第一章图形与证明表格教案.docx

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第一章图形与证明表格教案

课题

1.1等腰三角形的性质和判定

课时数

第1课时总16课时

时间：

教学目标

1、经历探索——发现——猜想——证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。

2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。

3、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。

教学重点

等腰三角形的性质与判定定理的证明

教学难点

证明过程的书写格式

教学过程

二次备课

知识回顾

1、什么叫证明？

什么叫定理？

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？

3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实？

此外，还有什么被看作是基本事实？

情景创设

1、什么叫做等腰三角形？

（等腰三角形的定义）你能用刻度尺华画一个等腰三角形吗？

2、你能画出它的顶角平分线吗？

等腰三角形有哪些性质？

3、上述性质你是怎么得到的？

（不妨动手操作做一做）

4、这些性质都是真命题吗？

能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

探索活动

1、合作与讨论：

说明你所画的三角形是等腰三角形。

证明：

等腰三角形的两个底角相等。

2、思考与讨论：

说明你所画的是顶角的平分线。

怎样证明：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。

定理：

等腰三角形的两个底角相等，（简称：

“等边对等角”）

定理：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：

“三线合一”）

4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？

5、思考与探索

如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？

要求：

（1）写出它的逆命题：

_______________________。

（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。

6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。

例题讲解

已知：

如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.

求证：

AB=AC

分析：

要证AB=AC，只需证∠B=∠C，由已知

∠EAD=∠DAC，只需证∠EAD=∠B，∠DAC=∠C。

在例题中，如果AB=AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？

如果结论成立，你能证明吗？

你还能得出其他结论吗？

随堂练习

1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为________。

2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为__________。

3、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个_______。

4、如果等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角_____。

5、在△ABC中，∠A＝40°，当∠B等于多少度数时，△ABC是等腰三角形？

小结思考

1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。

2、要等腰三角形中，底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线是常用的辅助线，能过画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。

3、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：

直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。

对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。

作业布置

板书设计

课题

1、等腰三角形的定义证明1……练习……

2、等腰三角形的性质证明2………………

3、等腰三角形的判定证明3………………

教学笔记

课题

1.2直角三角形全等的判定

（1）

课时数

第2课时总16课时

时间：

教学目标

1、能证明直角三角形全等的“HL”判定定理，进一步理解证明的必要性。

2、利用直角三角形全等的“HL”定理解决有关的计算和证明问题。

3、初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题。

教学重点

能证明直角三角形全等的“HL”判定定理；

教学难点

发展演绎推理的能力

教学过程

二次备课

情境创设

1、直角三角形全等的条件有哪些？

2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？

为什么？

探索活动

证明：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL”）

问题一：

你能从基本的事实出发，证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？

问题二：

证明这个结论你有没有困难？

说说你准备如何解决这个问题？

问题三：

如果用“把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼合”的方法来证明“HL”定理，那么：

⑴如何拼合？

⑵可以拼合成一个什么图形？

为什么可以拼合成一个等腰三角形？

⑶说说你的证明思路。

例题教学

例1、如图：

如果∠BAC=30°，那么BC=

AB，你能证明这个结论吗？

例2、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.求证：

AB=AC

随堂练习

1.△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为（）

A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm

2．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）

（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分线

3．如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.求证：

AB=AC

4．已知：

如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？

5．已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.求证:

BD=

AB

小结思考

1、图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）”和“拼（把两个直角三角形拼成一个等腰三角形）”两种方法体现了同一种思想——转化思想，即可把待证的问题转化为可证的问题；

2、本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例子吗？

作业布置

板书设计

教学笔记

课题

1.2直角三角形全等的判定

（2）

课时数

第3课时总16课时

时间：

教学目标

1、学会对角平分线性质定理与判定定理的证明，进一步发展推理证明的意识和能力

2、初步掌握用角平分线性质定理与判定定理解决有关问题

3、结合具体问题，提高将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力

教学重点

从简单的数学例子中体会反证法的含义

教学难点

逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力

教学过程

二次备课

情境创设

证明：

角平分线上的点到角的两边的距离相等

1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离相等“吗？

2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？

①引导学生通过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合来说明

探索活动

证明：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

问题一、“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是什么？

问题二、你人为这个命题是真命题吗？

如果正确，如何证明？

注意：

关注学生能否与角平分线的性质定理有区别的画出图形，并根据图形写出已知和求证。

问题三：

如果某点到角的两边的距离不相等，那么这个点会在这个角的平分线上吗？

为什么？

②不断感受合情推理道贺演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径，并且这也是每个学生都能参与的学习活动。

③会构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径

例题教学

例1“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。

”你认为这个结论正确吗？

如果正确，你能证明它吗？

例2如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图

（1））且AD=CE，说明：

BA⊥AC．

（2）若BC在DE的两侧（如图

（2））其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？

若是请予证明，若不是请说明理由．

例3如图，△ABC的角平分线AD、BE相交与点O。

点O到△ABC各边的距离相等吗？

点O在∠C的平分线上吗？

定理：

三角形的3条角平分线交于一点。

④引导学生进一步认识图形的我位置关系与数量关系之间的内在联系，为问题三的思考做铺垫

初步渗透反证法

随堂练习

1、如图在△ABC中，∠C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求∠B的度数。

3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，

求证：

点F在∠DAE的平分线上．

4、如图所示，△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。

求证：

MD=ME。

6、如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=900，AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，

（1）求：

如果CD＝4cm，AC的长。

（2）求证:

AB＝AC＋CD。

小结思考

1、本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形有位置关系与数量关系的内在联系。

你能说明这种内在的联系吗？

2、你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。

”这个结论成立吗？

如果成文，你能证明吗？

作业布置

板书设计

教学笔记

课题

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定

（1）

课时数

第4课时总16课时

时间：

教学目标

1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论

2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力

教学重点

平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性

教学难点

分析综合思考的方法

教学过程

二次备课

情境创设

根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，

请分别从边、角、对角线等方面进行回忆：

平行四边形_______________矩形___________________

菱形_____________________正方形_________________

从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？

如图

，图中有______个平行四边形。

探索活动

1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？

2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？

为什么?

