第三章 一元一次方程优秀经典导学案.docx

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第三章一元一次方程优秀经典导学案

第三章　一元一次方程

3．1.1　一元一次方程

1．能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系，再根据等量关系列出方程；

2．理解什么是一元一次方程；

3．理解什么是方程的解及解方程，学会检验一个数的值是不是方程的解．

找等量关系，会用方程表示简单的实际问题，能验证一个数是否是一个方程的解．

一、温故知新

1．前面学过有关方程的一些知识，同学们能说出什么是方程吗？

答：

含有未知数的等式叫做方程．

2．判断下列是不是方程，是打“√”，不是打“×”

①x＋3；（　×　）　②3＋4＝7；（　×　）

③2x＋13＝6－y；（　√　）　④

＝6；（　√　）

⑤2x－8＞－10；（　×　）　⑥－2x＋3≠1.（　×　）

二、自主学习

例1　根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：

（1）用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？

解：

设正方形的边长为xcm，列方程，得4x＝24．

（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

解：

设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时，

列方程得1700＋150x＝2450.

（3）某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

解：

设这个学校的学生数为x，则女生数为__0.52x__，男生数为（1－0.52）x，依题意，得0.52x－（1－0.52）x＝80.

1．一元一次方程的概念

观察下面方程的特点：

（1）4x＝24；

（2）1700＋150x＝2450；

（3）0.52x－（1－0.52）x＝80.

小结：

上面的方程，它们都只含有__一__个未知数（元），未知数的次数都是__1__，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．（即方程的一边或两边含有未知数）

2．方程的解

如何求出使方程左右两边相等的未知数的值？

如方程x＋3＝4中，x＝？

方程－2x＋3＝1中的x呢？

请用小学所学过的逆运算解决上面的问题．

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．

例　检验2和－3是否为方程2x＋3＝3x＋1的解．

解：

当x＝2时，

左边＝2×2＋3＝__7__，

右边＝3×2＋1＝__7__，∵左边__＝__右边，（填＝或≠）

∴x＝2__是__方程的解．（填是或不是）

当x＝－3时，

左边＝2×（－3）＋3＝－3，右边＝3×（－3）＋1＝－8，

∵左边≠右边，（填＝或≠）

∴x＝3不是方程的解．（填是或不是）

1．判断下列式子是不是一元一次方程，是打“√”，不是打“×”．

①x＋3＝4；（　√　）　②－2x＋3＝1；（　√　）

③2x＋13＝6－y；（　×　）　④

＝0；（　√　）

⑤2x－8＞－10；（　×　）⑥3＋4x＝7x；（　√　）

2．x＝1是下列方程（　B　）的解．

A．1－x＝2　　　　　B．2x－1＝4－3x

C．3－（x－1）＝4D．x－4＝5x－2

3．已知方程（1－a）x2＋2x－3＝2是关于x的一元一次方程，则a＝__1__．

4．课本P80练习．

5．练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元．问：

小明买了几本练习本？

解：

设小明买了x本练习本，列方程得

0．8x＋4.4＝10.

6．长方形的周长为24cm，长比宽多2cm，求长和宽分别是多少？

解：

设长方形的宽为xcm，则长为（x＋2）cm.

（x＋x＋2）×2＝24.

上面的分析过程可以表示如下：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．

3．1.2　等式的性质

掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程．

运用等式的两条性质解方程．

一、温故知新

1．什么是等式？

用等号来表示相等关系的式子叫等式．

例如：

m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2，3x＋1＝5y这样的式子，都是等式．

2．方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？

二、自主学习

1．探索等式性质．

（1）观察课本P81图3.1－1，你能发现什么规律？

从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡；

从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡；

等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．

等式的性质1　等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；

怎样用式子的形式表示这个性质？

注：

运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系．

（2）观察课本图3.1－2，由它你能发现什么规律？

可以发现，如果在平衡的天平的两边都乘以（或除以）同样的量，天平还保持平衡．

等式的性质2　等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等．

怎样用式子的形式表示这个性质？

如果a＝b，那么ac＝bc；

如果a＝b（c≠0），那么

＝

．

注：

运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数．

2．等式的性质应用

例2　利用等式的性质解下列方程：

（1）x＋7＝26；

（2）－5x＝20；（3）－

x－5＝4.

解：

（1）根据等式性质__1__，两边同减7，得x＋7－7＝26－7，x＝19.

