习题集含详解高中数学题库高考专点专练之77平面向量的分解.docx

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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之77平面向量的分解

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之77平面向量的分解

一、选择题（共40小题；共200分）

1.设，，分别为的三边，，的中点，则

A.B.C.D.

2.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是

A.B.

C.D.

3.已知是的中线，，，以，为基底表示，则

A.B.C.D.

4.已知为边上一点，，，若，则

A.B.C.D.

5.在中，已知是延长线上一点，点为线段的中点，若，且，则

A.B.C.D.

6.在中，为三角形所在平面内一点，且，则

A.B.C.D.

7.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足，其中有，且，则点的轨迹方程为

A.B.

C.D.

8.已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为

A.B.C.D.

9.已知为等边三角形，，设点，满足，，，若，则

A.B.C.D.

10.如图，在三角形中，已知，，，点为的三等分点．则的取值范围为

A.B.C.D.

11.如图，在菱形中，，，为的中点，则的值是

A.B.C.D.

12.在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若，则的取值范围是

A.B.C.D.

13.在中，，，记，，则

A.B.C.D.

14.已知和点满足．若存在实数使得成立，则

A.B.C.D.

15.设是的内心，，．若，则

A.B.C.D.

16.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为

A.B.C.D.

17.设，，分别为三边，，的中点，则

A.B.C.D.

18.如图，在中，，分别是，的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是

A.B.C.D.

19.在中，为三角形所在平面内的一点，且，则

A.B.C.D.

20.在中，为三角形所在平面内一点，且，则

A.B.C.D.

21.如图，正方形中，是的中点，若，则

A.B.C.D.

22.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则

A.B.C.D.

23.在中，，若点满足，以与作为基底，则

A.B.C.D.

24.在梯形中，，则等于

A.B.C.D.

25.已知，，三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，，则直线一定过的

A.重心B.垂心C.外心D.内心

26.在边长为的正三角形中，设，，则

A.B.C.D.

27.如下图，已知，，，点在线段上，且∠，设，则等于

A.B.C.D.

28.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为

A.B.C.D.

29.在中，，，，为边上的高，若，则等于

A.B.C.D.

30.已知平面内一点及，若，则点与的位置关系是

A.点在线段上B.点在线段上

C.点在线段上D.点在外部

31.如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为

A.B.C.D.

32.设是的重心，，，分别是角，，所对的边，若，则的形状是

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

33.已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为

A.B.C.D.

34.已知单位向量，，，点满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则

A.B.C.D.

35.如图，在边长为的正三角形中，，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，分别是，的中点，则的最小值为

A.B.C.D.

36.将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为，并且，．若将点到正八角星个顶点的向量，都写成为，，的形式，则的最大值为

A.B.C.D.

37.在梯形中，，已知，，若，则

A.B.C.D.

38.已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为

A.B.C.D.

39.已知点是的外心，，，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点，分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，则点的轨迹为

A.一条线段B.一段圆弧

C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分

40.已知，，若，且，，则

A.，B.，

C.，D.，

二、填空题（共40小题；共200分）

41.若等边的边长为，平面内一点满足，则 ．

42.在中，点，满足，．若，则 ； ．

43.已知是内一点，，的面积为，则的面积为 ．

44.矩形中，，，为矩形内部一点，且，若，则的取值范围是 ．

45.在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则当 时，有最小值为 ．

46.已知为的外心，且．

①若，则 ；

②若，则的最大值为 ．

47.在三角形中，，，，点、为、的中点，点在上，且，则的值为 ．

48.在中，，，．若，，且，则的值为 ．

49.在四边形中，，，则四边形的面积为 ．

50.在中，，，，是边上一点，，则 ．

51.在平行四边形中，，则线段的长为 ．

52.在平行四边形中，，，为的中点．若，则的长为 ．

53.在直角梯形中，已知，，，，若为线段上一点，且满足，，则 ．

54.已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，，若，则实数的值为 ．

55.设为所在平面上一点，且满足．若的面积为，则的面积为 ．

56.在中，，，角的平分线与边上的中线交于点，若，则的值为 ．

57.已知在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点，不重合），若，则实数的取值范围是 ．

58.已知在四边形中，，，为的中点，则 ．（用，表示）

59.如图，在中，点，满足，．若，则实数 ， ．

60.在矩形中，是对角线的交点，若，，则 ．

61.如图，在中，若，，，则实数 ．

62.若点在内部且满足，则的面积与凹四边形的面积之比为 ．

63.如图，在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则 ．

64.如图，在正方形中，点，分别是，的中点，那么 ．（用，表示）

65.设，，，其中，，，均为实数，且，，若，，三点共线，则 ．

66.在中，已知是边上一点，若，，则 ．

67.在中，，若，则 ．

68.如图，在四边形中，，，为的中点，若，则 ．

69.如图，在中，已知，延长到点，使，若，则的值为 ．

70.等腰直角三角形中，，，是斜边上一点，且，则 ．

71.设向量，是平面内的一组基底，，是实数，若，则实数 ， ．

72.在中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为 ．

73.已知的重心为，过任做一直线分别交边，于，两点，设，，则的最小值是 ．

74.在锐角中，已知，，则的取值范围是 ．

75.在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．

76.已知四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于 

77.在中，，，与交于点，设，，则 ．（用，表示）

78.已知平面向量，满足且与的夹角为，则的取值范围是 ．

79.在中，，，设为内部及其边界上任意一点，若，则的最大值为 ．

80.在中，，，的平分线与边上的中线交于点，若，则的值为 .

