2．若复数z=1-i（i是虚数单位）,则复数-|z-1|在复平面内对应的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】本题考查复数的基本运算及复数的模,考查复数的几何意义.解题的关键是求出复数在复平面内对应的点,然后确定其所在的象限.
由z=1-i得-|z-1|=---+,因为-<0,所以复数-|z-1|在复平面内对应的点（-,）在第二象限.
3．对于锐角α,若sin（α-）=,则cos（α-）=
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】本题考查同角三角函数之间的基本关系、两角差的余弦公式等知识,考查考生对基础知识的掌握情况.
由于α为锐角,且sin（α-）=,则cos（α-）=,cos（α-）=cos[（α-）-]=cos（α-）cos+sin（α-）sin.
4．甲、乙两名同学做游戏,他们都从1~5中任写一个数,若两数之和小于6,则甲赢;若大于6,则乙赢;若等于6,则和局.若他们共玩三次,则都是甲赢的概率为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】本题考查二项分布的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力及对基础知识的掌握情况.
由题意知,玩一次甲赢的概率为P=,那么,玩三次,甲都赢的概率为（）3×（）0=.
5．已知双曲线-=1（b∈N）的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,且|PF1|·|PF2|=4（4+b2）,若|PF2|<4,则该双曲线的离心率为
A.B.C.2D.
【答案】B
【解析】本题考查双曲线的定义,考查考生的基本运算能力及分析问题的能力.理解双曲线的定义与性质是解题的关键.
由⇒⇒|PF2|=2-2,由|PF2|<4,得2-2<4,即b2<4,因为b∈N,所以b2=1,从而e=.
6．如图,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=1,点E,F分别在边CD,BC上,若·=6,则·=
A.3B.2C.1D.
【答案】C
【解析】本题考查平面向量的基本运算,考查考生的运算求解能力.解题时,可以直接运用向量的运算法则求解,也可以建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算求解.
通解 因为·=6,·=0,所以·=（-）·（-）=6-·-·=6--=1.
优解 以A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A（0,0）,B（2,0）,D（0,1）,设E（x,1）,F（2,y）,则=（x,1）,=（2,y）,由·=6得2x+y=6,=（x-2,1）,=（2,y-1）,则·=2（x-2）+y-1=2x+y-5=1.
7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0,0<φ<π）的部分图象如图所示,则f（x）的单调递减区间为
A.[8k+1,8k+5]（k∈Z）B.[8k-1,8k+5]（k∈Z）
C.[8k-5,8k+1]（k∈Z）D.[8k+3,8k+5]（k∈Z）
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生借助图象处理数学问题的基本能力.解题时,先根据图象求出函数f（x）的解析式,再利用正弦函数的单调性求解.
由图象可知A=2,T=2×（7-3）=8,又由=8得ω=,所以f（x）=2sin（+φ）,又0<φ<π,结合f（3）=0,即2sin（+φ）=0,得φ=,故f（x）=2sin（+）,由+2kπ≤+≤+2kπ（k∈Z）⇒8k+1≤x≤8k+5（k∈Z）.故函数f（x）的单调递减区间为[8k+1,8k+5]（k∈Z）.
8．已知某工厂产值的程序框图如图所示,其中a=200表示2004年的产值,r=0.05表示以后各年的平均增长率,则输出的值是（注:
lg1.75≈0.2430,lg1.05≈0.0212）
A.2014B.2015C.2016D.2017
【答案】C
【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的运算求解能力及对循环结构的理解与运用.
本题的程序框图实现的功能是当累积产值大于3000时,输出最小的年份值.于是,由200+200（1+0.05）+…+200（1+0.05）n-1>3000,即>3000⇒1.05n>1.75⇒n>≈11.46,此时,取n=12,那么输出的值是2016.