3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

求证：

AO=CO，BO=DO

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：

平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

例题教学

例1证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”

分析：

根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。

例2已知：

如图，□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。

求证：

BE=DF

分析：

可根据证明△ABE≌△CDF得到结论。

若将例2中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=

AD，CF=

BC”，是否还能得到同样的结论？

随堂练习

1．□ABCD的周长为50cm，且AB:

BC=3:

2，则AB=______cm，BC=______cm.；

2．已知□ABCD中，AB=8，BC=10，∠B=45°,□ABCD的面积为_________.

3.在

中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是（）

A.5B.10C.15D.20

4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°，

∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（）

（A）1　　　　　（B）1.2　　　　（C）

　　　　　（D）1.5

5.平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O，已知AB=8，BC=6，△AOB的周长为18，求△AOD的周长。

6.已知：

如图，□ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.

求证：

BE=DF.

小结思考

1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

3、平行线之间的距离处处相等。

作业布置

板书设计

教学笔记

课题

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定

（2）

课时数

第5课时总16课时

时间：

教学目标

1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别

2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理

3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明

4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步发展推理论证的能力

教学重点

矩形的本质属性

教学难点

矩形性质定理的综合应用

教学过程

二次备课

情境创设

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。

结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？

你能证明这些性质吗？

探索活动

问题一观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？

（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）

问题二证明：

矩形的4个角都是直角。

矩形的对角线相等。

问题三你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？

说说你的证明思路。

已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°.

求证：

边AB上的中线等于

AB.

问题四你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？

（引导学生不断学会思考和猜想：

由结论进一步能得到什么结论？

这个结论的逆命题是否正确。

不断发展学生数学思考的能力）

例题教学

例1已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，

且AC=2AB.

求证：

AOB是等边三角形

分析：

利用矩形的性质：

矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AB”即可证得。

本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？

随堂练习

3、已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足，∠DAE∶∠EAB=2∶1，求∠CAE的度数。

（1）

（2）（3）

4、如图2，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）．

（A）98（B）196（C）280（D）284

5、如图3，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．

6.已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．

（1）求证：

△ADE≌△BCF；

（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．

小结思考

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。

作业布置

板书设计

教学笔记

课题

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）

课时数

第6课时总16课时

时间：

教学目标

1、会归纳菱形的特性并进行证明，能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明

2、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性

教学重点

菱形的性质定理证明

教学难点

性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化

教学过程

二次备课

情境创设

1．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形?

（）

2．探索。

请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。

（1）边：

都相等；

（2）对角线：

互相垂直。

问题：

你怎样发现的?

又是怎样验证的?

3．概括。

特征1：

菱形的四条边都相等。

特征2：

菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

4．请你折—折，观察并填空。

（1）菱形是不是中心对称图形?

对称中心是_______。

（2）是不是轴对称图形?

对称轴有几条?

_______。

①学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。

②从边、对角线入手。

③可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。

④引导学生剖析矩形与菱形的区别。

探索活动

问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？

问题二证明：

菱形的4条边都相等。

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

分析：

第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。

问题三已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？

（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？

如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？

由此可得：

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。

①引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验

例题教学

例1如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

分析：

可将问题归结到菱形ABCD中研究，求出BD的长即可。

可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD。

例2已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上任一点，DF交AC于点E。

求证：

∠AFD=∠CBE

分析：

结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。

随堂练习

1、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（D）

A．4B．8C．12D．16

2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．

3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．

4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：

BD=4：

3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．

5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为_____，∠DAB的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．

小结思考

菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。

作业布置

板书设计

教学笔记

课题

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）

课时数

第7课时总16课时

时间：

教学目标

1、会归纳正方形的特性并进行证明

2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用

4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系

教学重点

经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力

教学难点

有条理地、清晰地阐述自己的观点

教学过程

二次备课

情境创设

矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？

它又有什么特殊性质呢？

探索活动

1、正方形的定义

有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（正方形是在什么前提下定义的？

包括哪两层意思？

）

2、正方形的性质

正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质

正方形性质定理1：

正方形的对边平行，四条边相等，四个角都是直角。

正方形性质定理2：

正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

例题教学

例1求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例2已知：

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于

点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，

A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

（1）求证：

F是CD的中点

（2）若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？

由

（1）、

（2）可以得到什么结论？

（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）

随堂练习

1、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）

A．

cm2B．

cm2

C．

cm2D．

cm2

3、已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：

BE＝GH；

（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？

请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？

其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

小结思考

（1）正方形的性质：

（2）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

作业布置

板书设计

教学笔记

课题

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）

课时数

第8课时总16课时

时间：

教学目标

1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法

2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明

3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

4、