最新人教版八年级数学上册 143 因式分解3课时.docx

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最新人教版八年级数学上册143因式分解3课时

14．3　因式分解

14．3.1　提公因式法（第1课时）

一、基本目标

【知识与技能】

1．明确提公因式法分解因式与单项式乘多项式的关系．

2．能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式．

【过程与方法】

1．经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．

2．使学生经历探索多项式各项公因式的过程，根据化归思想方法进行因式分解．

【情感态度与价值观】

培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动、积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．

二、重难点目标

【教学重点】

用提公因式法把多项式分解因式．

【教学难点】

整式乘法与因式分解之间的关系，正确确定多项式的最大公因式．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P114～P115的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

一、因式分解的概念

1．把下列多项式写成整式的积的形式：

x2＋x＝x（x＋1）；　x2－1＝（x＋1）（x－1）；ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）.

2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）．

3．多项式与因式分解的关系：

多项式

整式的乘积

4．下列各式从左到右的变形为因式分解的是③.（填序号）

①（x＋1）（x－1）＝x2－1；②a2－1＋b2＝（a＋1）（a－1）＋b2；③7x－7＝7（x－1）．

二、公因式与提公因式法

1．公因式：

如果一个多项式中各项都含有一个公共的因式，那么这个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．如pa＋pb＋pc中，p是这个多项式的公因式．

2．提公因式法：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．字母表示：

pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c）．

3．多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是3ab.

4．把下列各式分解因式：

（1）3x2－6xy；

（2）3a2（x－y）3－4b2（y－x）2.

解：

（1）x（3x－6y）．　

（2）（x－y）2（3a2－4b2）．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】把下列各式分解因式：

（1）

（1）4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；

（2）2a（b＋c）－3（b＋c）；

（3）（a＋b）（a－b）－a－b.

【互动探索】（引发学生思考）找出式子的公因式→确定提公因式后剩下的多项式→写成乘积形式．

【解答】

（1）

（1）原式＝4xy2（xy＋2xz－3z）．

（2）原式＝（2a－3）（b＋c）．

（3）原式＝（a＋b）（a－b）－（a＋b）＝（a＋b）·（a－b－1）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）确定多项式中各项的最大公因式，可概括为三“定”：

①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．

【例2】已知2x－y＝1，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．

【互动探索】（引发学生思考）因式分解2x4y3－x3y4→确定已知等式与因式分解结果的关系→代入求值．

【解答】原式＝x3y3（2x－y）＝（xy）3（2x－y）＝23×1＝8.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题的一般步骤：

先分解因式→再代值计算．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列从左到右的变形中是因式分解的有（　B　）

①x2－y2－1＝（x＋y）（x－y）－1；②x3＋x＝x（x2＋1）；③（x－y）2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝（x＋3y）（x－3y）．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是（　C　）

A．5mn　B．5m2n2

C．5m2n　D．5mn2

3．把2（x－3）＋x（3－x）提取公因式（x－3）后，另一个因式是（　C　）

A．x－2　B．x＋2

C．2－x　D．－2－x

4．把下列各式分解因式：

（1）a2x2y－axy2；

（2）3a（x－y）－5b（y－x）；

（3）x2（a－1）＋x（1－a）；

（4）x（x2－xy）－（4x2－4xy）．

解：

（1）axy（ax－y）．　

（2）（x－y）（3a＋5b）．

（3）x（a－1）（x－1）．　（4）x（x－y）（x－4）．

5．已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．

解：

∵a＋b＝7，ab＝4，∴a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝4×7＝28.

教师点拨：

求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．

【互动探索】要判断△ABC的形状→化简已知等式，找出边a、b、c之间的关系→确定△ABC的形状．

【解答】△ABC是等腰三角形．理由如下：

由a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，则（a－c）＋2b（a－c）＝0，即（a－c）（1＋2b）＝0，∴（a－c）＝0或（1＋2b）＝0，即a＝c或b＝－

（舍去），∴△ABC是等腰三角形．

【互动总结】（学生总结，老师点评）通过提公因式分解因式，从而找出三边的关系来判定三角形的形状．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

因式分解与整式乘法是方向相反的变形．

整式乘法↔因式分解——提公因式法

字母表示：

pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c），其中p为公因式．

请完成本课时对应练习！

14.3.2　公式法

第2课时　平方差公式

一、基本目标

【知识与技能】

1．掌握平方差公式分解因式的方法．

2．掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用．

【过程与方法】

通过平方差公式逆向的变形，发展学生逆向思维；通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想．

【情感态度与价值观】

培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法，体会数学在实际问题中的应用价值．

二、重难点目标

【教学重点】

运用平方差公式分解因式．

【教学难点】

平方差公式的逆用及高次指数的转化、两种因式分解方法的灵活运用．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P116～P117的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．

（1）（x＋2）（x－2）＝x2－4；（y＋5）（y－5）＝y2－25.

（2）根据

（1）中等式填空：

x2－4＝（x＋2）（x－2）；y2－25＝（y＋5）（y－5）.

2．平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）.即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

3．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是②.（填序号）

①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.

