圆的垂径定理试题附答案.docx
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圆的垂径定理试题附答案
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理
1、（2013年潍坊市）如图，OO的直径AB=12CD是OO的弦，CD!
AB,垂足为P,且BPAP=1:
5,则CD的长为（）.
结论中不一定正确的是（）
4、（2013?
泸州）已知OO的直径CD=10cmAB是OO的弦，AB丄CD垂足为M且AB=8cm贝UAC的长为（）
A.B.匚-cmC.上cm或D.-:
;cm或匚电Vcm
5、（2013?
广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C,若AB=8cmCD=3cm则圆O
6（2013?
绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为
5m则水面宽AB%（）
则截
11、（2013浙江丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10水面宽AB=16
面圆心O到水面的距离OC是
A.4B.5C.6D.8
12、（2013?
宜昌）如图，DC是OO直径，弦AB丄CD于F，连接BQDB则下列结论错误的是（
A.AD-BDbAF=BFC.OF=CFD./DBC=90
13、（2013?
毕节地区）如图在OO中，弦AB=8OCLAB垂足为C,且OC=3则OO的半径（
14、（2013?
南宁）如图，AB是OO的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=,/BAC=/BOD则OO
A.4:
B.5C.4D.3
15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是（
16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水
2cm则该输水管的半径为（
17、（2013?
内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0）,直线y=kx-3k+4
与OO交于BC两点，则弦BC的长的最小值为.
18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆OO上的点，在以下判断中，不
正确的是（）
当弦PE■最长时.△馭是等腰三角形。
当△APC是等腰三角形时，P01AC.
C.当P01AC时，ZACT=30c.
D,当ZACP=30\AFEC是直肃三角形。
AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4^，弦CD=DE=4连结OBOD则图中
20、（2013?
宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为cm.
21、（2013?
包头）如图，点A、B、C、D在OO上,OBLAC,若/BOC=56，则/ADB=度.
22、（2013?
株洲）如图AB是OO的直径，/BAC=42，点D是弦AC的中点，则/DOCK度数是度.
EM=8贝U7所在圆的半径为
23、（2013?
黄冈）如图，M是CD的中点，EMLCD若CD=424、（2013?
绥化）如图，在OO中，弦AB垂直平分半径OC垂足为D,若OO的半径为2,则弦AB的长为
25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与OO相切于点A,ACCD是OO的两条弦，且CD//AB,若OO的半径为5，CD=4则弦AC的长为
2
26、（2013?
张家界）如图，OO的直径AB与弦CD垂直，且/BAC=40，则/BOD=.
27、（2013?
遵义）如图，OC是OO的半径，AB是弦，且OCLAB点P在OO上，/APC=26，贝U/BOC=度.
28、（2013陕西）如图，AB是OO的一条弦，点C是OO上一动点，且/ACB=30，点E、F分别
是AGBC的中点，直线EF与OO交于GH两点，若OO的半径为7,则GE+FH勺最大值为.
29、（2013年广州市）如图7,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与
30、（2013年深圳市）如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
小刚身高1.6米，测得其影长为2.4
米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半
31、（2013?
白银）如图，在OO中，半径OC垂直于弦AB垂足为点E.
（1）若OC=5AB=8求tan/BAQ
（2）若/DAChBAC且点D在OO的外部，判断直线AD与OO的位置关系，并加以证明.
32、（2013?
黔西南州）如图，AB是OO的直径，弦CELAB与点E,点P在OO上，/仁/C,
（1）求证：
CB//PD
3
（2）若BC=3sin/P=3，求OO的直径.
5
33、（2013?
恩施州）如图所示，AB是OO的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CELAB于点D,CD交AE于点F,过C作CG/AE交BA的延长线于点G.
（1）求证：
CG是OO的切线.
（2）求证：
AF=CF（3）若/EAB=30，CF=2求GA的长.
34、（2013?
资阳）在OO中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结
CD
（1）如图1,若点D与圆心O重合，AC=2求OO的半径r;
（2）如图2,若点D与圆心O不重合，/BAC=25，请直接写出/DCA的度数.
