学年八年级数学人教版上同步练习第十五章因式分解.docx

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学年八年级数学人教版上同步练习第十五章因式分解

2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习

第十五章因式分解

一.教学内容：

   因式分解

1.什么叫因式分解，因式分解与整式乘法有什么关系？

2.如何用提公因式法分解因式？

3.如何用公式法分解因式？

二.知识要点：

1.因式分解

根据乘法公式，a2－b2＝（a＋b）（a－b）；a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．可见整式乘法与因式分解互为逆运算．

2.提公因式法

多项式ma＋mb＋mc，各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

由m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc可得ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）．这样就把ma＋mb＋mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式（a＋b＋c）是ma＋mb＋mc除以m所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法．

3.公式法

（1）两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

（2）两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2．

4.注意：

（1）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

（2）在某个范围内，并不是每个多项式都可以分解因式．

三.重点难点：

重点：

1.理解提公因式法的依据，会找出各项的公因式，能用提公因式法分解因式．2.弄清各个公式的形式和特点，能熟练地运用公式法分解因式．

难点：

理解因式分解的意义有一定的难度，可以结合因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系说明它的含义．另外，熟练运用公式法分解因式也是本节的难点．

【典型例题】

例1.下列由左边到右边的变形是因式分解的是 （  ）

A.（x＋1）（x－1）＝x2－1

B.x2－2x＋1＝x（x－2）＋1

C.a2－b2＝（a＋b）（a－b）

D.mx＋my＋nx＋ny＝m（x＋y）＋n（x＋y）

分析：

选项A是整式的乘法运算，是因式分解的逆运算，两种运算不能混为一谈；选项B只是把前两项进行了因式分解，从全局来说仍是多项式，不是因式分解；选项D最终没有把多项式变为整式的积的形式，也不是因式分解．

解：

C

评析：

本例考查对因式分解概念的理解，需要用因式分解定义和整式乘法计算来进行判断．

例2.根据因式分解定义填空．

（1）3x＋6＝3（     ）；

（2）a2b＋ac＝a（     ）；

（3）25a2－1＝（5a＋1）（     ）；

（4）a2＋4a＋4＝（a＋2）（     ）．

分析：

结合乘法分配律和整式乘法两个法则——平方差公式和完全平方公式来填空．

解：

（1）x＋2

（2）ab＋c（3）5a－1（4）a＋2

评析：

把握住因式分解的关键——把多项式变为整式的积的形式；检验结果是否正确可利用整式乘法来检验．

例3.把下列各式分解因式：

（1）（a－b）3－（a－b）2；

（2）（2008年广州）a3－ab2；

（3）（x－y）4＋x（x－y）3－y（y－x）3；

（4）25m2＋80m＋64．

分析：

对于含有括号的多项式，因式分解不要急于将括号展开，要观察式子的特点，有些多项式不去掉括号，直接分解因式更方便些．如：

本题中的多项式

（1），如果设a－b＝m，那么（a－b）3－（a－b）2＝m3－m2，显然m2是多项式m3－m2的公因式，提公因式得m3－m2＝m2（m－1）．即（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2［（a－b）－1］．这说明，对于多项式（a－b）3－（a－b）2，可把（a－b）3和－（a－b）2分别看作一项，其中a－b可看作是这两项中相同的一个字母，（a－b）的最低次幂（a－b）2，就是原多项式的公因式．另外，因为［（a－b）3－（a－b）2］÷（a－b）2＝［（a－b）3÷（a－b）2－（a－b）2÷（a－b）2］＝［（a－b）－1］＝（a－b－1），所以（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2（a－b－1）．

解：

（1）（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2（a－b－1）

（2）a3－ab2

＝a（a2－b2）

＝a（a＋b）（a－b）

（3）（x－y）4＋x（x－y）3－y（y－x）3

＝（x－y）4＋x（x－y）3＋y（x－y）3

＝（x－y）3（x－y＋x＋y）

＝2x（x－y）3；

（4）25m2＋80m＋64

＝（5m）2＋2·5m·8＋82

＝（5m＋8）2

评析：

（1）公因式既可以是单项式，也可以是多项式．

（2）分解因式时，常利用以下几个恒等关系：

①a－b＝－（b－a）②（a－b）2＝（b－a）2③（a－b）3＝－（b－a）3，（3）写因式分解的结果时，单项式要放在多项式的前面．

例4.计算：

（1）5.4×298.6＋6.4×298.6－1.8×298.6；

（2）542＋462＋108×46；

（3）已知a＋b＝5，ab＝3，求a2b＋ab2的值．

分析：

（1）直接计算较麻烦，但各项中都有298.6，可尝试提公因式分解因式；

（2）108×46可以化为2×54×46的形式，原式正好是完全平方公式；（3）题若是先求a与b的值再代入也不容易做，应先对代数式a2b＋ab2进行因式分解，再代入计算．