3．分解因式：

（1）4x2－9y2；

（2）16－a4；（3）（a2＋1）2－4a2

解：

（1）（2x＋3y）（2x－3y）．　

（2）（4＋a2）（2＋a）（2－a）．　（3）（a＋1）2（a－1）2.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】分解因式：

（1）x2－9y2；

（2）16x4－y4；

（3）12a2x2－27b2y2；

（4）（x＋2y）2－（x－3y）2；

（5）m2（16x－y）＋n2（y－16x）．

【互动探索】（引发学生思考）观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解．

【解答】

（1）x2－9y2＝x2－（3y）2＝（x＋3y）（x－3y）．

（2）16x4－y4＝（4x2＋y2）（4x2－y2）＝（4x2＋y2）（2x＋y）（2x－y）．

（3）12a2x2－27b2y2＝3（4a2x2－9b2y2）＝3（2ax＋3by）（2ax－3by）．

（4）（x＋2y）2－（x－3y）2＝[（x＋2y）＋（x－3y）][（x＋2y）－（x－3y）]＝5y（2x－y）．

（5）m2（16x－y）＋n2（y－16x）＝（16x－y）·（m2－n2）＝（16x－y）（m＋n）（m－n）．

【互动总结】（学生总结，老师点评）

（1）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

（2）在平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数．

【例2】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．

【互动探索】被自然数整除的含义是什么？

248－1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？

【解答】248－1＝（224＋1）（224－1）＝（224＋1）·（212＋1）（212－1）＝（224＋1）（212＋1）（26＋1）（26－1）．

∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，

∴这两个数是65和63.

【互动总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　D　）

A．a2＋（－b）2　B．5m2－20mn

C．－x2－y2　D．－x2＋9

2．下列各式从左到右的变形正确的是（　D　）

A．－2x＋4y＝－2（x－4y）

B．a2－6＝（a＋2）（a－3）

C．（a＋b）2＝a2＋b2

D．x2－y2＝（x－y）（x＋y）

3．当整数a为－4时（只写一个），多项式x2＋a能用平方差公式分解因式．

教师点拨：

此题答案不唯一．

4．分解因式：

（1）a4－

b4；

（2）x3y2－xy4；

（3）（a＋b）2－4a2；

（4）9（m＋n）2－（m－n）2.

解：

（1）

.

（2）xy2（x＋y）（x－y）．

（3）（b－a）（3a＋b）．

（4）4（m＋2n）（2m＋n）．

5．已知x2－y2＝－1，x＋y＝

，求x－y的值．

解：

∵x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝－1，x＋y＝

，∴x－y＝－2.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】利用因式分解计算：

（1）1012－992；

（2）5722×

－4282×

.

【互动探索】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解．

【解答】

（1）1012－992＝（101＋99）（101－99）＝400.

（2）5722×

－4282×

＝（5722－4282）×

＝（572＋428）（572－428）×

＝1000×144×

＝36000.

【互动总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，若通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．分解因式的步骤：

先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．

2．不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件．

请完成本课时对应练习！

第3课时　完全平方公式

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解用完全平方公式分解因式的原理．

2．初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式．

【过程与方法】

经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．

【情感态度与价值观】

培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握用完全平方公式分解因式．

【教学难点】

识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件．

环节1　自学提纲，生成问题

【5min阅读】

阅读教材P117～P119的内容，完成下面练习．

【3min反馈】

1．填空：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2.

2．根据

（1）中的式子填空：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2.

3．形如a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．

4．完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝（a±b）2.即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

4．.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是③.（填序号）

①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.

5．分解因式：

（1）9x2＋6x＋1；

（2）3m2n－12mn＋12n；

（3）（a＋b）2－12（a＋b）＋36.

解：

（1）（3x＋1）2.　

（2）3n（m－2）2.

（3）（a＋b－6）2.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】因式分解：

（1）－3a2x2＋24a2x－48a2；

（2）（a2＋4）2－16a2.

【互动探索】（引发学生思考）观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解．

【解答】

（1）原式＝－3a2·（x2－8x＋16）＝－3a2（x－4）2.

（2）原式＝（a2＋4）2－（4a）2＝（a2＋4＋4a）·（a2＋4－4a）＝（a＋2）2（a－2）2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．

【例2】已知|b－4|＋a2－a＋

＝0，求ab的值．

【互动探索】（引发学生思考）等式左边变形→转化为|b－4|＋

2＝0→确定a、b的值→ab的值．

【解答】依题意，得|b－4|＋

2＝0.

∴

∴

∴ab＝

4＝

.

【互动总结】（学生总结，老师点评）先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求出a、b.

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（　B　）

（1）a2＋ab＋b2；

（2）a2－a＋

；（3）9a2－24ab＋4b2；（4）－a2＋8a－16.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2．有一个式子为x2＋6x＋△＝（x＋Ω）2，则（　A　）

A．△＝9，Ω＝3　B．△＝6，Ω＝3

C．△＝3，Ω＝9　D．△＝3，Ω＝6

3．若x2＋（m－3）x＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于－5或11.

4．因式分解：

（1）2a3－4a2b＋2ab2；

（2）（x＋2）（x＋3）＋

；

（3）（x2－1）2＋6（1－x2）＋9.

解：

（1）2a（a－b）2.　

（2）

2.

（3）（x＋2）2（x－2）2.

5．利用因式分解计算：

（1）342＋34×32＋162；

（2）38.92－2×38.9×48.9＋48.92.

解：

（1）342＋34×32＋162＝（34＋16）2＝2500.

（2）38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝（38.9－48.9）2＝100.

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】已知x＋

＝4，求：

（1）x2＋

的值；

（2）

2的值．

【互动探索】确定x＋

与所求式子之间的联系→利用完全公式变形x2＋

＝

2－2，

2＝

2－4→代入数据求值．

解：

（1）x2＋

＝

2－2＝42－2＝14.

（2）

2＝

2－4＝42－4＝12.

【互动总结】（学生总结，老师点评）这里需要活用公式，如x2＋

＝

2－2，

2＝

2－4，将两个完全平方公式进行互相转化．

环节3　课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1．用完全平方式分解因式，关键在于观察各项之间的关系，配凑a、b.

2．分解因式的步骤：

先排列，使首项系数不为负；提取公因式；然后运用公式法；检查各因式是否能再分解．

请完成本课时对应练习！