高中数学第一章导数及其应用1函数中的应用133函数的最大小值与导数二学案新人教A版选修221022342.docx
《高中数学第一章导数及其应用1函数中的应用133函数的最大小值与导数二学案新人教A版选修221022342.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章导数及其应用1函数中的应用133函数的最大小值与导数二学案新人教A版选修221022342.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学第一章导数及其应用1函数中的应用133函数的最大小值与导数二学案新人教A版选修221022342
1．3.3 函数的最大（小）值与导数
（二）
学习目标
1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．
知识点 用导数求函数f（x）最值的基本方法
（1）求导函数：
求函数f（x）的导函数f′（x）；
（2）求极值嫌疑点：
即f′（x）不存在的点和f′（x）＝0的点；
（3）列表：
依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′（x）与f（x）随x变化的一览表；
（4）求极值：
依（3）的表中所反应的相关信息，求出f（x）的极值点和极值；
（5）求区间端点的函数值；
（6）求最值：
比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f（x）在其定义域内的最大值和最小值.
类型一 由极值与最值关系求参数范围
例1 若函数f（x）＝3x－x3在区间（a2－12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1，）B．（－1,4）
C．（－1,2]D．（－1,2）
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 最值存在性问题
答案 C
解析 由f′（x）＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
↘
－2
↗
2
↘
由此得a2－12<－1又当x∈（1，＋∞）时，f（x）单调递减，
且当x＝2时，f（x）＝－2.∴a≤2.
综上，－1反思与感悟 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．
跟踪训练1 若函数f（x）＝x3－6bx＋3b在（0,1）内有最小值，则实数b的取值范围是（ ）
A．（0,1）B．（－∞，1）
C．（0，＋∞）D.
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 由题意得，函数f（x）＝x3－6bx＋3b的导数f′（x）＝3x2－6b在（0,1）内有零点，
且f′（0）<0，f′
（1）>0，即－6b<0，且（3－6b）>0，
∴0类型二 与最值有关的恒成立问题
例2 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[－1,2]，不等式f（x）考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围
解
（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
因为f′
（1）＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，
解得a＝－，b＝－2，
所以f′（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），令f′（x）＝0，得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
－
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f（x）的单调递增区间为，（1，＋∞）；单调递减区间为.
（2）由
（1）知，f（x）＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f ＝＋c为极大值，
因为f
（2）＝2＋c，所以f
（2）＝2＋c为最大值．
要使f（x）f
（2）＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故实数c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）．
引申探究
若本例中条件不变，“把
（2）中对x∈[－1,2]，不等式f（x）解 由典例解析知当x＝1时，f
（1）＝c－为极小值，
又f（－1）＝＋c>c－，
所以f
（1）＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1,2]，不等式f（x）所以只需c2>f
（1）＝c－，即2c2－2c＋3>0，
解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练2
（1）已知函数f（x）＝2xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3对一切x∈（0，＋∞），f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案 （－∞，4]
解析 由2xlnx≥－x2＋ax－3，
得a≤2lnx＋x＋.
设h（x）＝2lnx＋＋x（x>0）．
则h′（x）＝，
当x∈（0,1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增．
∴h（x）min＝h
（1）＝4.
∴a≤4.
（2）设L为曲线C：
y＝在点（1,0）处的切线．
①求L的方程；
②证明：
除切点（1,0）之外，曲线C在直线L的下方．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 恒成立中的证明问题
①解 设f（x）＝，
则f′（x）＝，
所以f′
（1）＝1，所以L的方程为y＝x－1.
②证明 设g（x）＝x－1－f（x），除切点外，曲线C在直线L的下方等价于∀x>0且x≠1，g（x）>0.
g（x）满足g
（1）＝0，且g′（x）＝1－f′（x）＝.
当0所以g′（x）<0，
故g（x）在（0,1）上单调递减；
当x>1时，x2－1>0，lnx>0，
所以g′（x）>0，
故g（x）在（1，＋∞）上单调递增；
所以，∀x>0且x≠1，g（x）>g
（1）＝0.
所以除切点外，曲线C在直线L的下方.
1．函数f（x）＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是（ ）
A．0B.C.D.
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求不含参数函数的最值
答案 B
解析 f′（x）＝e－x－xe－x＝e－x（1－x），
∴当0≤x≤1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
当1≤x≤4时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，
∴当x＝1时，f（x）max＝f
（1）＝.故选B.
2．函数f（x）＝xlnx的最小值为（ ）
A．e2B．－e
C．－e－1D．－
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求不含参数函数的最值
答案 C
解析 ∵f（x）＝xlnx，定义域是（0，＋∞），
∴f′（x）＝1＋lnx，
令f′（x）>0，解得x>，
令f′（x）<0，解得0∴函数在上单调递减，在上单调递增，
故当x＝时，函数取最小值－，故选C.