（2）分析：

－5x＝20中－5x表示－5乘x，其中－5是式子－5x的系数，如何把方程－5x＝20转化为x＝a的形式呢？

即把－5x的系数变为1，应把方程两边同除以－5．

解：

根据等式的性质__2__，两边都除以－5，得

＝

，于是x＝－4.

（3）分析：

方程－

x－5＝4左边的－5要去掉，同时还要把－

x的系数化为1，如何去掉－5呢？

根据两个互为相反数的和为__0__，所以应在方程两边都加上__5__．

解：

根据等式性质__1__，两边都加上__5__，得－

x－5＋5＝4＋5

化简，得－

x＝9

再根据等式的性质__2__，两边同除以－

（即乘以－3），得－

x·（－3）＝9×（－3），

于是x＝－27．

请同学们自己代入原方程检验．

1．课本P83练习．

1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边；

2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同；

3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0.

3.2　解一元一次方程

（一）

——合并同类项

会列一元一次方程解决实际问题，并会用合并同类项解一元一次方程．

重点：

合并同类项解一元一次方程；

难点：

会列一元一次方程解决实际问题．

一、温故知新

1．等式性质1：

____________________________；

等式性质2：

____________________________．

2．解方程：

（1）x－9＝8；　　　　

（2）3x＋1＝4.

解：

x＝17；　　　　　　解：

x＝1.

二、自主探究

1．问题1：

某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

分析：

设前年这个学校购买了x台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去年购买__2x__台，又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了2×2x（即__4x__）台．

题目中的相等关系为：

前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140，

列方程x＋2x＋4x＝140．

如何解这个方程呢？

根据分配律，x＋2x＋4x＝（1＋2＋4）x＝7x.

这样就可以把含x的项合并为一项，得7x＝140.

下面的框图表示了解这个方程的具体过程：

　　　↓系数化为1

Ｋ

由上可知，前年这个学校购买了20台计算机．

上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax＝b的形式，其中a，b是常数．

2．自己试着完成

例1解方程：

（1）2x－

x＝6－8；

（2）7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.

例2有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？

引导学生观察这列数有什么规律？

（从符号和绝对值两方面）

学生讨论后发现：

后面一个数是前一个数的－3倍．

师生共同分析，完成解答过程：

解：

设这三个相邻数中的第一个数为x，则第2个数为－3x，第3个数为－3×（－3x）＝9x.

根据这三个数的和是－1701，得

x－3x＋9x＝－1701.

合并同类项，得

7x＝－1701.

系数化为1，得

x＝－243

所以－3x＝729，

9x＝－2187.

答：

这三个数是－243，729，－2187.

引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键．

学生讨论、分析：

探索规律，找出相等关系．

如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励．

1．课本P88练习．

2．某班学生共60人，外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：

3：

5，求各小组人数．

思路：

这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：

3：

5，就是说把总数60人分成10份，甲组人数占__2__份，乙组人数占__3__份，丙组人数占__5__份，如果知道每一份是多少，那么甲、乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人．

关键：

本题中相等关系是什么？

三个小组的总人数为60人．

解：

设每一份为x人，则甲组人数为2x人，乙组人数为3x人，丙组为5x人，列方程：

2x＋3x＋5x＝60.

合并，得10x＝60.

系数化为1，得x＝__6__.

所以2x＝__12__，3x＝__18__，5x＝__30__.

答：

甲组12人，乙组18人，丙组30人．

请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2∶3∶5，且这三组人数之和是否等于__60__．

3．三个连续偶数的和是30，求这三个偶数．

设：

第二个偶数为x，则第一个偶数为x－2，第三个偶数为x＋2，列方程，得x－2＋x＋x＋2＝30，3x＝30，x＝10.∴这三个偶数为8，10，12.

1．列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中，找等量关系是关键也是难点，本节课的两个问题的相等关系都是：

“各部分量的和＝总量”，这是一个基本的相等关系；

2．合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是反用分配律，合并时，注意x或－x的系数分别是1，－1，而不是0.

3．2　解一元一次方程

（一）

　——移项

运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程．

重点：

运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程；

难点：

理解“移项法则”的依据，以及寻找问题中的等量关系．

一、温故知新

解方程：

（1）3x－2x＝7；

解：

x＝7；

（2）x＋x＝8.

解：

x＝4.

