专题1 届高考数学理二轮复习专题透析讲义函数与导数.docx

专题1 届高考数学理二轮复习专题透析讲义函数与导数.docx

《专题1 届高考数学理二轮复习专题透析讲义函数与导数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题1 届高考数学理二轮复习专题透析讲义函数与导数.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题1届高考数学理二轮复习专题透析讲义函数与导数

专题1　函数与导数

　　一、函数

1.函数的三要素是什么?

定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.

2.求函数的定义域应注意什么?

求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式（组）.在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f（x）的定义域是[a,b],求f（g（x））的定义域,是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围,而已知f（g（x））的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].

3.判断函数的单调性有哪些方法?

单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:

①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法.

4.函数的奇偶性有什么特征?

奇偶性的特征及常用结论:

①若f（x）是奇函数,0在其定义域内,则f（0）=0.②f（x）是偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称;f（x）是奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称.③奇函数在对称（关于原点对称）的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称（关于原点对称）的单调区间内有相反的单调性.④若f（x+a）为奇函数,则f（x）的图象关于点（a,0）对称;若f（x+a）为偶函数,则f（x）的图象关于直线x=a对称.

　　5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?

指数函数与对数函数的图象和性质:

指数函数y=ax

对数函数y=logax

图象

性质

当0

当a>1时,函数在R上单调递增

当0

当a>1时,函数在（0,+∞）上单调递增

0

当x>0时,0

当x<0时,y>1

0

当x>1时,y<0;

当00

a>1,

当x>0时,y>1;

当x<0时,0

a>1,

当x>1时,y>0;

当0

　　6.函数图象的推导应注意哪些?

探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:

（1）知图选式:

①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性.

（2）知式选图:

①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复.

7.确定函数零点的常用方法有哪些?

函数零点个数的判断方法:

（1）直接法:

令f（x）=0,则方程解的个数为函数零点的个数.

（2）零点存在性定理:

利用该定理不仅要求曲线f（x）在[a,b]上是连续的,且f（a）·f（b）<0,还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合:

对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

二、导数

1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?

利用导数研究函数的单调性有什么应用?

在某个区间（a,b）内,如果f'（x）>0（f'（x）<0）,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增（单调递减）.

利用导数研究函数单调性的应用:

（1）利用导数判断函数的图象.

（2）利用导数解不等式.（3）求参数的取值范围:

①y=f（x）在（a,b）上单调,则（a,b）是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'（x）≥0;若函数单调递减,则f'（x）≤0.

2.如何判断函数的极值?

如何确定函数的最值?

当f'（x0）=0时,若在x0附近左侧f'（x）>0,右侧f'（x）<0,则f（x0）为函数f（x）的极大值;若在x0附近左侧f'（x）<0,右侧f'（x）>0,则f（x0）为函数f（x）的极小值.

将函数y=f（x）在[a,b]上的各极值与端点处的函数值f（a）,f（b）比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

3.利用导数可以解决哪些不等式问题?

（1）利用导数证明不等式:

证明f（x）

（2）利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题:

①f（x）>g（x）对一切x∈I恒成立⇔I是f（x）>g（x）的解集的子集⇔[f（x）-g（x）]min>0（x∈I）;

②∃x∈I,使f（x）>g（x）成立⇔I与f（x）>g（x）的解集的交集不是空集⇔[f（x）-g（x）]max>0（x∈I）;

③对∀x1,x2∈I,f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min;

④对∀x1∈I,∃x2∈I,f（x1）≥g（x2）⇔f（x）min≥g（x）min.

函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.

一、选择题和填空题的命题特点

（一）考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.

1.（2018·全国Ⅱ卷·理T3改编）函数f（x）=

的图象大致为（　　）.

解析▶　∵f（x）的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）,且f（-x）=

=-f（x）,∴f（x）是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又当x>0时,5x>1>5-x,∴f（x）>0,排除D;f

（2）>1,排除C.故选B.

答案▶　B

2.（2017·全国Ⅰ卷·文T8改编）函数y=

的部分图象大致为（　　）.

解析▶　因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;

又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.

答案▶　A

（二）考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.

3.（2018·全国Ⅱ卷·理T11改编）已知f（x）是定义域为R的奇函数,满足f（1-x）=f（1+x）.若f

（1）=2,则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2018）=（　　）.

A.-2018B.0C.2D.50

解析▶　∵f（x）是奇函数,且f（1-x）=f（1+x）,

∴f（1-x）=f（1+x）=-f（x-1）,f（0）=0,

∴f（x+2）=-f（x）,

∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）,

即函数f（x）是周期为4的周期函数.

∵f

（1）=2,

∴f

（2）=f（0）=0,f（3）=-f

（1）=-2,f（4）=f（0）=0,

∴f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）=2+0-2+0=0,

∴f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（2018）=504[f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）=f

（1）+f

（2）=2+0=2.故选C.

答案▶　C

（三）考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.

4.（2018·全国Ⅲ卷·文T16改编）已知函数f（x）=log2（

-x）+2,f（a）=3,则f（-a）=　　　　. 

解析▶　因为f（x）log=2（

-x）+2,

所以f（x）+f（-x）=log2（

-x）+2+log2[

-（-x）]+2=log2（1+x2-x2）+4=4.

