高考理科数学周周测 4.docx
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高考理科数学周周测4
周周测4 集合、常用逻辑用语、函数与导数综合测试
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
[2019·东北三省四市模拟]已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|－2≤x＜4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤3}
答案：
D
解析：
由题意得，阴影部分所表示的集合为（∁UA）∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.
2．[2017·北京卷，6]设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
A
解析：
由存在负数λ，使得m＝λn，可得m、n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－|m|·|n|<0，故充分性成立．由m·n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.
3．[2019·安徽马鞍山教学质量检测]已知函数f（x）＝则f
（1）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＝（ ）
A．44 B．45
C．1009D．2018
答案：
A
解析：
由442＝1936,452＝2025可得，，，…，中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f
（1）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＝44.
4．[2019·开封模拟]已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋2），当x∈（0,2]时，f（x）＝2x＋log2x，则f（2015）＝（ ）
A．5B.
C．2D．－2
答案：
D
解析：
由f（x）＝－f（x＋2），得f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2015）＝f（503×4＋3）＝f（3）＝f（1＋2）＝－f
（1）＝－（2＋0）＝－2，故选D.
5．[2019·吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等联考]下列函数中既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝2x－2－xB．f（x）＝x2－1
C．f（x）＝log
|x|D．f（x）＝xsinx
答案：
B
解析：
f（x）＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f（x）＝x2－1是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故满足条件；f（x）＝log
|x|是偶函数，在（0，＋∞）上单调递减，不满足条件；f（x）＝xsinx是偶函数，但是在（0，＋∞）上不单调．故选B.
6．[2019·重庆第一中学诊断模拟]设a＝2
，b＝log43，c＝log85，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>c>aD．c>b>a
答案：
A
解析：
由指数函数的性质知a>1，由对数函数的性质得0c，∴a>b>c，故选A.
7．已知函数f（x）＝x2－4x＋2的定义域为[1，t]，f（x）的最大值与最小值之和为－3，则实数t的取值范围是（ ）
A．（1,3]B．[2,3]
C．（1,2]D．（2,3）
答案：
B
解析：
f（x）＝x2－4x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝2，f
（1）＝－1，f
（2）＝－2.当1（1）＝－1，f（x）min>f
（2）＝－2，则f（x）max＋f（x）min>－3，不符合题意；当t≥2时，f（x）min＝f
（2）＝－2，则f（x）max＝－3－f
（2）＝－1，令f（x）＝－1，则x2－4x＋2＝－1，解得x＝1或x＝3，∴2≤t≤3.故选B.
8．[2019·湖南邵阳大联考]若函数f（x）＝ax－k·a－x（a>0且a≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）＝loga（x＋k）的大致图象是（ ）
答案：
B
解析：
由题意得f（0）＝0，得k＝1，a>1，所以g（x）＝loga（x＋1）为（－1，＋∞）上的单调递增函数，且g（0）＝0，因此选B.
9．[2019·江西临川一中模拟]设f（x）＝则
f（x）dx的值为（ ）
A.＋B.＋3
C.＋D.＋3
答案：
A
解析：
f（x）dx＝
dx＋
（x2－1）dx＝π×12＋＝＋.故选A.
10．[2019·辽宁沈阳模拟]如图是函数f（x）＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g（x）＝lnx＋f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A.B．（1,2）
C.D．（2,3）
答案：
C
解析：
由函数f（x）＝x2＋ax＋b的部分图象得0（1）＝0，即有a＝－1－b，从而－2（1）＝ln1＋2＋a＝2＋a>0，∴函数g（x）＝lnx＋f′（x）的零点所在的区间是.故选C.
11．[2019·陕西西安第一中学模拟]设函数f（x）＝若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1＋x2＋x3的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案：
D
解析：
函数f（x）＝的图象如图，
不妨设x112．[2019·河南濮阳一中质检]已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax.若g（x）＝，且对任意x1∈，存在x2∈，使f′（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C．[，e）D.
答案：
A
解析：
对任意x1∈，存在x2∈，使f′（x1）≤g（x2），∴[f′（x）]max≤[g（x）]max.