二、自主探究

1．问题2　把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

分析：

设这个班有x名学生．

（1）每人分3本，那么共分出__3x__本，加上剩余的20本，可知道这批书共有（3x＋20）本．

（2）每人分4本，那么需要分出__4x__本，减去缺的25本，那么这批书共有（4x－25）本．

这批书的总数是一个定值（不变量），表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系，列方程

3x＋20＝4x－25．

本题还可以画示意图，帮助我们分析：

注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：

“表示同一个量的两个不同式子相等”．

分析：

方程3x＋20＝4x－25的两边都含有x的项（3x与4x），也都含有不含字母的常数项（20与－25），怎样才能使它转化为x＝a（常数）的形式呢？

要使方程右边不含x的项，根据等式性质1，两边都减去4x，同样，把方程两边都减去20，方程左边就不含常数项20，即3x＋20－4x－20＝4x－25－4x－20.即3x－4x＝－25－20.

将它与原来方程比较，相当于把原方程左边的＋20变为－20后移到方程右边，把原方程右边的4x变为－4x后移到左边．像上面那样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边，也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边，注意要先变号后移项，别忘了变号．

下面的框图表示了解这个方程的具体过程．

↓合并同类项

↓系数化为1

Ｋ

由此可知，这个班共有45个学生．

2．例3　解方程：

（1）3x＋7＝32－2x；

解：

移项，得3x＋2x＝32－7.

合并同类项，得5x＝25.

系数化为1，得x＝5.

（2）x－3＝

x＋1.（自己动手做一做）

解：

x＝－8.

1．解方程：

（1）6x－7＝4x－5；

解：

x＝1；

（2）

x－6＝

x；

解：

x＝－24；

（3）3x＋5＝4x＋1；

解：

x＝＋4；

（4）9－3y＝5y＋5.

解：

y＝

.

上面解方程中“移项”的作用很重要：

“移项”使方程中含x的项归到方程的同一边（左边），不含x的项即常数项归到方程的另一边（右边），这样就可以通过“合并”把方程转化为x＝a形式．

在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？

解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”．

3．3　解一元一次方程

（二）

　——去括号

1．了解“去括号”是解方程的重要步骤；

2．准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程；

3．列一元一次方程解应用题时，关键是找出条件中的相等关系．

重点：

了解“去括号”是解方程的重要步骤；

难点：

括号前是“－”号的，去括号时，括号内的各项要改变符号，乘数应乘遍括号内的各项．

一、温故知新

1．叙述去括号法则，化简下列各式：

（1）4x＋2（x－2）＝4x＋2x－4；

（2）12－（x－4）＝12－x＋4；

（3）3x－7（x－1）＝3x－7x＋7．

2．解方程：

2x＋5＝5x－7.

解：

移项，得2x－5x＝－7－5

　合并同类项，得－3x＝－12

　系数化为1，得x＝4

前几节学习的是不带括号的一类方程的解法，本节课是学习带有括号的方程的解法，如果去掉括号，就与前面的方程一样了，所以我们要先去括号．

要去括号，就要根据去括号法则，及分配律，特别是当括号前是“－”号，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号．

二、自主学习

1．问题：

你会解方程4x＋2（x－2）＝8吗？

这个方程有什么特点？

解：

去括号，得4x＋2x－4＝8，

移项，得4x＋2x＝8＋4，

合并同类项，得6x＝12，

系数化为1，得x＝2．

例1　解方程：

（1）3x－7（x－1）＝3－2（x＋3）；

（2）2x－（x＋10）＝5x＋2（x－1）．

注意：

1.当括号前是“－”号，去括号时，各项都要变号．

2．括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号．

解：

去括号，得3x－7x＋7＝3－2x－6，

移项，得3x－7x＋2x＝3－6－7，

合并同类项，得－2x＝－10，

系数化为1，得x＝5．

学生学着完成第

（2）题．（指导学生书写正确格式）

例2一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．

（教师引导学生寻找相等关系，列出方程．）

顺水行速＝船速度＋水流速度

逆水行速＝船速度－水流速度

船速度指水不动（静水中）的速度．

一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此可填空：

顺流速度__×__顺流时间__＝__逆流速度__×__逆流时间

解：

设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流行驶的速度为（x＋3）千米/时，逆流行驶的速度为（x－3）千米/时．

根据往返路程相等，得方程2（x＋3）＝2.5（x－3）．

去括号，得2x＋6＝2.5x－7.5.

移项，得2x－2.5x＝－7.5－6.

合并同类项，得－0.5x＝－13.5.

系数化为1，得x＝27.

答：

船在静水中的平均速度为__27__千米/时．

1．解方程：

（1）2（x－2）＝－（x＋3）；

解：

x＝

；

（2）2（x－4）＋2x＝7－（x－1）．

解：

x＝

.

