《高等数学生物类》教学大纲.docx

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《高等数学生物类》教学大纲

《高等数学》教学大纲

课程编号：

N1091102

适用专业：

生物类专业

总学时：

80

一、编写说明

高等数学课程是农学、动科、食工、生命等专业本科专业教学计划中一门重要的基础理论课。

本课程以极限概念为基础，进而研讨微分、积分、微分等理论与方法。

本课程的教学目的与要求是：

通过本课程的学习，要使学生获得：

函数、极限与连续，一元函数微积分学，向量代数和空间解析几何；多元函数微积分学；常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力。

还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

本大纲内容中，教学要求的高低有不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分，对运算、方法从高到低“熟练掌握”、“掌握”、“会”或“能”三级区分。

“熟悉”一词相当于“理解”并“熟练掌握”。

二、大纲内容

第一章函数、极限与连续

（一）教学目的：

通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，，熟练掌握极限的运算。

（二）教学内容：

一元函数的概念，函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性），反函数，基本初等函数的概念、性质及其图形，复合函数，初等函数，数列极限，函数极限，无穷小与无穷大，无穷小与极限之间的关系，无穷小与无穷大之间的关系，极限的运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性，函数的间断点及其类型，连续函数的运算定理，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的基本性质。

（三）教学要求：

1、理解函数、初等函数的概念。

2、了解函数的性质以及反函数的概念。

3、掌握基本初等函数的性质及其图形。

4、理解极限的概念，思想方法。

。

5、了解极限的

定义。

6、掌握左、右极限的概念，左、右极限与双边极限的关系。

7、掌握极限四则运算法则。

8、了解两个极限存在准则，熟练掌握两个重要极限。

9、理解无穷小的概念及与极限的关系。

10、了解无穷小的比较。

11、理解连续的两种定义，掌握连续性的证明方法、连续函数的运算性质，会判定间断点的类型。

12、知道闭区间上连续函数的性质，会用零点定理判别方程的根。

（四）重点、难点及教学建议：

重点：

复合函数、极限与连续的概念，极限的运算，初等函数的连续性。

难点：

复合函数，极限的定义，连续与间断。

教学建议：

1、对有关函数的内容，仅作复习性的总结，重点讲清复合函数和复合过程的分解。

2、函数极限的

定义，不要求证明与运算，仅给予几何解释。

3、讲清左、右极限的概念，应着重介绍分段函数的极限及其连续性，举例说明极限不存在的情形，并给出直观的几何解释。

A层次：

1、对有关函数的内容，仅作复习性的总结，适当举例介绍分段函数。

2、侧重复习函数的奇偶性、周期性，对于函数的有界性、单调性本章只讲基本概念，进一步的研究可放到导数的应用中进行。

3对重要极限1给出证明，重要极限2介绍其证明的方法和规律。

4、讲清左、右极限的概念，侧重双边极限存在的充要条件是单边极限都存在且相等这一重要关系。

5、不定式求极限不做过多过难的习题，主要放在罗比塔法则中训练。

6、基本初等函数的连续性可不证，只作举例说明。

7、对于闭区间上连续函数的性质，只作几何说明。

B层次：

1、讲清函数概念的实质，对初等函数及其性态要有详细的复习，适当介绍分段函数。

2、参照A层次的2—7条。

3、数列、函数极限、无穷小、无穷大的精确性定义只讲解，不作太高要求。

4、极限的运算法则选择其中某一条证明即可，存在准则、两个重要极限的证明可以不讲，要多做练习。

C层次：

1、讲清函数概念的实质，对初等函数及其性态要有详细的复习。

2、参照B层次的2—3条。

3、极限的运算法则，存在准则、两个重要极限的证明可以不讲，要多做练习。

第二章导数与微分

（一）教学目的：

通过教学，使学生正确理解导数、微分的基本概念，熟练掌握求导运算。

（二）教学内容：

导数的概念，基本初等函数的导数，函数的和，差、积、商的导数，反函数和复合函数的导数，高阶导数，由隐函数、参数方程确定的函数的导数，微分的基本公式，微分形式不变性，微分在近似计算中的应用。