参考答案
1、【答案】D.
【考点】垂径定理与勾股定理•
【点评】连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决•
2、【答案】C
【解析】由勾股定理得A吐5,则sinA=-，作CELAD于E,则AE=DE在Rt△AEC中，5
sinA=些，即4，所以，CE=12，AE=9，所以，AD=18
AC53555
3、【答案】C
【解析】由垂径定理可知:
A一定正确。
由题可知：
EFLCD又因为AB丄CD所以AB//EF,即B
定正确。
因为/ABC和/ADC所对的弧是劣弧，AC根据同弧所对的圆周角相等可知D一定正确。
4、【答案】C
【考点】垂径定理；勾股定理.
【专题】分类讨论
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论
【解答】解：
连接AC,AO
■/©O的直径CD=10cmAB丄CDAB=8cm二AM=ABX8=4cmOD=OC=5qm
当C点位置如图1所示时，tOA=5cmAM=4cmCDLAB
•••OM=|\i|-==3cm，二CM=OC+OM=5+3=8cm
•••AC===4"cm
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cmtOC=5cm•-MC=^3=2cm
在Rt△AMC中，AC===2.口cm
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
5、【答案】A
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】连接AO根据垂径定理可知AC=AB=4cm设半径为x，则OC=k3,根据勾股定理即
可求得x的值
【解答】解：
连接AQt半径OD与弦AB互相垂直，•AC=AB=4cm
2
设半径为x，贝UOC=x-3,在Rt△ACO中,aO=aC+oC,
即x2=42+（x-3）2,解得：
x=，故半径为二cm
6-6
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般
6【答案】D
【考点】垂径定理的应用；勾股定理.
【分析】连接0A根据桥拱半径0C为5n，求出0A=5m根据CD=8m求出0D=3，根据AD=■;j-,T2求出AD最后根据AB=2AD即可得出答案.
網连按曲丁桥拱半径0C为5m；.0A=5ni,TCD=8nta
\\0D=8-左3皿,.二随二〈磴-0D叫5,_3上4刖,.*.AE^2AD=2X4二g（m）；
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理.
7、【答案】B
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出0B
3
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容
8、【答案】D
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设。
0的半径为r，则OC=r-2,由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE由圆周角定理可知/ABE=90，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长.
【解答】
解，TOO的半径8丄弦AB于点：
AB=9P.,.AC=AB=4,a
设£0的半径芨「则OCp-比在肛直駆中，'.'AO4,OOh-2,・\OA：
=ACJ+OC\Bfr：
=4：
+Cr-2）\M#r=5,.\AE=2r=10,门逹捷BE,…竝是◎備直径，二上ABE二亦.在RiAABE^,p
'.AE=10.AB=8,_曲2=寸代2_沪6,a
在略SI中，TBWBCN,ACE二応赢N毎孑凸/ii
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
9、【答案】A
【考点】圆锥的计算.
【分析】过O点作OCLAB垂足为D,交。
0于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半，而
OA为半径，可求/A=30,同理可得/B=30,在厶AOB中，由内角和定理求/AOB然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可.
輕：
过0点作0C丄AB・垂足为口交®D干鱼3+由折養的性厲可知.OD=OC=OA,j由此可得，在皿妙中」乙护30°,同理可得，和在厶ADBF由內再南定理，^Z?
JOR-180n-ZA-ZB-120n二祗址的长为迦仝丄2兀设囿戒的圆锥妁底面半径为「180
则2口=二2兀二口皿；国ft的高为寸萨.产£近
【点评1本题考查了垂径定理，抒叠的性瓯特殊直角三角形的判断-关犍是由折叠的性质得出含30°的直角三角形心
10、【答案】C
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】连接OC先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长
【解答】
解;连接OC,VCDiAB,CD二&・・・PC-CD=X8=4,在R1A0CP*/PO4P0P=3,屮
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
11、【答案】C
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】根据垂径定理得出A吐2BC再根据勾股定理求出OC的长
【解答】解：
：
OCLAB,A吐16,二BC等于丄
2AB=8。
在Rt△BOC中,OB=10,BO8,…0匚==小『_甘'6。
12、【答案】C
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.
