作用.除数缩小几倍,商反而扩大相同倍数,如果除数不缩小几倍,被除数扩大相应的倍数,商所起的变化也是一致的.除法有不能整除的情况,但换成乘法却没有乘不开的时候.为此,被除数不变,除数一定要颠倒变乘.就可以顺利地进行计算.

（2）从分数除法的意义来分析：

分数除法的意义是：

已知一个数的几分之几是多少,求这个数.以下题为例：

s从图示中看出,这本书分成4等份,其中的3份是60页,求4份是多少页.按照“归一”应用题的思路,可以得出下列算式：

1份是多少页？

603=20（页）4份是多少页？

204=80（页）所以,示的意思也是一样的,先求1份是多少页,再求4份是多少页.由此可以说明除数颠倒变乘的道理.（3）从分数的基本性质来分析：

根据分数的基本性质,分数的分子和分母都乘以相同的数（零除外）分数的大小不变；按照分数除法的原始法则,为了使分子和分母都能整除,可以用除数中分子与分母的相乘积,分别去乘被除数的分子和分母.从脱式中可见,式分子部分的3与3可以消掉；分母部分的4与4也可以消掉,式转化成式,再转化成式,从而证明式等于式.这也可以说明除数颠倒变乘的道理.（4）从求一个数的几分之几用乘法来分析：

可通过以下两道例题的解法做个比较.有20米布,平均分成5份,每一份是几米？

205=4（米）第题是整数除法,第题是分数乘法,这两道题所表述的意义却是一样的,都是把20米布平均分成5份,求一份是多少,其结果也是一样的.一个分数,可将这个分数的分子、分母颠倒位置后,用乘法计算.（5）从“互为倒数的两个分数相乘等于1”来分析：

按照乘法的交换律可以得出：

从以上五个方面进行分析,分数除法与分数乘法在一定条件下是可以互相转化的,这也是分数除法法则中,被除数不变而除数颠倒变乘的算理.201为什么分数除以整数时,整数只乘分母而不乘分子？

在分数乘法中,遇到分数乘以整数时,法则规定是只乘分子而不乘分母.按照乘、除法之间的关系,分数除以整数时,也应该只除分子而不除分母,这个法则本身是成立的.明,只除分子而不除分母是完全可以的.但是,在实际计算中,用上述方法常常遇到整数除分子不能整除,甚至不能除尽的情况,这就给计算留下一个并不明确的结果.其结果为繁分数,繁分数本身又是分数除法,这样只能是越算过程越繁琐.由于受到“分子除以整数一定能整除”这个条件的限制,所以,分子除以整数的方法,就不能应用,如果改用只乘分母的方法,不仅可以得到分子除以整数的同样结果,而且在任何情况下这种方法都可以使用.这样,既解决了分子除以整数不能整除的矛盾,同时也能较简便地得出结果.至于只乘分母不乘分子的道理,可从以下几方面进行分析：

来的数没有任何改变,剩下的只是分母与整数相乘了.被除数（分子）不变,除数（分母）扩大3倍,商不是反而缩小3倍吗？

从这个意义上讲,分子缩小几倍与分母扩大相同的倍数,所引起商的变化是一致的.小5倍再缩小3倍,也就是等于把4缩小（53=）15倍.根据这个推理和转化,原算式则为：

从以上三方面的分析,都可以说明：

为什么分数除以整数时,只乘分母而不乘分子的道理.202在分数、小数混合运算中,为什么有时把分数化成小数,而有时又把小数化成分数？

在分数、小数的四则混合运算中,到底是把分数化成小数,还是把小数化成分数,这不仅影响到运算过程的繁琐与简便,也影响到运算结果的精确度,因此,要具体情况具体分析,而不能只机械地记住一种化法：

小数化成分数,或分数化成小数.一般情况下,在加、减法中,分数化成小数比较方便.如果把小数化成分数,运算过程则为：

从对比中可以看到：

在加、减法中,如果分数化成小数,其计算要点只是小数点对齐,而省去了小数化成分数后,中间需要通分的过程,最后的结果,小数没有约分的要求,而分数有时还要约分.不过,在加、减法中,有时遇到分数只能化成循环小数时,就不能把分数化成小数.因为带着循环小数进行运算,不可能得到精确的结果.因此在这种情况下,小数又只能化成分数了.正确的结果就有了一定的误差.在乘、除法中,一般情况下,小数化成分数计算,则比较简便.这是因为化成分数后,中间的过程可以约分,经过约分后,数字也变小,这样既提高了准确性,也提高了计算的速度.此题的分数如化成小数,其过程将是这样的：

从形式上看,分数化成小数并不繁琐,实际计算时,有时需要大乘、大除,运用口算是难以完成的,并且计算过程中易于出错.小数化成分数,其过程基本上都是在口算中进行的,所以,在实际计算时要简便得多.上述只是一般情况,有些特殊情况,小数也不一定必须化成分数,这就是小数和分母能直接约分时,小数不用化成分数,而看作整数直接进行约分,但必须注意：

小数点一定要保持原来的位置.通过以上各种情况的分析,在分数、小数四则混合运算中,要根据具体情况,灵活地选择互化的方法,以达到运算简便,结果正确的目的.203在分数四则运算中,经常出现的错误有哪些？

在分数四则运算中,基础知识稍有缺欠,就会造成运算过程中的错误,从而导致计算结果的严重误差,这对个别学生来说,则形成了久治不愈的顽症.造成这种现象的原因,主要是单项计算不过关.一般来讲,其原因及形式有以下几个方面：

（1）概念不清：

这反映出对带分数的概念是不清楚的,带分数是自然数与真分数的和的一种来,从而导致了上述错误.

（2）法则混淆：

运算是凭借法则来进行的,法则一旦发生混淆,是产生错误的普遍性原因.在分数乘、除法中,表现尤为突出.这两道题的结果都是错的,造成错的原因都是法则上的混淆.上题是分数乘以整数,法则是：

分子与整数相乘,分母不变；下题是分数除以整数,法则是：

分母与整数相乘,分子不变,从脱式的过程看,这两个法则在运用上都颠倒了.分数除法是将除数的分子、分母颠倒后相乘,结果是一看到第一个运算符号是除号,立即把后面的两个分数的分子、分母都颠倒了,造成了分数乘、除法法则的混淆.（3）粗心大意：

由于学习作风的马虎和对计算结果缺乏认真负责的良好品质,出现这类错误也是各式各样的.如：

抄错运算符