（三）教学要求：

1、理解导数的概念，掌握利用概念求某些特殊极限的方法。

2、掌握导数的几何意义，掌握求切线和法线方程的方法，明确可导与连续的关系。

2、熟练掌握导数的运算。

3、理解微分的概念、几何意义、微分形式不变性，明确可导与可微的关系。

4、掌握微分在近似计算中的应用。

（四）重点、难点及教学建议：

重点：

导数、微分的概念，微分的形式不变性，求导运算。

难点：

复合函数、隐函数的求导，参数方程确定的函数的二阶导数。

教学建议：

A层次：

1、通过实例正确理解导数作为变化率的概念，掌握利用概念求某些特殊极限的方法，明确初等函数的导数仍是初等函数这一事实。

2、隐函数的求导应侧重对方法的理解，明确它的各种求导类型。

3、对于由参数方程所确定的函数的二阶导数，应侧重介绍其推导方法。

4、通过实例引入微分概念，突出函数局部线性化思想。

5、明确可导、可微及连续的关系。

6、会用微分进行近似计算，误差和误差限可以简单介绍。

B层次：

1、参照A层次的1—5条，对参数方程所确定的函数的二阶导数不做过高要求。

2、反函数的导数可以给出证明，复合函数的求导法则可以不证明，使学生会用即可。

3、会用微分进行近似计算，误差和误差限可以不讲。

C层次：

1、参照A层次的1—5条，对参数方程所确定的函数的二阶导数不做要求。

2、反函数的导数及复合函数的求导法则可以不证明，使学生会用即可。

3、微分进行近似计算，误差和误差限可以不讲。

第三章　中值定理与导数的应用

（一）教学目的：

通过教学，使学生正确理解中值定理，掌握罗比塔法则及利用导数研究函数的性态的方法。

（二）教学内容：

微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理），罗必塔法则，泰勒公式，函数单调性的判别、函数的凸凹性及拐点的判别、函数的极值概念及求法，最大值与最小值及其应用，函数图形的水平渐近线与铅直渐近线，函数作图。

（三）教学要求：

1、了解三个微分中值定理的条件、结论，能证明前两个定理，了解构造函数的方法，掌握不等式的证明。

2、掌握罗比塔法则的条件，结论以及常见的各种未定式的计算。

3、会用泰勒公式和麦克劳林公式展开某些较简单的初等函数并求其近似值。

4、掌握函数的单调、凹凸、拐点、极值的判别，会求曲线的水平、垂直渐近线，会作函数的草图。

5、会解决简单的最大值、最小值的实际应用问题。

（四）重点、难点、及教学建议：

重点：

拉格朗日中值定理，罗比塔法则，单调、凹凸性的判别，极值的求法。

难点：

拉格朗日中值定理的证明和应用。

教学建议：

A层次：

1、对于罗尔定理和拉格朗日定理应先给出几何说明，再进行分析证明，强调构造函数的方法。

2、有关单调、极值等定理，都要先给出几何说明，然后再进行分析证明。

3、罗必塔法则可只证明当

时的

型，其他类型可述而不证。

4、不等式证明要注意分类讲清证明思路，会用单调性及中值定理证不等式。

5、要讲清函数极大（小）值与最大（小）值的区别与联系。

6、函数作图是利用和研究函数性态的综合表现，不必作繁难的习题。

B层次：

1、拉格朗日中值定理和柯西中值定理只给出结论，证明可以不讲。

2、塔法则可只证明当

时的

型，其他类型可述而不证，重点讲解罗必塔法则的应用（注意讲解法则中的条件）。

3、泰勒公式的证明可以不讲。

4、曲线凹凸性的判定定理的证明可以不讲。

5、简单讲解函数图形的描绘，斜渐近线可以不要求。

C层次：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理只给出结论，证明均可不讲。

2、罗必塔法则重点讲解应用（注意讲解法则中的条件）。

3、参照B层次的3-5条。

第四章　不定积分

（一）教学目的：

通过教学，使学生掌握不定积分的概念、熟练掌握不定积分的计算方法。

（二）教学内容：

原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，积分基本公式，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函数的积分。