又f′（x）＝（x＋1）2＋a－1在上单调递增，
∴[f′（x）]max＝f′
（2）＝8＋a.而g（x）在上单调递减，则[g（x）]max＝g＝，∴8＋a≤，则a≤－8.故选A.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．log3－log3＋（－1）0－＋cos＝________.
答案：
0
解析：
原式＝log3（÷）＋1－－＝1＋1－－＝0.
14．已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是__________．
答案：
{a|a≤－2或a＝1}
解析：
由x2－a≥0，得a≤x2，因为x∈[1,2]，所以a≤1.要使q成立，则有Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2.因为命题p且q是真命题，所以p，q同时为真，即，故a≤－2或a＝1.
15．已知f（x）＝则f（f（0））＝________.
答案：
－2
解析：
因为f（0）＝1，所以f（f（0））＝f
（1）＝－2.
16．[2019·西安八校联考]曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O为原点）是以∠A为顶角的等腰三角形，则切线l的倾斜角为________．
答案：
60°
解析：
解法一 因为y＝x3，所以y′＝3x2.设点B（x0，x）（x0≠0），则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x（x－x0）．取y＝0，则x＝x0，所以点A.易知线段OB的垂直平分线方程为y－＝－，根据线段OB的垂直平分线过点A可得－＝－，解得x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°.
解法二 因为y＝x3，所以y′＝3x2.设点B（x0，x）（x0≠0），则kl＝3x，所以切线l的方程为y－x＝3x（x－x0）．取y＝0，则x＝x0，所以点A.由|OA|＝|AB|，得＝＋x，又x0≠0，所以x＝，所以kl＝3x＝，故切线l的倾斜角为60°.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数f（x）＝log3的定义域为R，值域为，求m，n的值．
解析：
由y＝f（x）＝log3，得3y＝，即·x2－8x＋3y－n＝0
∵x∈R，∴Δ＝64－4（3y－m）（3y－n）≥0，即32y－（m＋n）·3y＋mn－16≤0
由0≤y≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得，解得m＝n＝5.
18．（本小题满分12分）
[2019·重庆调研测试诊断]已知曲线f（x）＝在点（e，f（e））处的切线与直线2x＋e2y＝0平行，a∈R.
（1）求a的值；
（2）求证：
>.
解析：
（1）f′（x）＝，
由f′（e）＝＝－，解得a＝3.
（2）证明：
f（x）＝，
f′（x）＝.由f′（x）>0，得故f（x）在和（1，＋∞）上单调递减，在上单调递增．
①当x∈（0,1）时，f（x）≥f＝e.
∵′＝，∴在（0,1）上单调递增，
∴<，即>.
②当x∈[1，＋∞）时，ln2x＋3lnx＋3≥0＋0＋3＝3.
令g（x）＝，则g′（x）＝.
∴g（x）在[1,2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，
∴g（x）≤g
（2）＝<3，
∴ln2x＋3lnx＋3>，即>.
综上，对任意x>0，均有>.
19．（本小题满分12分）
定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）＋k（k为常数）．
（1）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；
（2）设k＝－1，f（x）是R上的增函数，且f（4）＝5，若不等式f（mx2－2mx＋3）>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
解析：
（1）k＝0时，f（x）为R上的奇函数，证明如下：
令a＝x，b＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），
∴f（x）为R上的奇函数．
（2）k＝－1时，令a＝b＝2，则f（4）＝2f
（2）－1，f
（2）＝3
∴f（mx2－2mx＋3）>f
（2）恒成立，
又f（x）是R上的增函数，∴mx2－2mx＋3>2恒成立
即mx2－2mx＋1>0
m＝0时，3>2恒成立
m≠0时，有得0综上m的取值范围为[0,1）．
20．（本小题满分12分）
[2019·河北馆陶县月考]设函数f（x）＝lnx－（a＋1）x，a∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有最大值且最大值大于3a－1时，求a的取值范围．
解析：
（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝－（a＋1）＝.