3．已知函数f（x）＝ex－x＋a，若f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞）B．（－∞，－1）
C．[－1，＋∞）D．（－∞，－1]
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 f′（x）＝ex－1，
令f′（x）>0，解得x>0，
令f′（x）<0，解得x<0，
故f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，
故f（x）min＝f（0）＝1＋a，
若f（x）>0恒成立，
则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
4．已知函数f（x）＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f（x1）－f（x2）|恒成立，则M的最小值是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案 4
解析 f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），
当－1≤x<0时，f′（x）>0，f（x）单调递增，
当0所以当x＝0时，f（x）取得极大值，也为最大值，f（0）＝2，
又f（－1）＝－2，f
（1）＝0，
所以f（x）的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，
|f（x1）－f（x2）|≤f（x）max－f（x）min＝4，
所以M≥|f（x1）－f（x2）|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.
5．已知函数f（x）＝ax4lnx＋bx4－c（x>0）在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围
解
（1）由f（x）在x＝1处取得极值－3－c知f
（1）＝b－c＝－3－c，得b＝－3.
又f′（x）＝4ax3lnx＋ax4·＋4bx3
＝x3（4alnx＋a＋4b），
由f′
（1）＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.
（2）由
（1）知f′（x）＝48x3lnx（x>0）．
令f′（x）＝0，得x＝1.
当0当x>1时，f′（x）>0，f（x）为增函数．
因此，f（x）的单调递减区间为（0,1），单调递增区间为（1，＋∞）．
（3）由
（2）知f
（1）＝－3－c既是极小值，也是（0，＋∞）内的最小值，要使f（x）≥－2c2（x>0）恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.
从而（2c－3）（c＋1）≥0，解得c≥或c≤－1.
故实数c的取值范围为（－∞，－1]∪.
1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．
2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：
一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.
一、选择题
1．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则f（x）在[－1,1]上的最大值、最小值分别为（ ）
A．0，－4B.，－4
C.，0D．2,0
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求不含参数函数的最值
答案 B
解析 由题意得
即得
则f（x）＝x3－2x2＋x，f′（x）＝3x2－4x＋1，
令f′（x）＝0得x＝1或x＝，
由f ＝，f（－1）＝－4，f
（1）＝0，
∴f（x）max＝，f（x）min＝－4.
2．已知a，b为正实数，函数f（x）＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值为4，则f（x）在[－1,0]上的最小值为（ ）
A．0B.
C．－2D．2
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求含参数函数的最值
答案 A
解析 因为a，b为正实数，
所以f（x）＝ax3＋bx＋2是增函数，
函数f（x）＝ax3＋bx＋2在[0,1]上的最大值f
（1）＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2.
在[－1,0]上的最小值为f（－1）＝－（a＋b）＋2＝0.
3．若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，其中－2≤x≤3，则实数a的最大值为（ ）
A．1B．－1
C．－5D．－21
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案 D
解析 若关于x的不等式x3－3x＋3＋a≤0恒成立，
则a≤－x3＋3x－3在[－2,3]上恒成立，
令f（x）＝－x3＋3x－3，x∈[－2,3]，
则f′（x）＝－3x2＋3＝－3（x＋1）（x－1），
令f′（x）>0，解得－1令f′（x）<0，解得x>1或x<－1，
故f（x）在[－2，－1）上单调递减，在（－1,1）上单调递增，在（1,3]上单调递减，
而f（－2）＝－1，f（－1）＝－5，f
（1）＝－1，f（3）＝－21，
故a≤－21，故a的最大值是－21.
4．当x∈（0,3）时，关于x的不等式ex－x－2mx>0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.B.
C．（－∞，e＋1）D．（e＋1，＋∞）
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案 A
解析 当x∈（0,3）时，关于x的不等式ex－x－2mx>0恒成立，
即为2m＋1<在（0,3）上的最小值，
令f（x）＝，则f′（x）＝，
当0当10，f（x）单调递增．
可得f（x）在x＝1处取得最小值e，
即有2m＋15．若函数f（x）＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞）上的最大值为1，则a的取值范围是（ ）
A．[－3，＋∞）B．（－3，＋∞）
C．（－3,0）D．[－3,0]
考点 导数在最值问题中的应用
题点 已知最值求参数
答案 D
解析 ∵f（x）＝－x3－3x2＋1，
∴f′（x）＝－3x2－6x，
令f′（x）＝－3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝－2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,0）
0
（0，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
由f（x）＝1，得－x3－3x2＋1＝1，
解得x＝0或x＝－3.
当x>0时，f（x）当x<－3时，f（x）>f（－3）＝1，
又f（x）＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞）上的最大值为1，
∴a的取值范围为[－3,0]．
6．关于函数f（x）＝（2x－x2）ex的命题：
①f（x）>0的解集是{x|0②f（－）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．①②③
C．②③D．①③
考点 导数在最值问题中的应用
题点 最值与极值的综合应用
答案 A
解析 ①由于ex>0，所以f（x）>0，
即需2x－x2>0解得{x|0②因为f（x）＝（2x－x2）ex的定义域是R，
f′（x）＝（2－2x）ex＋（2x－x2）ex＝（2－x2）ex，
令f′（x）＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－）
－
（－，）
（，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f（－）是极小值，f（）是极大值，②正确．
③由图象（图略）知f（）为最大值，无最小值，③错误．
7．若函数f（x）＝x3－3x在（a,6－a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－，－1）B．（－，－1]
C．（－，－2）D．（－，－2]
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 由题意知f（x）＝x3－3x，
所以f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），
当x<－1或x>1时，f′（x）>0；
当－1故x＝－1是函数f（x）的极大值点，
f（－1）＝－1＋3＝2，令x3－3x＝2，解得x＝2，
由题意得
解得－二、填空题
8．已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值范围是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 最值存在性问题
答案 [－4，－2]
解析 f′（x）＝m－2x，令f′（x）＝0，得x＝.
