第二模块 动力学基本原理.docx

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第二模块动力学基本原理

第二模块动力学基本原理

（四）牛顿定律，约束、约束力

1、牛顿定律的基本概念。

2、牛顿定律的使用条件

3、质点的运动微分方程

4、约束和约束反力

4．1牛顿定律

1.Newton'sThreeFundamentalLaws.（28）

FormulatedbySirIsaacNewtoninthelatterpartoftheseventeenthcenturytheselawscanbestatedasfollows:

（1）Newton'sFIRSTLAW.Iftheresultantforceactingonaparticleiszero,theparticlewillremainatrest（iforiginallyatrest）orwillmovewithconstantspeedinastraightline（iforiginallyinmotion）.

（2）Newton'sSECONDLAW.Iftheresultantforceactingonaparticleisnotzero,theparticlewillhaveanaccelerationproportionaltothemagnitudeoftheresultantandinthedirectionofthisresultantforce.

Newton’ssecondlawofmotionisbestunderstoodbyimaginingthefollowingexperiment:

AparticleissubjectedtoaforceF1ofconstantdirectionandconstantmagnitudeF1.Undertheactionofthatforce,theparticleisobservedtomoveinastraightlineandinthedirectionoftheforce（Fig.4.1.1a）.Bydeterminingthepositionoftheparticleatvariousinstants,wefindthatitsaccelerationhasaconstantmagnitude

.IftheexperimentisrepeatedwithforcesF2,F3,…,ofdifferentmagnitudeordirection（Fig.1.1.1bandc）,wefindeachtimethattheparticlemovesinthedirectionoftheforceactingonitandthatthemagnitudes

...,oftheaccelerationsareproportionaltothemagnitudesF1,F2,F3,...,ofthecorrespondingforces:

=

=

=constant

Fig.4.1.1

Theconstantvalueobtainedfortheratioofthemagnitudesoftheforcesandaccelerationsisacharacteristicoftheparticleunderconsideration;itiscalledthemassoftheparticleandisdenotedbym.WhenaparticleofmassmisacteduponbyaforceF,theforceFandtheaccelerationaoftheparticlemustthereforesatisfytherelation

F=ma（4.1.1）

ThisrelationprovidesacompleteformulationofNewton’ssecondlaw,itexpressesnotonlythatthemagnitudesofFandaareproportionalbutalso（sincemisapositivescalar）thatthevectorsFandahavethesamedirection（Fig.4.1.2）.WeshouldnotethatEq.（4.1.1）stillholdswhenFisnotconstantbutvarieswithtimeinmagnitudeordirection.ThemagnitudesofFandaremainproportional,andthetwovectorshavethesamedirectionatanygiveninstant.However,theywillnot,ingeneral,betangenttothepathoftheparticle.

Fig.4.1.2

Whenaparticleissubjectedsimultaneouslytoseveralforces,Eq.（1.1.1）shouldbereplacedby

=ma（4.1.2）

where

representsthesum,orresultant,ofalltheforcesactingontheparticle,

（3）Newton'sTHIRDLAW.Theforcesofactionandreactionbetweenbodiesincontacthavethesamemagnitude,samelineofaction,andoppositesense.

Foreveryaction,thereisanequalandoppositereaction;thatis,theforcesofinteractionbetweentwoparticlesareequalinmagnitudeandoppositeindirection.

2、牛顿定律的使用条件

（1）在运动学中参考系可以任意选取，但在动力学中则不能任意选取参考系。

（2）惯性参考系：

与绝对静止空间固连的参考系以及相对其匀速直线平动的参考系。

牛顿定律适用于一切惯性参考系。

（3）伽利略相对性原理：

一切力学方程和定律对所有惯性参考系都是等价的。

3、质点的运动微分方程

向量式（牛顿第二运动定律）

4、约束和约束反力

（五）受力分析、受力图

物体的受力分析受力图

Thefree-bodydiagram（FBD）ofabodyisasketchofthebodyshowingallforcesthatactonit.Thetermfreeimpliesthatallsupportshavebeenremovedandreplacedbytheforces（reactions）thattheyexertonthebody.

