3.谐振电路：
当X=0时，即XL=XC，=0，电压u与电流i同相，称电路呈电阻性，电路处于这种状态时，叫做谐振状态（见本章第五节）。
【例8-4】在R-L-C串联电路中，交流电源电压U=220V，频率f=50Hz，R=30，L=445mH，C=32F。
试求：
（1）电路中的电流大小I；
（2）总电压与电流的相位差；（3）各元件上的电压UR、UL、UC。
解：
（1）XL=2fL140，XC=
100，
，则
（2）
，即总电压比电流超前53.1，电路呈感性。
（3）UR=RI=132V，UL=XLI=616V，UC=XLI=440V。
本例题中电感电压、电容电压都比电源电压大，在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大，这是交流电路与直流电路特性不同之处。
四、R-L串联与R-C串联电路
1．R-L串联电路
只要将R-L-C串联电路中的电容C短路去掉，即令XC=0，UC=0，则有关R-L-C串联电路的公式完全适用于R-L串联电路。
【例8-5】在R-L串联电路中，已知电阻R=40，电感L=95.5mH，外加频率为f=50Hz、U=200V的交流电压源，试求：
（1）电路中的电流I；
（2）各元件电压UR、UL；（3）总电压与电流的相位差 。
解：
（1）XL=2fL30，
，则
（2）UR=RI=160V，UL=XLI=120V，显然
。
（3）
，即总电压u比电流i超前36.9，电路呈感性。
2．R-C串联电路
只要将R-L-C串联电路中的电感L短路去掉，即令XL=0，UL=0，则有关R-L-C串联电路的公式完全适用于R-C串联电路。
【例8-6】在R-C串联电路中，已知：
电阻R=60，电容C=20F，外加电压为u=141.2sin628tV。
试求：
（1）电路中的电流I；
（2）各元件电压UR、UC；（3）总电压与电流的相位差 。
解：
（1）由
，则电流为
（2）UR=RI=60V，UC=XCI=80V，显然
。
（3）
，即总电压比电流滞后53.1，电路呈容性。
第五节 串联谐振电路
工作在谐振状态下的电路称为谐振电路，谐振电路在电子技术与工程技术中有着广泛的应用。
谐振电路最为明显的特征是整个电路呈电阻性，即电路的等效阻抗为Z0=R，总电压u与总电流i同相。
一、谐振频率与特性阻抗
动画8-8串联谐振电路
R-L-C串联电路呈谐振状态时，感抗与容抗相等，即XL=XC，设谐振角频率为0，
则
，于是谐振角频率为
由于0=2f0，所以谐振频率为
由此可见，谐振频率f0只由电路中的电感L与电容C决定，是电路中的固有参数，所以通常将谐振频率f0叫做固有频率。
电路发生谐振时的感抗或容抗叫做特性阻抗，用符号表示，单位为欧姆（）。
二、串联谐振电路的特点
1．电路呈电阻性
当外加电源uS的频率f=f0时，电路发生谐振，由于XL=XC，则此时电路的阻抗达到最小值，称为谐振阻抗Z0或谐振电阻R，即
Z0=|Z|max=R
2．电流呈现最大
谐振时电路中的电流则达到了最大值，叫做谐振电流I0，即
3．电感L与电容C上的电压
串联谐振时，电感L与电容C上的电压大小相等，即
UL=UC=XLI0=XCI0=QUS
式中Q叫做串联谐振电路的品质因数，即
P=UIcos=UI
其中=cos叫做正弦交流电路的功率因数。
3．视在功率S
定义：
在交流电路中，电源电压有效值与总电流有效值的乘积（UI）叫做视在功率，用S表示，即S=UI，单位是伏安（VA）。
S代表了交流电源可以向电路提供的最大功率，又称为电源的功率容量。
于是交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比值，即
所以电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功率容量的百分比。
4．无功功率Q
在瞬时功率p=UIcos[1cos（2t）]UIsinsin（2t）中，第二项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率，|UIsin|是这种能量交换的最大功率，并不代表电路实际消耗的功率。
定义：
Q=UIsin
图8-13功率三角形
把它叫做交流电路的无功功率，用Q表示，单位是乏尔，简称
乏（Var）。
当>0时，Q>0，电路呈感性；当<0时，Q<0，电
路呈容性；当=0时，Q=0，电路呈电阻性。
显然，有功功率
P、无功功率Q和视在功率S三者之间成三角形关系，即
这一关系称为功率三角形，如图8-13所示。
二、电阻、电感、电容电路的功率
1．纯电阻电路的功率
在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差=0，则瞬时功率
pR=UIcos[1cos（2t）]UIsinsin（2t）=UIcos[1cos（2t）]
有功功率 PR=UIcos=UI=I2R=
；
无功功率 QR=UIsin=0；
视在功率
即纯电阻电路消耗功率（能量）。
2．纯电感电路的功率
在纯电感电路中，由于电压比电流超前90，即电压与电流的相位差=90，则
瞬时功率 pL=UIcos[1cos（2t）]UIsinsin（2t）=UIsin（2t）；
有功功率 PL=UIcos=0；
无功功率 QL=UI=I2XL=
；
视在功率
即纯电感电路不消耗功率（能量），电感与电源之间进行着可逆的能量转换。
3．纯电容电路的功率
在纯电容电路中，由于电压比电流滞后90，即电压与电流的相位差=90，则
瞬时功率 pC=UIcos[1cos（2t）]UIsinsin（2t）=UIsin（2t）；
有功功率 PC=UIcos=0；
无功功率大小 QC=UI=I2XC=