①当a＋1≤0，即a≤－1时，f′（x）>0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
②当a＋1>0，即a>－1时，令f′（x）＝0，解得x＝，
（ⅰ）当00，函数单调递增；
（ⅱ）当x>时，f′（x）<0，函数单调递减．
综上所述，当a≤－1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a>－1时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）由
（1）得，若f（x）有最大值，则a>－1，且f（x）max＝f＝ln－1.
∵函数f（x）的最大值大于3a－1.
∴ln－1>3a－1，即ln（a＋1）＋3a<0（a>－1）．
令g（a）＝ln（a＋1）＋3a（a>－1），
∵g（0）＝0且g（a）在（－1，＋∞）上单调递增，
∴－1故a的取值范围为（－1,0）．
21．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝x2＋bx－1（b∈R）．
（1）当b＝1时证明：
函数f（x）在区间内存在唯一零点；
（2）若当x∈[1,2]，不等式f（x）<1有解．求实数b的取值范围．
解析：
（1）由b＝1，得f（x）＝x2＋x－1，
∴f＝2＋－1＝－<0，f
（1）＝12＋1－1＝1>0，∴f·f
（1）<0，
所以函数f（x）在区间（，1）内存在零点．
又由二次函数的图象，可知f（x）＝x2＋x－1在（，1）上单调递增，
从而函数f（x）在区间（，1）内存在唯一零点．
（2）解法一 由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解，
所以b<＝－x在区间[1,2]上有解．
令g（x）＝－x，可得g（x）在区间[1,2]上递减，
所以b（1）＝2－1＝1，从而实数b的取值范围为（－∞，1）．
解法二 由题意可知x2＋bx－2<0在区间[1,2]上有解．
令g（x）＝x2＋bx－2，则等价于g（x）在区间[1,2]上的最小值小于0.
当－≥2即b≤－4时，g（x）在[1,2]上递减，
∴g（x）min＝g
（2）＝2b＋2<0，即b<－1，所以b≤－4；
当1<－<2即－4∴g（x）min＝g（－）＝（）2－－2＝－－2<0恒成立．所以－4当－≤1即b≥－2时，g（x）在[1,2]上递增，
∴g（x）min＝g
（1）＝b－1<0即b<1，所以－2≤b<1.
综上可得b≤－4或－4从而实数b的取值范围为（－∞，1）
22．（本小题满分12分）
[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝ex－ax2.
（1）若a＝1，证明：
当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，＋∞）只有一个零点，求a.
解析：
（1）证明：
当a＝1时，f（x）≥1等价于（x2＋1）e－x－1≤0.
设函数g（x）＝（x2＋1）e－x－1，则g′（x）＝－（x2－2x＋1）·e－x＝－（x－1）2e－x.
当x≠1时，g′（x）<0，所以g（x）在（0，＋∞）单调递减．
而g（0）＝0，故当x≥0时，g（x）≤0，即f（x）≥1.
（2）设函数h（x）＝1－ax2e－x.
f（x）在（0，＋∞）只有一个零点等价于h（x）在（0，＋∞）只有一个零点．
（i）当a≤0时，h（x）>0，h（x）没有零点；
（ii）当a>0时，h′（x）＝ax（x－2）e－x.
当x∈（0,2）时，h′（x）<0;当x∈（2，＋∞）时，h′（x）>0.
所以h（x）在（0,2）单调递减，在（2，＋∞）单调递增．
故h
（2）＝1－是h（x）在（0，＋∞）的最小值．
①若h
（2）>0，即a<，h（x）在（0，＋∞）没有零点．
②若h
（2）＝0，即a＝，h（x）在（0，＋∞）只有一个零点．
③若h
（2）<0，即a>，
因为h（0）＝1，所以h（x）在（0,2）有一个零点；
由
（1）知，当x>0时，ex>x2，所以h（4a）＝1－＝1－>1－＝1－>0，故h（x）在（2,4a）有一个零点．
因此h（x）在（0，＋∞）有两个零点．
综上，当f（x）在（0，＋∞）只有一个零点时，a＝.
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