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一次函数与反比例函数的应用题型解析
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一次函数与反比例函数的应用题型解析
华师大版八年级下册第17章一次函数与反比例函数应用题专训
一、利用图象求解析式
试题1、（2015辽宁省朝阳,第23题10分）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：
元/千米）与运输重量a（单位：
吨）的关系如图所示．
（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；
（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．
考点：
一次函数的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）利用待定系数法分别求出当0≤a≤4和当a＞4时，b关于a的函数解析式；
（2）由于1≤x≤3，则到A公司的运输费用满足b=3a，到B公司的运输费用满足b=5a﹣8，利用总费用=购买铵肥费用+运输费用得到y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]2m，然后进行整理，再利用一次函数的性质确定费用最低的购买方案．
解答：
解：
（1）当0≤a≤4时，设b=ka，把（4，12）代入得4k=12，解得k=3，所以b=3a；
当a＞4，设b=ma+n，把（4，12），（8，32）代入得
，解得
，所以b=5a﹣8；
（2）∵1≤x≤3，
∴y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]2m
=（50﹣7m）x+5600+64m，
当m＞
时，到A公司买3吨，到B公司买5吨，费用最低；当m＜
时，到A公司买1吨，到B公司买7吨，费用最低．
点评：
本题考查了一次函数的应用：
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
试题2、（2015辽宁省盘锦,第42题14分）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a= 6 ，b= 8 ；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人
考点：
一次函数的应用．
分析：
（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；
（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；
（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据
（2）的函数关系式列出方程求解即可．
解答：
解：
（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元，
∴a=
×10=6；
由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元，
∴b=
×10=8；
（2）设y1=k1x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），
∴10k1=480，
∴k1=48，
∴y1=48x；
0≤x≤10时，设y2=k2x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），
∴10k2=800，
∴k2=80，
∴y2=80x，
x＞10时，设y2=kx+b，
∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），
∴
，
∴
，
∴y2=64x+160；
∴y2=
；
（3）设A团有n人，则B团的人数为（50﹣n），
当0≤n≤10时，48n+80（50﹣n）=3040，
解得n=30（不符合题意舍去），
当n＞10时，48n+64（50﹣n）+160=3040，
解得n=20，
则50﹣n=50﹣20=30．
答：
A团有20人，B团有30人．
故答案为：
6，8．
点评：
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
试题3、（2015齐齐哈尔,第25题8分）甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是 60 千米/时，t= 3 小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
考点：
一次函数的应用．
分析：
（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程÷速度=时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程÷时间=速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是多少即可．
（2）根据题意，分3种情况：
①当0≤x≤3时；②当3＜x≤4时；③4＜x≤7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．
（3）根据题意，分3种情况：
①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C地时；③两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度=时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．
解答：
解：
（1）根据图示，可得
乙车的速度是60千米/时，
甲车的速度是：
（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）
=720÷6
=120（千米/小时）
∴t=360÷120=3（小时）．
（2）①当0≤x≤3时，设y=k1x，
把（3，360）代入，可得
3k1=360，
解得k1=120，
∴y=120x（0≤x≤3）．
②当3＜x≤4时，y=360．
③4＜x≤7时，设y=k2x+b，
把（4，360）和（7，0）代入，可得
解得
∴y=﹣120x+840（4＜x≤7）．
（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1
=300÷180+1
=
=
（小时）
②当甲车停留在C地时，
（480﹣360+120）÷60
=240÷6
=4（小时）
③两车都朝A地行驶时，
设乙车出发x小时后两车相距120千米，
则60x﹣[120（x﹣1）﹣360]=120，
所以480﹣60x=120，
所以60x=360，
解得x=6．
综上，可得
乙车出发
后两车相距120千米．
故答案为：
60、3．
点评：
（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：
速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间．
试题4、（2015吉林，第22题7分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y（单位：
L）与时间x（单位：
min）之间的关系如图所示．
（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出每分进水，出水各多少升．
考点：
一次函数的应用．
分析：
（1）用待定系数法求对应的函数关系式；
（2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解．
解答：
解：
（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：
y=kx+b（k≠0）．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴
，
解得：
，
∴y=
x+15（4≤x≤12）；
（2）根据图象，每分钟进水20÷4=5升，
设每分钟出水m升，则5×8﹣8m=30﹣20，
解得：
m=
．
故每分钟进水、出水各是5升、
升．
点评：
此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题．
试题5、（2014舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；小时后（包括小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值最大值为多少
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：
00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：
00能否驾车去上班请说明理由．
考点：
二次函数的应用；反比例函数的应用
分析：
（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
解答：
解：
（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），
∴k=xy=45×5=225；
（2）不能驾车上班；
理由：
∵晚上20：
00到第二天早上7：
00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=
，则y=
＞20，
∴第二天早上7：
00不能驾车去上班．
点评：
此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
二、利用表格求函数解析式
试题1、（2015青海，第25题8分）某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如表：
型号
A
B
成本（元）
200
240
售价（元）
250
300
（1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案
（2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润
考点：
一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
分析：
（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机100﹣x台，由题意可得：
22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，求解即得；
（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．
解答：
解：
（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机（100﹣x）台，
由“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”和表中生产成本可得：
22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，
≤x≤40，
∵x为整数，
∴x取值为38、39、40．
故有三种生产方案．
即：
第一种方案：