由题意得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
9．已知e是自然对数的底数，若函数f（x）＝ex的图象始终在函数g（x）＝x－a图象的上方，则实数a的取值范围是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案 （－1，＋∞）
解析 由题意知f（x）－g（x）＝ex－x＋a>0，对一切实数x恒成立，
令h（x）＝ex－x＋a，则h（x）min>0，
∵h′（x）＝ex－1，
令h′（x）＝0得x＝0，
当x<0时，h′（x）<0，则h（x）在（－∞，0）上单调递减，
当x>0时，h′（x）>0，则h（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∴当x＝0时，h（x）取得极小值，即最小值为h（0）＝1＋a，
∴1＋a>0，即a>－1.
10．已知函数f（x）＝ax3－3x＋1，且对任意x∈（0,1]，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
答案 [4，＋∞）
解析 当x∈（0,1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥.
设g（x）＝，x∈（0,1]，
则g′（x）＝＝－.
令g′（x）＝0，得x＝.
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
x
g′（x）
＋
0
－
g（x）
↗
极大值
↘
因此g（x）的最大值等于极大值g＝4，则实数a的取值范围是[4，＋∞）．
11．已知函数f（x）＝ax－lnx，g（x）＝ex－ax，其中a为正实数，若f（x）在（1，＋∞）上无最小值，且g（x）在（1，＋∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 最值存在性问题
答案 [1，e]
解析 ∵f（x）＝ax－lnx（x>0），
∴f′（x）＝a－＝，
若f（x）在（1，＋∞）上无最小值，
则f（x）在（1，＋∞）上单调，
∴f′（x）≥0在（1，＋∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在（1，＋∞）上恒成立，
∴a≥或a≤，而函数y＝在（1，＋∞）上单调递减，
∴当x＝1时，函数y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a为正实数，故a≥1，①
又∵g（x）＝ex－ax，∴g′（x）＝ex－a，
∵函数g（x）＝ex－ax在区间（1，＋∞）上单调递增，
∴g′（x）＝ex－a≥0在区间（1，＋∞）上恒成立，
∴a≤（ex）min在区间（1，＋∞）上恒成立．
而ex>e，∴a≤e.②
综合①②，a∈[1，e]．
三、解答题
12．已知函数f（x）＝x3－ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在
（1）的条件下，当x∈[－2,6]时，f（x）<2|c|恒成立，求实数c的取值范围．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解
（1）f′（x）＝3x2－2ax＋b，
∵函数f（x）在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴∴
（2）由
（1）知f（x）＝x3－3x2－9x＋c，
令f′（x）＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
而f（－1）＝c＋5，f（3）＝c－27，f（－2）＝c－2，
f（6）＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f（x）的最大值为c＋54，
要使f（x）<2|c|恒成立，只需c＋54<2|c|.
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
故实数c的取值范围是（－∞，－18）∪（54，＋∞）．
13．已知函数f（x）＝，若当x∈[0,2]时，f（x）≥恒成立，求a的取值范围．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解 f′（x）＝
＝.
当a＝0时，令f′（x）＝0，得x＝1.
在（0,1）上，有f′（x）>0，函数f（x）单调递增；在（1,2）上，有f′（x）<0，函数f（x）单调递减．
又f（0）＝0，f
（2）＝，故函数f（x）的最小值为f（0）＝0，结论不成立．
当a≠0时，令f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝1－.
若a<0，则f（0）＝a<0，结论不成立．
若0在（0,1）上，有f′（x）>0，函数f（x）单调递增；在（1,2）上，有f′（x）<0，函数f（x）单调递减．
只需得到
所以≤a≤1.
若a>1，则0<1－<1，函数在x＝1－处有极小值，
只需得到
因为2a－1>1，
<1，所以a>1.
综上所述，a的取值范围是a≥.
四、探究与拓展
14．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1B.C.D.
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求不含参数函数的最值
答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt（t>0）．
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在上单调递增．
故当t＝时，|MN|有极小值也是最小值．
15．已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围
题点 已知最值求参数
解
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－a.
若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′（x）>0；
当x∈时，f′（x）<0.
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
当a>0时，f（x）在上单调递增，
在上单调递减．
（2）由
（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上无最大值；
当a>0时，f（x）在x＝处取得极大值且为最大值，最大值为f ＝ln＋a＝－lna＋a－1.
因此f >2a－2等价于lna＋a－1<0.
令g（a）＝lna＋a－1，则g（a）在（0，＋∞）上单调递增，g
（1）＝0.
于是，当01时，g（a）>0.
因此，a的取值范围是（0,1）．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：
从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的
升级会员 