9．若数列{an}中a1=1,且a1,a3,…,a2n-1是递增数列,a2,a4,…,a2n是递减数列,a1>a2,|an+1-an|=2n,则数列{an}的前6项和S6=
A.-11B.-12C.-13D.-14
【答案】B
【解析】本题主要考查数列的有关概念及运算,考查考生对等比数列基本公式的理解与运用.解题时,首先利用累加法求出通项公式,再利用求和公式求出前n项和,最后代入求解.
由于a3>a1,又a1>a2⇒a3>a2⇒a3-a2=22,类似地,有a4-a3=-23,a5-a4=24,……,an-an-1=（-2）n-1,又a1>a2,则a2-a1=-2,那么an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=,从而Sn=++…+-+,故S6=2-14=-12.
10．如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线AB交抛物线于点A,B,交抛物线的准线于点C,若,则|AB|=
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【解析】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.
设直线AB的倾斜角为α,A（x1,y1）,B（x2,y2）,过点B作准线的垂线,垂足为D,则|BD|=|BF|,那么cosα=⇒tanα=2,于是直线AB的方程为y=2（x-1）,由⇒x2-3x+1=0⇒x1+x2=3,故|AB|=x1+x2+2=5.
11．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.4B.21+C.3+12D.+12
【答案】C
【解析】根据几何体的三视图,画出该几何体的直观图,可知该几何体是将一个棱长为2的正方体沿着如图所示的截面ABCDEF截去之后剩下的几何体.根据三视图,可知该几何体的表面积为3×[+2×1]+3×+6××（）2=3+12.
12．已知函数f（x）=（ex+1）（ax+3a-1）,若存在x∈（0,+∞）,使得不等式f（x）-1<0成立,则实数a的取值范围为
A.（-∞,）B.（0,）C.（-∞,）D.（0,）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的单调性、不等式成立等知识,考查考生借助导数处理数学问题的基本能力及数形结合思想.解题时,首先对a分情况讨论,然后通过函数的单调性求解.
由f（x）-1<0⇒（ex+1）（ax+3a-1）<1⇒ax+3a-1<.①若a≤0,当x∈（0,+∞）时,ax+3a-1<0,而ex+1>0,此时结论成立.②若a>0,设h（x）=,则h'（x）=<0,所以h（x）在（0,+∞）上是减函数,则0二、填空题：
共4题
13．已知实数x,y满足,则x2+y2的最大值为 .
【答案】4
【解析】本题考查不等式组表示的平面区域,解题时,作出可行域,x2+y2表示可行域内的点到原点的距离的平方,数形结合即可求解.
作出所表示的平面区域如图中阴影部分所示,x2+y2表示可行域内的点到原点的距离的平方,由图可知,当取点（-2,0）或（0,2）或（2,0）时,x2+y2取得最大值4.
14．（+）8的展开式中含x的项的系数为 .
【答案】
【解析】本题主要考查二项展开式的通项及特殊项的系数的求解,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.
（+）8的展开式的通项为Tr+1=（）8-r（）r=（）r,令4-=1,得r=4,故含x的项的系数为（）4=.
15．已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心与正四面体一边的一个截面如图所示,且图中三角形（正四面体的截面）的面积为,则该球的体积是 .
【答案】π
【解析】本题主要考查正四面体的概念、性质及球的相关知识,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.解题时,利用正四面体的高求出球的半径是解题的关键.
如图,由正四面体的特点及性质可知,四面体的截面即为等腰三角形ABE,其中E为CD的中点.设正四面体的边长为a,则AE=BE=,△ABE的面积为×a×,故a=2,于是正四面体ABCD的高h=,设球O的半径为R,则（-R）2+（）2=R2,得R=,从而球O的体积V=π（）3=π.
16．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA（sinB+cosB）-sinC=0,sinB+cos2C=0,且a=4,则△ABC的面积为 .
【答案】6+2
【解析】本题考查正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式等,考查考生的运算求解能力.