因为f（a）=3,所以f（-a）=4-f（a）=4-3=1.

答案▶　1

5.（2018·全国Ⅰ卷·文T13改编）已知函数f（x）=log3（x2+a）,若f

（2）=1,则a=　　　　. 

解析▶　∵f

（2）=1,log∴3（4+a）=1,∴4+a=3,∴a=-1.

答案▶　-1

6.（2017·全国Ⅱ卷·文T8改编）函数y=ln（-x2+2x+3）的单调递减区间是（　　）.

A.（-1,1]B.[1,3）

C.（-∞,1]D.[1,+∞）

解析▶　令t=-x2+2x+3,由t>0,求得-1

故函数的定义域为（-1,3）,且y=lnt,

故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间.

利用二次函数的性质求得t=-（x-1）2+4在定义域内的单调递减区间为[1,3）,故选B.

答案▶　B

（四）考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大.

7.（2017·全国Ⅲ卷·理T11改编）已知函数f（x）=x2-4x+a（10x-2+10-x+2）有唯一零点,则a=（　　）.

A.4B.3C.2D.-2

解析▶　函数f（x）有唯一零点等价于方程4x-x2=a（10x-2+10-x+2）有唯一解,

等价于函数y=4x-x2的图象与y=a（10x-2+10-x+2）的图象只有一个交点.

当a=0时,f（x）=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾;

当a<0时,由于y=4x-x2在（-∞,2）上单调递增,在（2,+∞）上单调递减,且y=a（10x-2+10-x+2）在（-∞,2）上单调递增,在（2,+∞）上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A（2,4）,y=a（10x-2+10-x+2）的图象的最高点为B（2,2a）,由于2a<0<4,所以此时函数y=4x-x2的图象与y=a（10x-2+10-x+2）的图象不可能只有1个交点,矛盾;

当a>0时,由于y=4x-x2在（-∞,2）上单调递增,在（2,+∞）上单调递减,且y=a（10x-2+10-x+2）在（-∞,2）上单调递减,在（2,+∞）上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A（2,4）,y=a（10x-2+10-x+2）的图象的最低点为B（2,2a）,由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C.

答案▶　C

　　（五）考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小.

8.（2018·全国Ⅰ卷·理T5改编）设函数f（x）=x3+（a+1）x2+ax.若f（x）为奇函数,则曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线方程为　　　　. 

解析▶　因为函数f（x）是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f（x）=x3-x,f'（x）=3x2-1,所以f'（0）=-1,所以曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线方程为y=-x.

答案▶　y=-x

二、解答题的命题特点

在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极（最）值的应用,恒成立问题,不等式的证明等.

1.（2018·全国Ⅰ卷·文T21改编）已知函数f（x）=aex+lnx+1.

（1）设x=2是f（x）的极值点,求a,并求f（x）的单调区间;

（2）证明:

当a≤-

时,f（x）≤0.

解析▶　

（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=eax+

.

由题设知,f'

（2）=0,所以a=-

.

从而f（x）=-

ex+lnx+1,

则f'（x）=-

ex+

.

当00;当x>2时,f'（x）<0.

所以f（x）在（0,2）上单调递增,在（2,+∞）上单调递减.

（2）当a≤-

时,f（x）≤-

+lnx+1.

设g（x）=-

+lnx+1,则g'（x）=-

+

.

当00;当x>1时,g'（x）<0.

所以x=1是g（x）的最大值点.

故当x>0时,g（x）≤g

（1）=0.

因此,当a≤-

时,f（x）≤0.

2.（2017·全国Ⅰ卷·文T21改编）已知函数f（x）=ex（ex-a）-a2x,其中参数a≤0.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）≥0,求a的取值范围.

解析▶　

（1）f'（x）=e22x-eax-a2=（e2x+a）e（x-a）.

①若a=0,则f（x）=e2x,其在R上单调递增.

②若a<0,则由f'（x）=0,得x=ln

.

当x∈

时,f'（x）<0;当x∈

时,f'（x）>0.

故f（x）在

上单调递减,在

上单调递增.

（2）①当a=0时,f（x）=e2x≥0恒成立.

②若a<0,则由

（1）得,当x=ln

时,f（x）取得最小值,最小值为f

=a2

故当且仅当a2

≥0,即a≥-2

时,f（x）≥0.

综上,a的取值范围是[-2

0].

　　1.识别函数图象的常用方法:

（1）直接法:

直接求出函数的解析式并画出其图象.

（2）特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.（3）性质（单调性、奇偶性、过定点等）验证法.（4）较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.

2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:

（1）单调性与奇偶性结合.解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.

（2）周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.（3）周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

3.对于函数零点（方程的根）的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:

（1）函数零点值大致所在区间的确定;

（2）零点个数的确定;（3）两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.

4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的坐标.

5.利用导数研究函数的单调性:

（1）已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'（x）>0,f'（x）<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;

（2）含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;（3）注意两种表述“函数f（x）在（a,b）上为减函数”与“函数f（x）的减区间为（a,b）”的区别.

6.利用导数研究函数极值、最值的方法:

（1）若求极值,则先求方程f'（x）=0的根,再检查f'（x）在方程根的左右函数值的符号;

（2）若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'（x）=0根的大小或存在情况来求解;（3）求函数f（x）在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f（a）,f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值.