1718版 第1章 第1课 集合的概念与运算.docx

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1718版第1章第1课集合的概念与运算

第一章　集合与常用逻辑用语

第1课集合的概念与运算

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

集合及其表示

√

子集

√

交集、并集、补集

√

1．元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、Venn图法．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

并集

交集

补集

图形表示

符号表示

A∪B

A∩B

∁UA

意义

{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A且x∈B}

{x|x∈U且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任何集合都有两个子集．（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

[解析]　

（1）错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

（2）错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

（3）错误．当x＝1时，不满足互异性．

（4）错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（教材改编）已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

{x|x≤2，或x≥10}　[∵A∪B＝{x|2

∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2，或x≥10}．]

3．（2016·江苏高考）已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2

{－1,2}　[在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．]

4．集合{－1,0,1}共有________个子集．

8　[由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8（个）子集．]

5．（2017·盐城期中模拟）若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2

[2，＋∞）　[∵A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2

∴2≤m，即实数m的取值范围是[2，＋∞）．]

集合的基本概念

（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素有________个．

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

【导学号：

62172000】

（1）5　

（2）0或

　[

（1）当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；

当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0得a＝

，

所以a的取值为0或

.]

[规律方法]　1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题

（1）．

2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题

（2）．

[变式训练1]　

（1）（2017·启东中学高三第一次月考）已知x2∈{0,1，x}，则实数x的值是________．

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．

（1）－1　

（2）

　[

（1）由集合中元素的互异性可知x≠0且x≠1.

又x2∈{0,1，x}，所以只能x2＝1，解得x＝－1或x＝1（舍去）．

（2）∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝

不合题意；

当a≠0时，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－

.]

集合间的基本关系

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

（1）4　

（2）（－∞，4]　[

（1）∵A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，

B＝{x|0

∴由A⊆C⊆B可知C中至少含有1,2两个元素，

故满足条件的集合C有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.]

[规律方法]　1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解，如题

（2）．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解．

[变式训练2]　

（1）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

（2）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．

（1）2　

（2）（－∞，－1]∪{1}　[

（1）由题意可知a，b≠0，由集合相等的定义可知，a＋b＝0，∴a＝－b，即

＝－1，

∴b＝1，故b－a＝2b＝2.

（2）因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.]

集合的基本运算

角度1　求集合的交集或并集

（1）（2017·南京二模）设集合A＝{x|－2

（2）（2017·如皋市高三调研一）设集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，则P∩Q＝________.

（1）{x|－2

（2）{1,2}　[

（1）∵A＝{x|－2

（2）∵P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，

∴P∩Q＝{1,2}．]

角度2　交、并、补的混合运算

（1）（2017·苏锡常镇二调）已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∪（∁UB）＝________.

（2）已知全集U＝R，集合M＝{x|（x－1）（x＋3）＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是________．

图11

（1）{1,2,5}　

（2）（－3，－1）　[

（1）由题意可知∁UB＝{1,5}，又A＝{1,2}，∴A∪（∁UB）＝{1,2,5}．

（2）由题意可知，M＝（－3,1），N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩（∁UN）＝（－3，－1）．]

角度3　利用集合的运算求参数

（1）（2017·南通二调）设集合A＝{－1,0,1}，B＝

，A∩B＝{0}，则实数a的值为________.【导学号：

62172001】

（2）已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

（3）设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．

（1）1　

（2）0或3　（3）[1，＋∞）　[

（1）∵A＝{－1,0,1}，B＝

，A∩B＝{0}，

∴a－1＝0或a＋

＝0（舍去），

∴a＝1.

（2）由A∪B＝A可知B⊆A，

又A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，

所以m＝3或m＝

，解得m＝0或m＝3或m＝1（舍去）．

（3）由A∩B＝∅可知，a≥1.]

[规律方法]　1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．

2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

易错警示：

在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．

[思想与方法]

1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．

2．求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：

首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．

（1）对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．

（2）对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．

[易错与防范]

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

课时分层训练

（一）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．（2017·苏州期中）已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0}，则A∪B＝________.

{－1,0,1}　[A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．]

2．（2017·南京模拟）设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝________.【导学号：

62172002】

{x|0≤x≤2}　[A∩B＝{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}

＝{x|0≤x≤2}．]

3．（2017·南通第一次学情检测）已知集合A＝{x|0

{x|－1≤x≤3，x∈R}　[∵A＝{x|0

∴A∪B＝{x|－1≤x≤3，x∈R}．]

4．（2017·如皋中学高三第一次月考）已知集合A＝{1，cosθ}，B＝

，若A＝B，则锐角θ＝________.

　[由A＝B可知cosθ＝

，又θ为锐角，∴θ＝

.]

5．（2017·盐城三模）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________．

8　[由题意可知A∩B＝{1,3,5}，

∴C＝{1,3,5}，

∴集合C的子集共有23＝8个．]

6．（2017·南京三模）已知全集U＝{－1,2,3，a}，集合M＝{－1,3}．若∁UM＝{2,5}，则实数a的值为________．

5　[∵M∪∁UM＝U，∴U＝{－1,2,3,5}，∴a＝5.]

7．（2017·泰州中学高三摸底考试）已知集合A＝{x|x>0}，B＝{－1,0,1,2}，则A∩B＝________.

{1,2}　[A∩B＝{x|x>0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．]

8．设全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，则B∩（∁UA）＝________.

【导学号：

62172003】

{2}　[∵A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4}，∴B∩（∁UA）＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．]

9．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为________．

6　[∵A＝{1,2,4}，B＝{2,3,4,5,6,8}，

∴集合B中共有6个元素．]

10．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．

2　[集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．]

11．（2017·无锡模拟）已知A＝{a＋2，（a＋1）2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.【导学号：

62172004】

0　[∵1∈{a＋2，（a＋1）2，a2＋3a＋3}，

∴1＝a＋2，或（a＋1）2＝1，或a2＋3a＋3＝1.

①当a＋2＝1，即a＝－1时，此时a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；

②当（a＋1）2＝1时，a＝0或a＝－2，又当a＝－2时，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；

③当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或－2，由①②可知，均不满足题意．

综上可知，a＝0.]

12．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩（∁UB）＝________.

{3}　[∵U＝{1,2,3,4}，∁U（A∪B）＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}．

又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，

又∁UB＝{3,4}，∴A∩（∁UB）＝{3}．]

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2016·全国卷Ⅱ改编）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}，则A∪B＝________.

{0,1,2,3}　[B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]

2．（2016·天津高考改编）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.

{1,4}　[因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×4－2＝10.

即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．]

3．（2017·盐城模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg（x－1）}，集合B＝{y|y＝

}，则A∩B＝________.

[2，＋∞）　[∵A＝{x|y＝lg（x－1）}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，

B＝{y|y＝

}＝{y|y≥2}，

∴A∩B＝{x|x≥2}．]

4．（2017·南通中学月考）已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为________．

4　[由题意可知P＝{3,4}，故集合P的子集共有22＝4个．]

5．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为________.【导学号：

62172005】

0,1,2　[∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．

由A∩B＝B可知B⊆A.

①当a＝0时，B＝∅，满足A∩B＝B；

②当a≠0时，B＝

，

由B⊆A可知，

＝1或

＝2，即a＝1或a＝2.

综上可知a的值为0,1,2.]

6．若x∈A，且

∈A，就称A是伙伴关系集合，则集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为________．

3　[具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.]