解：

（1）5.4×298.6＋6.4×298.6－1.8×298.6

＝298.6×（5.4＋6.4－1.8）

＝298.6×10

＝2986

（2）542＋462＋108×46

＝542＋2×54×46＋462

＝（54＋46）2

＝10000

（3）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝5×3＝15

评析：

在化简和计算中若能根据题目特点灵活运用因式分解，有时会给运算带来很大方便．

例5.完成下列各题

（1）（2008年太原）分解因式x（x＋4）＋4的结果是__________．

（2）（2008年趣味数学技能展示决赛）20082－20072＋20062－20052＋…＋22－12＝__________．

分析：

（1）容易疏忽错解为：

提公因式（x＋4）后剩x＋4，于是x（x＋4）＋4＝（x＋4）（x＋4）＝（x＋4）2．正解应该是先做乘法，再运用公式法分解．

（2）20082－20072可用平方差公式运算得（2008＋2007）×1，这里不要把2008＋2007计算出来，否则下一步计算将变得十分困难．20062－20052及以后各加数也用类似的方法．

解：

（1）（x＋2）2

（2）2017036

评析：

在实际运算过程中，有时不要急于计算，先观察、找方法，再计算．贸然计算可能会使问题更复杂．

例6.如图所示，假如用一根比赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么地球赤道与铁丝之间的间隙能有多大（地球看成球体）？

猜想一只乒乓球能否穿越该间隙？

显然圆环的间隙大于乒乓球的直径．

所以一只乒乓球能穿越该间隙．

评析：

在某些计算中灵活运用因式分解有时会给计算带来很大方便．

【方法总结】

1.在学习因式分解的意义时，可以应用对比的方法，把“整式乘法反过来”．“反过来”是指把等式左、右两边换过来，这样就可以将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解．

2.在运用公式法分解因式时要通过充分地练习基本类型题来记忆和运用公式，不要死记硬背．

【模拟试题】（答题时间：

70分钟）

一.选择题

1.下列等式中成立的是（   ）

A.（x－y）3＝（－x－y）3

B.（a－b）4＝－（b－a）4

C.（m－n）2＝m2－n2

D.（x＋y）（x－y）＝（－x－y）（－x＋y）

2.（2008年宁夏）下列分解因式正确的是（   ）

A.2x2－xy－x＝2x（x－y－1）

B.－xy＋2xy－3y＝－y（xy－2x－3）

C.x（x－y）－y（x－y）＝（x－y）2

D.x2－x－3＝x（x－1）－3

3.（2007年杭州）因式分解（x－1）2－9的结果是（   ）

A.（x＋8）（x＋1）  B.（x＋2）（x－4）

C.（x－2）（x＋4）  D.（x－10）（x＋8）

4.（2007年南昌）下列各式中，与（a－1）2相等的是（   ）

A.a2－1    B.a2－2a＋1     C.a2－2a－1     D.a2＋1

A.3个      B.4个   C.5个   D.6个

7.（2007年北京）把代数式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是（   ）

A.a（x－2）2              B.a（x＋2）2

C.a（x－4）2             D.a（x＋2）（x－2）

*8.若x2－2（k＋1）x＋4是完全平方式，则k的值为（   ）

A.±1   B.±3    C.－1或3   D.1或－3

9.设一个正方形的边长为a厘米，若边长增加3厘米，则新正方形的面积增加了（   ）

A.9平方厘米         B.6a平方厘米

C.（6a＋9）平方厘米   D.无法确定

*10.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ）

A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

B.（a－b）2＝a2－2ab＋b2

C.a2－b2＝（a＋b）（a－b）

D.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2

二.填空题

1.（2007年海南）分解因式：

a2－9＝__________．

2.（2008年上海）分解因式xy－x－y＋1＝__________．

3.（2008年河北）若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝__________．

4.（2008年浙江金华）如果x＋y＝－4，x－y＝8，那么代数式x2－y2的值是________．

5.（2007年武汉）一个长方形的面积是（x2－9）平方米，其长为（x＋3）米，用含有x的整式表示它的宽为__________米．

7.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为__________．

*8.若整式4x2＋Q＋1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是__________．

*10.在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：

如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：

（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：

__________（写出一个即可）．

三.解答题

1.将下列各式分解因式

（1）4x3－8x2＋4x

（2）9（x＋y＋z）2－（x－y－z）2

（3）m2－n2＋2m－2n

2.利用因式分解计算：

1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012

**四.综合应用题

体育课上，甲、乙两班学生进行“引体向上”身体素质测试，测试统计结果如下：

甲班：

全班同学“引体向上”总次数为n2；

乙班：

全班同学“引体向上”总次数为50n－625．

请比较一下两班学生“引体向上”总次数哪个班的次数多？

多多少？

【试题答案】

一、选择题

1.D  2.C  3.B  4.B  5.B  6.B  7.A  8.D  9.C  10.C

二、填空题

1.（a＋3）（a－3）    2.（x－1）（y－1）   3.－5    4.－32 

5.x－3    6.500    7.110cm2    8.±4x 

10.101030，或103010，或301010

三、解答题

1.

（1）4x（x－1）2

（2）4（2x＋y＋z）（x＋2y＋2z）（3）（m－n）（m＋n＋2）

2.5151

4.4a2－9b2＝（2a＋3b）（2a－3b），答案不唯一

四、实际应用题

当n＝25时，甲、乙两班次数相同；当n＞25时，甲班比乙班次数多（n－25）2次