三、解答题（共20小题；共260分）

81.设、是已知向量，解关于向量的方程．

82.判断下列命题真假．

（1）一个平面中只有一对不平行的向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底．

（2）平面中任意两个向量都可以作为这个平面内所有向量的一组基底．

83.如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段的中点．若，求的值．

84.如图所示，在中，上有一点（点不与点，重合），设，，，求证，并且．

85.设，是给定的不共线向量，试求满足条件的向量，，并作图用，表示，．

86.将图中的向量分解为关于向量与的线性组合．

87.如图，在中，，，与相交于点，设，．试用和表示向量．

88.如图，在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，记，，求的值．

89.如图，在平行四边形中，是的中点，是对角线上的点，且，设，，试用，分别表示，．

90.在中，，是上的一点，若，求实数的值．

91.在内有一点，满足，为边的中点，，设，，以，为基底，试求下列向量表达式：

（1）；

（2）．

92.如图，四边形为平行四边形，为对角线，的交点，向量，．又，，试用，表示，，．

93.已知点是的重心，是边的中点．

（1）求；

（2）若过的重心，且，，，，求证：

．

94.如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，试用基底，表示向量．

95.如图所示，是的重心，，分别是边，上的动点，且，，三点共线．

（1）设，将用，，表示；

（2）设，，证明：

是定值．

96.如图，若点、、分别为的边、、上的点，且，，．当时，求证：

；

97.

（1）若，是不共线的向量，且，，，求为何值时，，，三点共线?

（2）已知四点，，和，试以，为基底表示．

98.已知三点不共线，且．

（1）若，求证：

三点共线；

（2）若三点共线，求证：

．

99.如图，已知菱形中，点为线段上一点，且．

（1）若，，求，的值；

（2）若，且，求实数的取值范围．

100.设是边长为的正三角形，点，，，四等分线段（如图所示）．

（1）为边上一动点，求的取值范围；

（2）为线段上一点，若，求实数的值．

答案

第一部分

1.A【解析】设，，则，．

从而．

2.B【解析】提示：

只要非零不共线即可．

3.B【解析】如图，是的中线，则为线段的中点，从而，即，从而．

4.B5.A

6.B7.D【解析】点满足，其中有，则、、三点共线．所以的轨迹为．

8.B【解析】

，，

所以

9.A【解析】因为，，又，且，，，所以，即，所以，解得．

10.D

【解析】因为，

所以．

因为，所以，所以．

11.B12.A【解析】

因为，在线段上，

所以，，，

所以．

13.A【解析】

由

14.B【解析】由知，点为的重心，设为边的中点，则，所以有，故．

15.A

16.A【解析】因为，，

所以．

设，得，

所以且，解得，．

17.D18.C【解析】若在线段上，设，

则有，

所以，

由于，

则，，

故有，

若在线段上，设，

则有，

故，时，最小值为，当，时，最大值为，

故范围为，

由于在中，，分别是，的中点，

则，

则，，

故有，当，时有最小值，当，时，有最大值，

故范围为，

若在阴影部分内（含边界），则．

19.C【解析】由已知，在中，为三角形所在平面内一点，且；

点在平行于的中位线上，从而有，，

所以．

所以则．

20.D

21.B【解析】，，；

所以

所以由平面向量基本定理得

解得，，

所以．

22.B23.A【解析】因为，所以，

所以，所以．

24.D25.A

【解析】如图，取的中点并连接，

则，，

因为，，

所以，即，，三点共线，

又因为为边上的中线，

所以直线一定过的重心．

26.D27.C28.A【解析】由题意正方形中，为的中点，可知，则．

29.A【解析】如图，

由题意得，；

所以；

所以

又；

所以，；

所以．

30.C

【解析】由得，即，所以点在线段上．

31.C【解析】如图，延长交于点，则．

又因为，，共线，所以，且，，所以，当且仅当，即时取等号．

32.B【解析】因为是的重心，所以，，，

又，

所以，

所以，所以．

所以的形状是等边三角形．

33.B【解析】方法一：

如图，

设，，则，，，，

所以

方法二：

建立如图所示的直角坐标系，

则，，，．

设，则，．

因为，

所以．

所以，，

所以．

34.D35.C

【解析】

所以

因为，所以，所以．

36.C【解析】提示：

作图如下．

结合图知，，此时取到最大值．

37.A【解析】如图，作，交于，则为平行四边形，

=，

又=，

所以，故．

38.B【解析】因为，所以在的角平分线上，又在的角平分线上，所以为的内心．因为，所以．表示在方向上的投影，过作垂直于，则由圆的切线性质和已知可得，，所以，故的值为.