（三）教学要求：

1、理解不定积分的概念，了解不定积分的几何意义。

2、熟练掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质。

3、熟练掌握不定积分的两类换元积分和分部积分法。

4、掌握较简单的有理函数、三角函数有理式的积分。

5、会求较简单的无理函数的积分。

6、会使用积分表。

（四）重点、难点、及教学建议：

重点：

原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法和分部积分法。

难点：

不定积分的换元积分。

教学建议：

A层次：

1、明确原函数与不定积分的联系与区别，深刻领会微分和积分互为逆运算的关系。

2、换元积分法侧重于第一类“凑微分法”，第二类换元掌握三种类型即可。

3、化有理式为部分分式问题述而不证，注意讲清方法。

4、讲清分部积分的特殊类型（积分两次、移项法），适当介绍递推公式。

5、三角有理函数及简单无理函数的积分举例说明。

6、定积分在计算方法上要通过一定数量的习题进行训练，使学生通达到熟练的程度，为多元函数积分学的学习奠定基础。

B层次：

1、参照A层次的1—6条，递推公式可以不讲。

2、重点讲解换元积分法的应用，其推导过程可以不讲，侧重练习。

C层次：

1、参照A层次的1—6条。

2、侧重对积分基本类型的练习，不做繁难习题。

第五章定积分及其应用

（一）教学目的：

通过教学，使学生掌握定积分的概念，微积分基本公式与计算，定积分的计算及其应用，广义积分及其计算。

（二）教学内容：

定积分的概念，定积分的基本性质、微积分基本定理，定积分的换元积分及分部积分法，定积分的应用（求面积、体积、功、水压力），无穷区间上的广义积分，被积函数有瑕点的广义积分。

（三）教学要求：

1、理解定积分的概念，几何意义，掌握定积分的性质。

2、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

3、理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿－莱布尼兹公式和变上限积分函数的求导。

4、掌握定积分的微元法，掌握用定积分来表达面积、体积、弧长，了解功、水压力。

5、了解广义积分的概念并会计算。

（四）重点、难点、及教学建议：

重点：

定积分的概念，牛顿－莱布尼兹公式，变上限积分函数的导数，定积分的几何应用。

难点：

定积分的的定义，可变上限积分函数及其求导定理，微元法。

教学建议：

A层次：

1、讲清定积分与不定积分及微分之间的关系。

2、注意换元积分法中置换函数的条件及上，下限变化。

3、定积分应用的重点是应用微元法建立积分表达式，要注重学生分析问题能力的培养。

4、广义积分重点在讲清概念、计算方法，练习不要过多过难，适当作几个收敛的无穷区间上的积分和无界函数的积分的练习题。

B层次：

1、参照A层次中的1—4条。

2、重点讲解定积分换元积分法的应用，推导过程可以不讲。

3、广义积分只作简单讲解。

C层次：

1、参照B层次中的1—2条。

2、广义积分只作简单了解。

第六章　微分方程

（一）教学目的：

通过教学，使学生理解微分方程的概念，掌握各类微分方程的求解方法。

（二）教学内容：

微分方程基本概念，可分离变量方程，齐次方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

（三）教学要求：

1、了解微分方程、阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2、会识别下列几种一阶微分方程：

变量可分离的方程，一阶线性方程，齐次方程。

3、熟练掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。

4、知道下列几种特殊的高阶方程

的降阶法。

5、了解二阶线性微分方程解的结构，熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

6、会用微分方程解一些较简单的几何和物理问题。

（四）重点、难点、及教学建议：

重点：

微分方程的概念，变量可分离的一阶微分方程，一阶线微分方程，二阶常系线性微分方程。

难点：

二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法与微分方程的应用题。

教学建议：

A层次：

1、变量替换法解一阶微分方程，可用齐次方程为例，侧重说明通过变量替换求解方程的思想。

2、针对一阶线性微分方程的常数变易法，多进行练习。