在求解静力平衡问题时，必须首先分析物体的受力情况，即进行受力分析。

根据问题的已知条件和待求量，从有关结构中恰当选择某一物体（或几个物体组成的系统）作为研究对象。

这时，可设想将所选择的对象从与周围的约束（含物体）的接触中分离出来，即解除其所受的约束而代之以相应的约束反力。

这一过程称为解除约束。

解除约束后的物体，称为分离体，画有分离体及其所受的全部力（包括主动力和约束反力）的简图，称为受力图。

TheimportanceofmasteringtheFBDtechniquecannotbeoveremphasized.Free-bodydiagramsarefundamentaltoallengineeringdisciplinesthatareconcernedwiththeeffectsthatforceshaveonbodies.TheconstructionofanFBDisthekeystepthattranslatesaphysicalproblemintoaformthatcanbeanalyzedmathematically.

Forcesthatactonabodycanbedividedintotwogeneralcategories—reactiveforces（orsimplyreactions）andappliedforces.Reactionsarethoseforcesthatareexertedonabodybythesupportstowhichitisattached.Forcesactingonabodythatarenotprovidedbythesupportsarecalledappliedforcedofcourse,allforces,bothreactiveandapplied,mustbeshownonbe-bodydiagrams.

ThefollowingisthegeneralProcedureforconstructingafree-bodydiagram.

1.Asketchofthebodyisdrawnassumingthatallsupports（surfacesofcontact,supportingcables,etc.）havebeenremoved.

2.Allappliedforcesaredrawnandlabeledonthesketch.Theweighofthebodyisconsideredtobeanappliedforceactingatthecenterofgravity,thecenterofgravityofahomogeneousbodycoincideswiththecentroidofitsvolume.

3.Thereactionsduetoeachsupportaredrawnandlabeledonthesketch.（Ifthesenseofareactionisunknown,itshouldbeassumed.TheSolutionwilldeterminethecorrectsense:

Apositiveresultindicatesthattheassumedsenseiscorrect,whereasanegativeresultmeansthatthecorrectsenseisoppositetotheassumedsense.）

4.Allrelevantanglesanddimensionsareshownonthesketch.

WhenyouhavecompletedthisProcedure,youwillhaveadrawing（i.e.,abe-bodydrawing）thatcontainsalloftheinformationnecessaryforwritingtheequilibriumequationsofthebody.

ThemostdifficultsteptomasterintheconstructionofFBDsisthedeterminationofthesupportreactions.Table4.lshowsthereactionsexertedbyvariouscoplanarsupports;italsoliststhenumberofunknownsthatareintroducedonanFBDbytheremovalofeachsupport.TobesuccessfulatdrawingFBDs,youmustbecompletelyfamiliarwiththecontentsofTable4.l.Itisalsohelpfultounderstandthephysicalreasoningthatdeterminesthereactionsateachsupport,whicharedescribedbelow.

画受力图是求解静力学问题的重要步骤。

Youshouldkeepthefollowingpointsinmindwhenyouaredrawingfree-bodydiagrams.

1.Beneat.Becausetheequilibriumequationswillbederiveddirectlyfromthefree-bodydiagram,itisessentialthatthediagrambereadable.

2.Clearlylabelallforces,angles,anddistanceswithvalues（ifknown）orsymbols（ifthevaluesarenotknown）.

3.ThesupportreactionsmustbeconsistentwiththeinformationpresentedinTable4.l.

4.Showonlyforcesthatareexternaltothebody（thisincludessupportreactions）.internalforcesoccurinequalandoppositepairsandthuswillnotappearonfree-bodydiagrams.