生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台；
第二种方案：
生产A型挖掘机39台，生产B型挖掘机61台；
第三种方案：
生产A型挖掘机40台，生产B型挖掘机60台．
（2）三种方案获得的利润分别为：
第一种方案：
38×（250﹣200）+62×（300﹣240）=5620；
第二种方案：
39×（250﹣200）+61×（300﹣240）=5610；
第三种方案：
40×（250﹣200）+60×（300﹣240）=5600．
故生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台的方案获得利润最大．
点评：
本题考查了一次函数的应用一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
试题2、（2015天津,第23题10分）（2015天津）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．
设气球球上升时间为xmin（0≤x≤50）
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
上升时间/min
10
30
…
x
1号探测气球所在位置的海拔/m
15
35
…
x+5
2号探测气球所在位置的海拔/m
20
30
…
+15
（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度如果能，这时气球上升了多长时间位于什么高度如果不能，请说明理由；
（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米
考点：
一次函数的应用．
分析：
（Ⅰ）根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；
（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答；
（Ⅲ）
由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，则y=（x+5）﹣（+15）=﹣10，根据x的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答．
解答：
解：
（Ⅰ）根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：
m1=x+5，2号探测气球所在位置的海拔：
m2=+15；
当x=30时，m1=30+5=35；当x=10时，m2=5+15=20，
故答案为：
35，x+5，20，+15．
（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，
根据题意得：
x+5=+15，
解得：
x=20，有x+5=25，
答：
此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．
（Ⅲ）当30≤x≤50时，
由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，
设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，
则y=（x+5）﹣（+15）=﹣10，
∵＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=50时，y取得最大值15，
答：
两个气球所在位置海拔最多相差15m．
点评：
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式．
试题3、（2015湖北十堰，第23题8分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩）
20
25
30
35
z（元）
1700
1600
1500
1400
（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关
系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．
考点：
一次函数的应用．
分析：
（1）根据图表的性质，可以得出P关于x的函数关系式和出x的取值范围．
（2）根据利润=亩数×每亩利润，可得①当0＜x≤15时②当15＜x＜20时，利润的函数式，即可解题；
解答：
解：
（1）观察图表的数量关系，可以得出P关于x的函数关系式为：
P=
（2）∵利润=亩数×每亩利润，
∴①当0＜x≤15时，W=1800x+1380（40﹣x）+2400=420x+55200；
当x=15时，W有最大值，W最大=6300+55200=61500；
②当15＜x＜20，W=﹣20x+2100+1380（40﹣x）+2400=﹣1400x+59700；
∵﹣1400x+59700＜61500；
∴x=15时有最大值为：
61500元．
点评：
本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是一次函数的性质．
试题4、（2015辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）根据题意，填写如表：
蔬菜的批发量（千克）
…
25
60
75
90
…
所付的金额（元）
…
125
300
300
360
…
（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；
（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大最大利润为多少元
考点：
二次函数的应用；一次函数的应用．.
分析：
（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得60×5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×=360元；
（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；
（3）利用最大利润=y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．
解答：
解：
（1）由题意知：
当蔬菜批发量为60千克时：
60×5=300（元），
当蔬菜批发量为90千克时：
90×5×=360（元）．
故答案为：
300，360；
（2）设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得
，
解得
．
故该一次函数解析式为：
y=﹣30x+240；
（3）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由
（2）知，
w=（﹣30x+240）（x﹣5×）=﹣30（x﹣6）2+120，
当x=6时，当日可获得利润最大，最大利润为120元．
点评：
此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键．
三、利用等量关系求函数解析式
试题1、（2015，福建南平，23，分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．
（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；
（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．
（注：
按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）
考点：
一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
分析：
（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；
（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；
②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．
解答：
解：
（1）根据题意得：
，
解得：
；
答：
a，b的值分别为10，30；
（2）①根据题意得：
y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），
∴y=25x﹣300；
②商店要不亏本，则y≥0，
∴25x﹣300≥0，
解得：
x≥12；
答：
当x的值至少为12时，商店才不会亏本．
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由不等关系得出不等式是解决问题的关键．
试题2、（2015黄冈,第23题10分）我市某风景区门票价格如图所示黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人.设甲团队人数为x人,如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W元.
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱；
（3“）五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：
人数不超过50人时，门票价格不变；人数超
过50人但不超过100人时，每张门票降价a元;人数超过100人时，每张门票降价2a元.在
（2）的条件下
，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值.
考点：
一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：
（1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：
①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，②当100＜x＜120时，
W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，即可解答；
（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=﹣10x+9600，根据70≤x≤100，
利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200
（元），即可解答；
（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70﹣a）x+80（120﹣x）=﹣（a+10）x+9600，
利用一次函数的性质，x=70时，W最大=﹣70a+8900（元），而两团联合购票需120
（60﹣2a）=7200﹣240a（元），所以﹣70a+8900﹣（7200﹣240a）=3400，即可解答．
解答：
解：
（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，
∴120﹣x≤50，
∴x≥70，
①当70≤x≤100时，W=70x+80（120﹣x）=﹣10x+9600，
②当100＜x＜120时，W=60x+80（120﹣x）=﹣20x+9600，
综上所述，W=
（2）∵甲团队人数不超过100人，
∴x≤100，
∴W=﹣
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