【解答】•••DC是。
0直径，弦AB丄CD于F,「.点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点,
A、AD二BD，正确，故本选项错误；B、AF=BF正确，故本选项错误;
C、OF=CF不能得出，错误，故本选项错误；D/DBC=90，正确，故本选项错误；【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般
13、【答案】A
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】连接OB先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度
【解答】
解’连接OB,'-'OClAB.AB二&二號二AB二X8二4,
在中，0B=Voc2+OB32f4^^■
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
14、【答案】B
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理.
【分析】先根据/BAC=/BOD＜得出=|,故可得出ABICD,由垂径定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得出结论
1-1
【解答】解：
I/BAC=/BOD：
BC=BD，二AB丄CD：
AE=CD=,二DE=；CD=4设OD=,则OE=AEr=8-r，在RtODE中,OD=,DE=4OE=8-r,
•••O良DE+OE,即卩r2=42+（8-r）2,解得r=5.
【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键
15、【答案】C
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】过点0作ODLAB于点D,由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，禾U用勾股定理即可得出0D的长
【解答】
解，如图所示；过点0作0D1AB于点JL
'/0B=3,AB=3»0D1AB,BD=AB=X4=2,
在RtZ\&OD中，QD二寸0B'-BD匕』乎-2上'斥"
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出0D的长是解答此题的关键
16、【答案】C
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】过点0作ODLAB于点D,连接0A由垂径定理可知AD=AB设0A二r,贝UOD=r-2,
在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值.
解：
如图所吓：
过点0作OD_I_AB于点D,毎接Oh
VOD1AB,・；M）=J.AB=2x8=4cid,设0E则0D=t-2S
22
在E-tAADD中.0AM3DW.即凸（r-2）解彳帚r二5皿
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
17、【答案】24
【考点】一次函数综合题.
【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D（3,4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出0D的长，再根据以原点0为圆心的圆过点A（13,0）,求出OB的长，再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
【解答】
a
解；T直线y=kx-必过点D（乱4）,
■:
最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,
T点D的坐标是（3,O二00=5,
丁以原点0为圆心的圆过点AC13,0）p二圆的半径为13,
.*.08=13,/.80=12.
二的长的最小值为轴
（°
【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.
18、【答案】C
【考点】圆和等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断：
当弦PB最长时，PB是。
O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得P心PC即厶APC是等腰三角形，判断A正确；
当厶APC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PCLAC判断B正确；
当PCIAC时，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，/ACP=60°,则/ACP=60°,判断C错误；
当/ACP=30°时，/ABP=ZAC圧30°，又/ABG60°，从而/PBG30°;又/BAC=60°，所以，/BCP=90°,即厶PBC是直角三角形，判断D正确。
19、【答案】10n
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.
【分析】根据弦AB=BC弦CD=DE可得/BCD=90，/BCD=90，过点O作OHBC于点F,OGLCD于点G,在四边形OFCC中可得/FCD=135，过点C作CN/OF交OG于点N,判断△CNG△OMN为等腰直角三角形，分别求出NGON继而得出OG在Rt△OG冲求出OD即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可.
【解答】
解「「弦AB二监5£CD=DE,.■-点B是弧M的中点，点D是弧CE的中点，
二二BOD二93,过点Q作0F1BC于点几0G1CD于点⑺"
则即二CG=GD=2,ZFOG=45°,在四边形OFCG中,ZF01350,过点C作CN//0F,交0G于点则ZFCN=90°,ZNCG=135°70“二45°「△GNG为等矇三角%.；.CG=NG=2,
过点N作Nil丄0F于点乩则MNg迈*
在等腰三角形MNO中.N0=VaiN=^（
在瑟3冲，02応云耳応?
匕伍，圆0的半径为2莎#
故+*叩八沔1叽,
【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大
20、【答案】2二
【考点】垂径定理；勾股定理.
【解答】
【分析】通过作辅助线，过点O作ODLAB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2O,根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.