由sinB+cos2C=0得sinB=-cos2C=sin（-2C）,又0三、解答题：
共8题
17．设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）设bn=,且数列{bn}的前n项和为Sn,证明:
Sn<.
【答案】
（1）设等差数列{an}的公差为d,
则⇒或（舍去）,
故数列{an}的通项公式为an=7+2（n-1）,即an=2n+5.
（2）由
（1）得bn=（-）,
则Sn=b1+b2+…+bn
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]
=（1+--）
=-（+）
<.
【解析】本题考查等差数列与等比数列的基本性质及裂项相消法求和.
（1）利用等差数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质即可求解;
（2）利用
（1）的结论及裂项相消法求和,从而证明不等式.
【备注】新课标全国卷Ⅱ对数列的考查比较基础,常规情况下以考查等差数列与等比数列的基础知识或能转化为等差、等比数列的递推关系式为主,往往侧重于基本的求和方法,如分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等,因此遇到求和问题时,要有意识地往这三种方法去思考.
18．在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
（1）求证:
CE∥平面PAB;
（2）若F为PC的中点,求AF与平面AEC所成角的正弦值.
【答案】
（1）在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,
∴BC=,AC=2.
取AD的中点M,连接EM,CM,
则EM∥PA.
∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,
∴EM∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=2,
∴AD=4,AM=2=AC.
∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.
∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴MC∥平面PAB.
∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.
∵CE⊂平面EMC,∴CE∥平面PAB.
（2）以A为坐标原点,∠BAC的平分线为x轴,AD所在的直线为y轴,AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则P（0,0,2）,A（0,0,0）,
由
（1）知AC=2,得C（,1,0）,
于是F（,,1）,∴=（,,1）,
由AD=4,可得D（0,4,0）,从而E（0,2,1）,
∴=（,1,0）,=（0,2,1）.
设平面AEC的法向量为n=（x,y,z）,则⇒,
取x=,y=-1,z=2,
故平面AEC的一个法向量为n=（,-1,2）.
设AF与平面AEC所成的角为θ,
则sinθ=|cos<,n>|=,
故AF与平面AEC所成角的正弦值为.
【解析】本题考查线面平行的证明及线面角的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.
（1）利用面面平行的性质进行证明;
（2）建立空间直角坐标系,利用向量法求解.
19．已知某班n名同学的数学测试成绩（单位:
分,满分100分）的频率分布直方图如图所示,其中a,b,c成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人.
（1）求n的值;
（2）若成绩在[40,50）内的人数是成绩在[50,60）内的人数的,规定60分以下为不及格,从不及格的人中任意选取3人,求成绩在50分以下的人数X的分布列和数学期望.
【答案】
（1）依题意得⇒b=0.01,
因为成绩在[90,100]内的有6人,所以n==60.
（2）由⇒,
于是成绩在[40,50）及[50,60）内的人数分别为3与9,即不及格的人数为12,
从中任选3人,则成绩在50分以下的人数X的所有可能取值为0,1,2,3,
且P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=2）=,P（X=3）=,
所以X的分布列如下
故X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×.
【解析】本题考查频率分布直方图的应用及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解.
（1）利用频率分布直方图的知识求解;
（2）先求出X的所有可能取值及每个取值对应的概率,然后列出分布列,求解数学期望.
【备注】通过各种图表,如数据统计表、频数分布表、频率分布直方图、即兴设计的其他数表等给出数据,借助这些数据结合独立重复试验或对立事件设计概率及数学期望的求解问题是高考的重点与热点,求解此类问题的关键在于充分认识图表与合理利用图表.
20．已知椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别是B1,B2,C是B1F2的中点,若·=2,且⊥.
（1）求椭圆的方程;
（2）点Q是椭圆上任意一点,A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,直线QA1,QA2与直线x=分别交于E,F两点,试证:
以EF为直径的圆与x轴交于定点,并求该定点的坐标.