例5一1重量为G的梯子AB，搁在光滑的水平地面和铅直墙上。

在D点用水平绳索与墙相连，如图所示。

试画出梯子的受力图。

例5—2下图所示的结构有杆AC、CD与滑轮B铰接组成。

物体重W，用绳子挂在滑轮上。

如杆、滑轮及绳子的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B（包括绳索）、杆AC、CD及整个系统的受力图。

在上例中，当取整个系统为研究对象时，AC杆与CD杆在C处不分开，此时这两根杆之间的相互作用力称为内力。

一般来说，当取某个系统为研究对象时，该系统内构件之间的内力都不必画出，而只画作用在系统上的外力。

需要指出的是，内力和外力的区分不是绝对的，在一定的条件下，内力和外力是可以相互转化的。

例如在上例中，如果要画由杆AC、滑轮B、重物和绳子所组成系统的受力图，则杆CD对杆AC的约束反力F’sc（原来整个系统中两杆之间的内力）就成了该系统的外力。

SampleProblem5．3

Thehomogeneous，250－kgtriangularplateinrig．（a）issupportedbyapinatAandarolleratC．DrawntheFBDoftheplateanddeterminethenumberofunknowns．

Solution

TheFBDoftheplateisshowninFig．（b）．Thepinandrollersupportshavebeenremovedandreplacedbythereactiveforces.Theforcesactingonheplateredescribedbelow.

W:

TheWeightofthePlate

TheweightoftheplateisW=mg=（250）（9.81）=2453N.ItactsatthecentroidG.OnlythehorizontallocationofGisshowninthefigure,becauseitissufficienttodeterminethelineofactionofW.

AxandAy:

TheComponentsofthePinReactionatA

FromTable4.l,weseethatapinreactioncanbeshownastwocomponentsA.andAy,whichareequivalenttoanunknownforceactingatanunknownangle.WehaveshownAxactingtotherightandAyactingupward.Thesedirectionsarechosenarbitrarily;thesolutionoftheequilibriumequationswilldeterminethecorrectsenseforeachforce.Therefore,thefree-bodydiagramwouldbecorrectevenifA.orAywerechosentoactindirectionsoppositetothoseshowninFig.（b）.

NC:

TheNormalReactionatC

FromTable4.l,theforceexertedbyarollersupportisnormaltotheinclinedsurface.Therefore,ontheFBDweshowtheforceNCatC,inclinedat30otothevertical.

TheFBDcontainsthreeunknowns:

Ax,AyandNC

求解静力学问题，必须先画受力图。

如何有针对性地选取分离体并正确地画出受力图，是解题的关键。

它不仅在静力学中，而且在动力学中也很重要。

综上所述，要正确地画出受力图，必须熟练掌握以下几点：

（1）根据题意选择恰当的研究对象。

可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。

这一点在学习了用平衡方程求解力学问题后，会有更确切的体会。

（2）根据已知条件，画出全部主动力。

（3）根据约束的类型，画出相应的约束反力。

一个物体往往同时受几个约束的作用，应根据每个约束的特征确定约束反力的个数（一个力、两个正交分力或三个正交分力）和方位。

切不可凭主观臆测去推断约束反力的方位。

为此，可核对每一个所画出的约束反力，指出它是由哪个物体（施力体）施加的。

约束反力不能多画，也不能漏画。

（4）要熟练地使用规定的字母和符号标记各个力，对作用力和反作用力应注意它们的标记特征。

要按原结构图上各构件的尺寸和几何关系作图，以免引起错误。

（5）对系统中的二力杆应给予特别的注意。

必要时还应根据有关公理或推论对某些约束反力进行分析，并确定其方位。

（6）当以系统为研究对象时，受力图上只画研究对象所受的主动力和约束反力，而不画其成对出现的内力。

（六）虚位移原理。

1、基本概念

（1）真实位移—实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。

（2）可能位移—约束允许的位移，用Δr表示，它只需满足约束条件。

（3）虚位移—定常约束情况下的可能位移，非定常情况下假想约束“冻结”时的可能位移，用r表示。

2、例题

3、解题步骤

1.确定研究对象：

整体

2.约束分析：

是否理想约束？

3.受力分析：

Ø求主动力之间的关系或平衡位置：

只画主动力

Ø求约束反力：

解除约束，约束反力作为主动力

4.给出虚位移，找出它们之间的关系

Ø几何法：

根据约束的几何关系，直接找出各点虚位移之间的关系

Ø解析法：

选取适当的坐标系，写出约束方程并进行变分，即可求得各点的虚位移

5.列出虚功方程，并求解