北师大版六年数学知识复习一数与代数.docx
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北师大版六年数学知识复习一数与代数
第一部分:
数与代数
数的认识
(一)整数的认识
一 概念
正整数(1、2…)
自然数
1、整数零
负整数(-1、-2…)
0不是正数,也不是负数。
0的作用:
①表示“没有”。
②表示“起点”。
③表示“占位”。
写数时,某个数位上一个单位也没有,就用0表示。
④表示“分界”。
如零上温度与零下温度的分界。
2.自然数
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
0是最小的自然数,没有最大的自然数。
1是自然数的基本单位。
任何一个自然数都是由若干个1组成的。
一个自然数有四方面意义:
①基数。
②序数。
③测量结果。
④编码。
负数:
在正数前面加上“-”的数叫做负数。
3.计数单位 :
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
数的分级:
个级:
个位、十位、百位、千位,表示多少个一,
万级:
万位、十万位、百万位、千万位,表示多少个万,
亿级:
亿位、十亿位、百亿位、千亿位,表示多少个亿。
4.数位
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位……都是数位。
一个数字所在的数位不同,表示数的大小也不同。
5.数的整除
(1)整除与除尽
整除:
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.
除尽:
数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽。
区别:
整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除。
(2)约数和倍数
如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
约数
一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.
数和倍数是相互依存的
倍数
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.
(3)能被2.3.5整除的数的特征
能被2整除的数的特征:
个位上是0,2,4,6,8。
能被5整除的数的特征:
个位上是0或5。
能被3整除的数的特征:
各个位上的数字的和能被3整除。
能同时被2,5整除的数的特征:
个位是0。
能同时被2,3,5整除的数的特征:
个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除。
能被9整除的数的特征:
各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
能被4(或25)整除的数的特征:
一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除
能被8(或125)整除的数的特征:
一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除
(4)偶数和奇数
一个自然数,不是奇数就是偶数
偶数:
能被2整除的数叫做偶数。
最小的偶数是:
0
奇数:
不能被2整除的数叫做急奇数。
最小的奇偶数是:
1
(5)质数和合数
质数(素数):
只有1和它本身两个约数,最小的质数是2。
合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,最小的合数是4。
1既不是质数也不是合数。
(6)质因数和分解质因数
质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
分解质因数的方法:
短除法
(7)最大公因数和最小公倍数
公因数,最大公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
公倍数,最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
互质数:
公因数只有1的两个数叫做互质数。
有下列几种特殊情况:
①两个数都是质数,这两个数一定互质。
②相邻的两个数互质。
③1和任何数都互质。
求最大公因数和最小公倍数
①如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
②如果两个数成倍数关系,小的一个数就是它们的最大公因数,大的一个就是它们的最小公倍数。
③用短除法求最大公因数和最小公倍数
几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的
6.数的改写与四舍五入法
把一个数的某一位后面的尾数省略,就要看省略的尾数最高位上的数是几。
如果是4或者比4小,就把尾数舍去,改写成0,如果是5或者比5大,就把尾数改写成0,再把它的前一位加1,这种求近似数的方法,叫做四舍五入法。
7.奇数和偶数的运算性质
①偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数
②奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数
数的认识
(二)小数、分数、百分数、比
一、小数
1.小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2.小数的分类
(1)按照整数部分是否为0分类
纯小数:
整数部分是零的小数,叫做纯小数。
例如:
0.25、0.368都是纯小数。
带小数:
整数部分不是零的小数,叫做带小数。
例如:
3.25、5.26都是带小数。
(2)按照小数部分的位数分类
3.小数的性质
在小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变
4.小数点位置移动引起小数大小的变化规律
小数的小数点向右移动一位、两位、三位…原来的数就扩大到它的10倍、100倍、1000倍…反之,小数的小数点向左移动一位、两位、三位…原来的数就缩小到它的
、
、
…
二、分数
1.分数的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2.分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数与除法:
被除数÷除数=
。
在整数除法中,除数不能是0,在分数中,分母不能是0。
3.约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
三、百分数
1.表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
2.百分数的计数单位是
3.熟记下面分数与小数的互化
=0.5
=0.25
=0.75
=0.125
=0.375
=0.625
=0.875
4、五成=50%七成五=75%五折=50%七折=70%
四、比
1比的意义和性质
(1)比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的基本性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)求比值和化简比
求比值的方法:
用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
五、比、分数、除法的联系和区别。
联系
区别
比
前项
比号
比值
表示数量间的联系
分数
分子
分数线
分数值
一个数
除法
被除数
除号
商
一种运算
六、小数、分数、百分数的关系
区别
联系
小数
小数实际上就是十进分数
小数、分数、百分数可以进行互化。
分数
带上计量单位表示一个具体的量;不带计量单位表示两个量的倍数关系。
百分数
只能表示一个量是另一个两的百分之几
七、商不变的规律、分数的基本性质、比的基本性质的关系
商不变的规律
被除数
除数
同时乘或除以一个相同的数(0除外)
商
不变。
分数的基本性质
分子
分母
分数大小
比的基本性质
比的前项
比的后项
比值
数的认识(三)常见的量
一、长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=100厘米
二、面积单位换算
1平方千米=1000000平方米1公顷=10000平方米
1平方千米=100公顷
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
三、体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升
1升=1000毫升
四、重量单位换算
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
五、人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
六、时间单位换算
1世纪=100年1年=12个月大月=31天小月=30天
2月=28天或29天一周=7天1日=24时1时=60分
1分=60秒1时=3600秒
数的运算
一、运算的意义
(一)整数四则运算
1整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是
总数,减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
一个因数×一个因数=积 一个因数=积÷另一个因数
4 整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不