【答案】
（1）设F1（-c,0）,F2（c,0）,B1（0,b）,则C（,）.
由题意得⇒⇒⇒,
从而a2=4,
故所求椭圆的方程为+=1.
（2）由
（1）得A1（-2,0）,A2（2,0）,
设Q（x0,y0）,易知x0≠±2,则直线QA1的方程为y=（x+2）,与直线x=的交点E的坐标为（,（+2））,
直线QA2的方程为y=（x-2）,与直线x=的交点F的坐标为（,（-2））,
设以EF为直径的圆与x轴交于点H（m,0）,m≠,则HE⊥HF,从而kHE·kHF=-1,即·=-1⇒=-（-m）2 ①,
由+=1得 ②.
所以由①②得m=±1,
故以EF为直径的圆与x轴交于定点,且该定点的坐标为（+1,0）或（-1,0）.
【解析】本题考查椭圆方程的求解及椭圆的性质,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.第
（1）问结合向量的基本运算及椭圆中基本量之间的关系求出基本量的值,即可得椭圆的方程;第
（2）问将问题转化为两条直线的斜率之积为-1进行求解.
【备注】与圆锥曲线有关的定值、定点问题是解析几何中的一类常见问题,它多与圆锥曲线的性质相结合,是高考试题中一道亮丽的风景线,如考查圆锥曲线过定点、证明直线的斜率为定值等.
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=·e2x-2+x2-2f（0）x,g（x）=f（）-x2+（1-a）x+a（a∈R）.
（1）求函数g（x）的单调区间;
（2）如果s,t,r满足|s-r|≤|t-r|,那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时,试比较和f（）++a哪个更靠近lnx,并说明理由.
【答案】
（1）f'（x）=f'
（1）e2x-2+2x-2f（0）,
∴f'
（1）=f'
（1）+2-2f（0）,即f（0）=1.又f（0）=·e-2,
∴f'
（1）=2e2,f（x）=e2x+x2-2x.
∴g（x）=f（）-x2+（1-a）x+a=ex+x2-x-x2+（1-a）x+a=ex-a（x-1）,∴g'（x）=ex-a.
①当a≤0时,g'（x）>0,函数g（x）在R上单调递增;
②当a>0时,由g'（x）=ex-a=0得x=lna,
∴当x∈（-∞,lna）时,g'（x）<0,g（x）单调递减;
当x∈（lna,+∞）时,g'（x）>0,g（x）单调递增.
综上,当a≤0时,函数g（x）的单调递增区间为R,无单调递减区间;当a>0时,函数g（x）的单调递增区间为（lna,+∞）,单调递减区间为（-∞,lna）.
（2）由于,而f（）++a=ex-1+a,
设p（x）=-lnx,q（x）=ex-1+a-lnx,
∵p'（x）=--<0,∴p（x）在[1,+∞）上为减函数,又p（e）=0,
∴当1≤x≤e时,p（x）≥0,当x>e时,p（x）<0.
∵q'（x）=ex-1-,令r（x）=ex-1-⇒r'（x）=ex-1+>0,
∴q'（x）在[1,+∞）上为增函数,又q'
（1）=0,
∴当x∈[1,+∞）时,q'（x）≥0,∴q（x）在[1,+∞）上为增函数,
∴q（x）≥q
（1）=a+1>0.
①当1≤x≤e时,|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=-ex-1-a,
设m（x）=-ex-1-a,则m'（x）=--ex-1<0,
∴m（x）在[1,+∞）上为减函数,∴m（x）≤m
（1）=e-1-a,
∵a≥2,∴m（x）<0,∴|p（x）|<|q（x）|,
∴此时比f（）++a更靠近lnx.