，
视在功率
即纯电容电路也不消耗功率（能量），电容与电源之间进行着可逆的能量转换。
三、功率因数的提高
1．提高功率因数的意义
在交流电力系统中，负载多为感性负载。
例如常用的感应电动机，接上电源时要建立磁场，所以它除了需要从电源取得有功功率外，还要由电源取得磁场的能量，并与电源作周期性的能量交换。
在交流电路中，负载从电源接受的有功功率P=UIcos，显然与功率因数有关。
功率因数低会引起下列不良后果。
（1）负载的功率因数低，使电源设备的容量不能充分利用。
因为电源设备（发电机、变压器等）是依照它的额定电压与额定电流设计的。
例如一台容量为S=100kVA的变压器，若负载的功率因数=１时，则此变压器就能输出100kW的有功功率；若=0.6时，则此变压器只能输出60kW了，也就是说变压器的容量未能充分利用。
（2）在一定的电压U下，向负载输送一定的有功功率P时，负载的功率因数越低，输电线路的电压降和功率损失越大。
这是因为输电线路电流I=P/（Ucos），当=cos较小时，I必然较大。
从而输电线路上的电压降也要增加，因电源电压一定，所以负载的端电压将减少，这要影响负载的正常工作。
从另一方面看，电流I增加，输电线路中的功率损耗也要增加。
因此，提高负载的功率因数对合理科学地使用电能以及国民经济都有着重要的意义。
常用的感应电动机在空载时的功率因数约为0.2~0.3，而在额定负载时约为0.83~0.85，不装电容器的日光灯，功率因数为0.45~0.6，应设法提高这类感性负载的功率因数，以降低输电线路电压降和功率损耗。
2．提高功率因数的方法
图8-14功率因数的提高方法
提高感性负载功率因数的最简便的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联，如图8-14所示。
这样就可以使电感中的磁场能量与电容
器的电场能量进行交换，从而减少电源与负
载间能量的互换。
在感性负载两端并联一个适
当的电容后，对提高电路的功率因数十分有效。
借助相量图分析方法容易证明：
对于额定
电压为U、额定功率为P、工作频率为f的感
性负载R-L来说，将功率因数从1=cos1提高
到2=cos2，所需并联的电容为
其中1=arccos1，2=arccos2，且1>2，1<2。
【例8-12】已知某单相电动机（感性负载）的额定参数是功率P=120W，工频电压U=220V，电流I=0.91A。
试求：
把电路功率因数提高到0.9时，应使用一只多大的电容C与这台电动机并联？
解：
（1）首先求未并联电容时负载的功率因数1=cos1
因P=UIcos1，则
1=cos1=P/（UI）=0.5994， 1=arccos1=53.2
（2）把电路功率因数提高到2=cos2=0.9时，2=arccos2=25.8，则
本 章 小 结
一、R-L-C元件的特性
特性名称
电阻R
电感L
电容C
⑴阻抗特性
①阻抗
电阻R
感抗XL=L
容抗XC=1/（C）
②直流特性
呈现一定的阻碍作用
通直流（相当于短路）
隔直流（相当于开路）
③交流特性
呈现一定的阻碍作用
通低频，阻高频
通高频，阻低频
⑵伏安关系
①大小关系
UR=RIR
UL=XLIL
UC=XCIC
②相位关系
（电压与电
流相位差）
ui=0
ui=90
ui=90
⑶功率情况
耗能元件，存在有功功率PR=URIR （W）
储能元件（PL=0），存在
无功功率QL=ULIL（Var）
储能元件（PC=0），存在无功功率QC=UCIC（Var）
二、R-L-C串、并联电路
内容
R-L-C串联电路
R-L-C并联电路
等效阻抗
阻抗大小
阻抗角
=arctan（X/R）
=arctan（B/G）
电压或电流关系
大小关系
电路性质
感性电路
XL>XC，UL>UC，>0
XLIC，>0
容性电路
XLXL>XC，IL谐振电路
XL=XC，UL=UC，=0
XL=XC，IL=IC，
=0
功率
有功功率
P=I2R=UIcos（W）
P=U2G=UIcos（W）
无功功率
Q=I2X=UIsin（Var）
Q=U2B=UIsin（Var）
视在功率
说明：
（1）R-L串联电路：
只需将R-L-C串联电路中的电容C短路去掉，即令XC=0，UC=0，则表中有关串联电路的公式完全适用于R-L串联情况。
（2）R-C串联电路：
只需将R-L-C串联电路中的电感L短路去掉，即令XL=0，UL=0，则表中有关串联电路的公式完全适用于R-C串联情况。
（3）R-L并联电路：
只需将R-L-C并联电路中的电容C开路去掉，即令XC=∞，IC=0，则表中有关并联电路的公式完全适用于R-L并联情况。
（4）R-C并联电路：
只需将R-L-C并联电路中的电感L开路去掉，即令XL=∞，IL=0，则表中有关并联电路的公式完全适用于R-C并联情况。
三、R-L-C串、并联谐振电路
R-L-C串联谐振电路
R-L-C并联谐振电路
谐振条件
XL=XC
XLXC
谐振频率
谐振阻抗
谐振电流
品质因数
元件上电压或电流
UL=UC=QU，UR=U
ILICQI0
通频带
失谐时阻抗性质
f>f0时，呈感性；
ff>f0时，呈容性；
f对电源的要求
适用于低内阻的信号源
适用于高内阻的信号源
四、提高功率因数的方法
提高感性负载（R-L）功率因数的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联。
对于额定电压为U、额定功率为P、工作频率为f的感性负载来说，将功率因数从1=cos1提高到2=cos2，所需并联的电容为
其中1=arccos1，2=arccos2，且1>2，1<2。
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