39.B【解析】设的中点为，则，又因为，所以有，所以点与点重合，又因为，，是三个单位向量且，所以是以为斜边的直角三角形，所以，又因为的顶点，分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，所以点的轨迹是以为直径，为圆心的圆在第一象限的部分，所以点的轨迹是一段圆弧．

40.C

第二部分

41.

【解析】提示：

．

42.，

【解析】．

又因为，

所以，．

43.

【解析】令，．

因为四边形为平行四边形，

所以．

因为，

所以，

所以．

延长交于，则，且为中点．

所以，

所以．

44.

【解析】设点在上的射影为，，

则，且，．

又与共线，与共线，故，，

从而，故，，

因此，

又，故的取值范围是．

45.，

【解析】由题意，易得．

所以

，

（当且仅当时等号成立）．

46.①，②

47.

【解析】作图：

，，

所以

48.

【解析】如图所示，

中，，，，，

所以

又，

所以

所以，

解得．

49.

50.

【解析】，

所以

．

51.

【解析】因为，

所以，

即，，

又因为，由向量投影的定义，

所以，

所以．

52.

【解析】设的长为，

因为，，

所以

由已知，得．

又因为，

所以，即的长为．

53.

【解析】由题意可得，，，，

则，

所以，

因为，

所以，，

则

又，

且，，

所以，

所以，．

54.

【解析】因为，，

所以

解得：

．

55.

56.

【解析】如图，

在中，为的平分线，为边的中线，且．在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得，两式相除得．因为，，所以，所以，即，即，所以，从而，因为，所以，，于是．

57.

【解析】设，

则

因为，点在线段上（与点，不重合），

所以．

又，

所以，

所以．

58.

【解析】因为，

所以

59.，

【解析】

所以，．

60.

【解析】因为四边形是矩形，是其对角线的交点，

所以是的中点，且．

又，

所以．

所以．

61.

【解析】因为，，所以，．

所以．

又因为，

所以．

62.

【解析】如图，作向量，，以，为邻边作平行四边形，

根据平行四边形法则可知，即．

由已知，

所以．

因为是的中位线，

所以，

则线段，的长度之比为，从而，的长度之比为，

所以与都以为底，对应高之比为，

所以与的面积比为，

故的面积与凹四边形的面积之比是．

63.

【解析】连接，

因为，，三点共线，

所以可以设，且，，

所以，

根据条件易知，

所以，，

所以，，所以．

64.

【解析】在中，有．

因为点为的中点，所以，

因为为的中点，所以，

所以

65.

【解析】因为，，三点共线，

所以存在实数，

使得，

即，

所以．

因为，不共线，

所以

所以．

66.

【解析】如图，

且．

得，

所以，

故．

67.

【解析】因为，

又，所以，所以，，则．

68.

【解析】因为

，

所以

，

所以，，则．

69.

【解析】由题意可知，是的中点，故，即，所以，，则．

70.

【解析】．

所以

71.，

【解析】因为，是平面内的一组基底，

所以与不共线，

所以

解得

72.

【解析】如图，

因为，

所以，则，

因为，，三点共线，

所以，

所以．

73.

【解析】提示：

设边上的中线为，则，可得，因为，，共线，所以，所以，再利用均值不等式即可．

74.

【解析】取的中点，可得=，

长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．做垂直于，此时，，

做垂直于，此时==，

因此，故的取值范围是.

75.

【解析】

当且仅当，即时等号成立（舍去）．

76.

【解析】

以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系．设，，，．因为，，则有，所以．又因为点为内（含边界）的动点，设，点在平面区域上运动，利用线性规划，则目标函数在点时取得最大值，此时．

77.

【解析】因为三点共线，由共线向量的基本定理有；又三点共线，所以有；由解得，，所以．

78.

【解析】如图所示，，，，，则，当时，最小，此时，所以得取值范围是．

79.

【解析】过点作的平行线交，于点，，设，

则有，．

设，则有，，

所以，所以，

所以，，所以，，，

由得，所以，

所以的最大值为．

80.

【解析】如图，设中点，

因为在的平分线上，，；

所以存在，使；

因为，，三点共线，是中点；

所以；

所以由平面向量基本定理得；

解得；

所以；

又；

所以.

第三部分

81.因为，

所以，．

82.

（1）假命题

（2）假命题

83.因为，

所以，