②当x>e时,|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-+2lnx-ex-1-a<2lnx-ex-1-a,
设n（x）=2lnx-ex-1-a,则n'（x）=-ex-1,设t（x）=-ex-1,则t'（x）=--ex-1<0,
∴n'（x）在（e,+∞）上为减函数,∴n'（x）∴n（x）在（e,+∞）上为减函数,∴n（x）∴|p（x）|<|q（x）|,∴比f（）++a更靠近lnx.
综上可知,当a≥2且x≥1时,比f（）++a更靠近lnx.
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性等,考查分类讨论的数学思想.第
（1）问首先求出f'
（1）和f（0）得f（x）的解析式,然后求出g（x）的解析式,再利用导函数的符号求解;第
（2）问首先化简两个代数式,然后根据新定义,借助导数进行求解.
【备注】函数与导数的基础知识与基本技能是高考考查的重点.细心研究近几年的高考试题可以发现一个共同点,即对导数的考查由直接考查、显性考查逐步转化为间接考查、隐性考查,更注重让考生根据条件构造新函数,通过导数分析、研究该函数的有关性质,最终产生结论.
22．如图,☉O的弦ED,CB的延长线交于点A.
（1）若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,求EC的长;
（2）若,,求的值.
【答案】
（1）由圆的割线定理知AB·AC=AD·AE,
∴AE=8,DE=5,连接EB,∵∠EDB=90°,
∴EB为☉O的直径,∴∠ECB=90°.
由勾股定理,得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32,
在Rt△ECB中,EB2=BC2+EC2=4+EC2,
∴EC2=28⇒EC=2.
（2）∵四边形ECBD是☉O的内接四边形,
∴∠ADB=∠C,∠ABD=∠AEC,∴△ADB∽△ACE,
∴.
∵,,∴（）2=··,
从而.
【解析】本题考查圆的割线定理及三角形相似等知识.第
（1）问利用割线定理、勾股定理即可产生结论;第
（2）问通过三角形相似即可产生结论.
23．在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为ρcosθ+2ρsinθ+3=0,ρ2=.
（1）求直线l与椭圆C的直角坐标方程;
（2）若P是直线l上的动点,Q是椭圆C上的动点,求|PQ|的最小值.
【答案】
（1）ρcosθ+2ρsinθ+3=0⇒x+2y+3=0,
即直线l的直角坐标方程为x+2y+3=0.
ρ2=⇒ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4⇒x2+4y2=4,
即椭圆C的直角坐标方程为+y2=1.
（2）因为椭圆C:
+y2=1的参数方程为（α为参数）,
所以可设Q（2cosα,sinα）.
因此点Q到直线l的距离d=,
所以当α=2kπ+,k∈Z时,d取得最小值,
所以|PQ|的最小值为.
【解析】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程的应用、点到直线的距离公式等.第
（1）问利用极坐标方程与直角坐标方程之间的互化公式即可产生结论;第
（2）问将椭圆方程化为参数方程,借助三角中的有关知识求最值.
24．已知不等式|2x-1|-|x+1|<2的解集为{x|a（1）求a,b的值;
（2）已知x>y>z,求证:
-+≥.
【答案】
（1）（i）当x<-1时,不等式可转化为-（2x-1）-[-（x+1）]<2,即-x+2<2,解得x>0,此时无解;
（ii）当-1≤x≤时,不等式可转化为-（2x-1）-（x+1）<2,即-3x<2,解得x>-,此时不等式的解集为{x|-（iii）当x>时,不等式可转化为2x-1-（x+1）<2,即x-2<2,解得x<4,此时不等式的解集为{x|由（i）（ii）（iii）得不等式的解集为{x|-又不等式的解集为{x|a（2）由
（1）知-+≥,即+≥.
由于x>y>z,则[（x-y）+（y-z）]（+）=2++≥2+2=4（当且仅当时等号成立）⇒+≥.
【解析】本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明等,考查考生的运算能力及分析问题、解决问题的能力.第
（1）问通过零点分段讨论法即可求解;第
（2）问在第
（1）问的基础上,结合基本不等式即可证明.
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