过点0作0D1AB交AB于点D,
'.'0A=20B=2€niJ时
/.AD=^qa2-Q[]2=^22-£2=73^,
V0DIAB,
二AB二2AE二ZVscd..
【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用
21、【答案】28
【考点】圆周角定理；垂径定理.
【分析】根据垂径定理可得点B是一正中点，由圆周角定理可得/ADB=/BOC继而得出答案.
2
【解答】解：
：
OBLAC，二畠毛，•••/ADB=/BOC=28
【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
22、【答案】48
【考点】垂径定理
【分析】根据点D是弦AC的中点，得到ODLAC，然后根据/DOCMDOA即可求得答案.
【解答】解：
：
AB是OO的直径，二OA=OC/A=42O/-ZACOMA=42°
TD为AC的中点，二ODLAC，/ZDOC=90-ZDCO=90-42°=48°.
【点评】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.
23、【答案】
OC由M是CD的中点，EMLCD可得EMSOO的圆心点O,然后设半径为x,8-x）2+22=x2，解此方程即可求得答案.
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理•此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
24、【答案】2：
■；
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】连接OA由AB垂直平分OC求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长.
■/0C丄AB,「.D为粒的中点，4J
则^=2AD=2^qa2-Qd^Vs2--卡
故答案为I2Ji斗
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
25、【答案】25
【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质.
【分析】本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
【解答】连接OA作OELCD于E,易得OALAB,CE=DE=2由于CD//AB得EOA三点共线，连OC,
在直角三角形OE0中,由勾股定理得OE』，从而AE=4再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=2^5
2
26、【答案】80°
【考点】圆周角定理；垂径定理.
【分析】根据垂径定理可得点B是一亦中点，由圆周角定理可得/B0D=2BAC继而得出答案.
【解答】解：
：
，。
。
的直径AB与弦CD垂直，二yi,：
/BOD=2BAC=80.
【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
27、【答案】52°
【考点】圆周角定理；垂径定理.
【分析】由0C是。
0的半径，AB是弦，且OCLAB根据垂径定理的即可求得：
吋=「，又由圆周角定理，即可求得答案.
【解答】解：
：
OCMOO的半径，AB是弦，且OCLAB
•••宀=■：
'，:
/BOC=ZAPC=2<26°=52°.
【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理•此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.
28、【答案】14-3.5=10.5
【考点】此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。
【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。
连接OAOB因为/
1
ACB=30，所以/AOB=60，所以OA=OB=AB=7因为E、F中ACBC的中点，所以EF=AB=3.5，2
因为GE+FH=GHEF,要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH勺最大值为14-3.5=10.5
29、【答案】（3,2）
【考点】垂径定理；勾股定理.
【分析】过点P作PDLx轴于点D,连接OP先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案.
【解答】
（
解：
过点F作PD丄X轴于点D,连接0P・p"A（6,C）TPDJ.0扎0D=0A=3tp在RtZXOPD中，，.，0P=V13i0E-3,*
0
0）工
「问珂軒"-0产/7届）2-3^-P⑶2）.
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
30、【答案】5m
【考点】垂径定理；勾股定理.
由垂径定理抽⑻冷踰设卑栓％r呦-—在屮.由勾腔运理3y：
-XfGz=OGl
因此“二UR1輯得：
胆此小桥所在的半栓为5m.
31、【考点】切线的判定；勾股定理；垂径定理.
【分析】
（1）根据垂径定理由半径0C垂直于弦ABAE=AB=4再根据勾股定理计算出0E=3则EC=2然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan/BAC的值；
（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到/A0C=2BAC由于/DAChBAC所以/AOCMBAD利用/AOC£OAE=90即可得到/BAD#OAE=90,然后根据切线的判定方法得AD为OO的切线.
【解答】
解：
（0丁半径0CO.SI.AB--'-AE=BE=AB=4,在RtAOAE中，0A=5,AE=4,屮
.■.OE=^oa2-aE^3,EOOC-0E=5-3=2,在RtAAEC中，AE二4EC=23+tanZBAO^==；心
AE
（2）AD与©0相切.理由如下「••半径0C垂真壬菠隔
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