到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
(二)小数四则运算
1.小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
3.小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4.小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
5.乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
例如3×3=32
(三)分数四则运算
1.分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3.分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5.分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
二、运算法则
1.整数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2.整数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3.整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
4.整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
5.小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6.除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
7.除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8.同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
9.异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
11.分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
12.分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
三、运算定律及运算性质
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5.乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即
(a+b)×c=a×c+b×c。
6、减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,
即a-b-c=a-(b+c)a-(b-c)=a-b+c或a+c-b
7、除法运算的性质:
一个数连续除以两个数,可以除以这两个数的积,也可以先除以第一个除数,再除以第二个除数。
a÷b÷c=a÷c÷b=a÷(b×c)a÷(b÷c)=a÷b×c
8、积、商的变化规律
(1)积的变化规律:
如果一个因数乘(或除以)一个数(不为0),另一个因数不变,它们的积也乘(或除以)这个数。
如果一个因数乘(或除以)一个数(不为0),另一个因数除以(或乘)这个数,它们的积不变。
(2)商的变化规律:
如果被除数乘(或除以)一个数(不为0),除数不变,它们的商也乘(或除以)这个数。
如果除数乘(或除以)一个数(不为0),被除数不变,它们的商就除以(或乘)这个数。
商不变性质:
被除数和除数同时乘以或者除以相同的数(零除外),它们的商不变。
a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c)(c≠0)
四、运算顺序
1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
4.有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5.第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
6.第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
代数初步
(一)
一、用字母表示数
1用字母表示数的意义和作用
*用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
(1)常见的数量关系
①路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:
s=vtv=s/tt=s/v
②总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:
a=bcb=a/cc=a/b
(2)运算定律和性质
加法交换律:
a+b=b+a
加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:
ab=ba
乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
(a+b)c=ac+bc
减法的性质:
a-(b+c)=a-b-c
(3)用字母表示几何形体的公式
①长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=2(a+b)s=ab
②正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=4as=a²
③平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。
s=ah
④三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。
s=ah/2
⑤梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,中位线用m表示,面积用s表示。
s=(a+b)h/2
s=mh
⑥圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。
c=∏d=2∏r
s=∏r²
⑦扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。
s=∏nr²/360
⑧长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。
v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh
⑨正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示,体积用v表示.
s=6a²v=a³
⑩圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示,体积用v表示.
s侧=chs表=s侧+2s底v=sh
⑾圆锥的高用h表示,底面积用s表示,体积用v表示.
v=sh/3
3、用字母表示数的写法
数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值
*把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:
先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。
字母表示的是数,后面不写单位名称。
*同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程
(一)方程和方程的解
1方程:
含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
方程和算术式不同。
算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。
方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才成立。
2方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
三、解方程
解方程,求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题
1列方程解应用题的意义
*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2列方程解答应用题的步骤
*弄清题意,确定未知数并用x表示;
*找出题中的数量之间的相等关系;
*列方程,解方程;
*检查或验算,写出答案。
五比例
1、比例的意义和性质
(1)比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
2、正比例和反比例
(1)成正比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定)
(2)成反比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
3、比例尺
图上距离:
实际距离=比例尺
要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:
在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
4、按比例分配
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。