2．课本P95练习．

去括号时要注意什么？

3．3　解一元一次方程

（二）

　——去分母

1．会运用等式的性质2正确去分母解一元一次方程；

2．会运用方程解决实际问题．

重点：

去分母解方程；

难点：

去分母时，不含分母的项会漏乘公分母，及没有对分子加括号．

一、温故知新

1．解方程：

（1）4－3（2－x）＝5x；

解：

x＝－1；

（2）

＝3x－1.

解：

x＝

.

2．求下列各数的最小公倍数：

（3）3，4，18；

解：

36.

在上面的1.

（2）中，可以保留分母，也可以去掉分母，得到整数系数，这样做比较简便．所以若方程中含有分母，则应先去掉分母，这样比较简便．

二、自主学习

1．解方程：

＝

.

解：

两边都乘以__12__，去分母，得4（2x－1）＝3（x－3）．去括号，得8x－4＝3x－9．移项，得8x－3x＝－9＋4．合并同类项，得5x＝－5.系数化为1，得x＝－1．

练习：

解方程：

＝

.

例3　解方程：

（1）3x＋

＝3－

；

（2）

－1＝2＋

.

解：

（1）两边都乘以__6__，去分母，得18x＋3（x－1）＝18－2（2x－1）．去括号．得18x＋3x－3＝18－4x＋2.移项，得18x＋3x＋4x＝18＋2＋3．合并同类项，得25x＝23．系数化为1，得x＝

．

（2）学生按上述格式自己写出解答过程．（老师点拨：

去分母时不要漏乘每一项，去分母后分子是多项式的要用括号括起来．）

1．小明是个“小马虎”，下面是他做的题目，我们看看对不对？

如果不对，请帮他改正．

（1）方程

－

＝0.去分母，得2x－x＋1＝4；（错，应为2x－x＋1＝0.）

（2）方程1＋

＝

.去分母，得1＋2x－2＝x；（错，6＋2x－2＝x.）

（3）方程

－

＝

.去分母，得3x－x－1＝2；

（错，3x－x＋1＝2.）

（4）方程

－

＝x＋1.去分母，得3－2x＝6x＋1.

（错，3－2x＝6x＋6.）

2．课本P98练习．

1．解一元一次方程的一般步骤为：

①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.

2．去分母时要注意什么？

（两点：

去分母时不要漏乘每一项，去分母后分子是多项式的要用括号括起来）

3．4　实际问题与一元一次方程

——产品配套问题与工程问题

1．进一步熟悉一元一次方程的解法；

2．会用一元一次方程解决配套问题和工程问题．

能准确熟练地解一元一次方程，能根据题意设未知数，列出一元一次方程．

一、温故知新

解一元一次方程的一般步骤为：

①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.

二、自主学习

1．老师引导学生学习课本中例1，例2.

列一元一次方程，解决实际问题的一般步骤：

1、审题，弄清题意，找出数量关系；2、设适当的未知数，根据题中的数量关系表示出另一个未知量；3、列方程，根据题意中的另一个数量关系，列出一元一次方程；4、解方程，依据解方程的步骤解出未知数的值.5、作答．

1．课本P101练习1，2题．

2．某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？

解：

设挖土x人，由题意得5x＝3（48－x），解得

x＝18.48－x＝48－18＝30（人）．

答：

挖土18人，运土30人．

3．某工程要按时完工，甲队独做6天可以完工，乙队独做12天可以完工，现由两队合作2天后，余下的由乙队独做，刚好按期完工，问该工程的工期几天？

解：

设工程的工期x天，由题意，得2（

＋

）＋

（x－2）＝1.解得，x＝8.

答：

该工程的工期8天．

1．解配套问题的关键是找出参加配套的两个量之间的比例关系进而列方程求解；

2．解决工程问题的关键：

（1）把总的工作量看作“1”；

（2）工作量＝人均效率×人数×时间；（3）三者之间的关系：

工作总量＝工作效率×工作时间．

1．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁片，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？

解：

设x张做盒身，由题意，得16x∶48（100－x）＝1∶2.解得x＝60.100－x＝100－60＝40（张）．

答：

用60张制盒身，40张制盒底．

2．一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成，现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？

解：

设还需x小时，由题意，得

×7＋（

－

）x＝1.解得x＝12.5.

答：

还需12.5小时．

3．4　实际问题与一元一次方程

　——销售中的盈亏问题

1．使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏的求法；

2．培养学生分析问题，解决实际问题的能力；

3．让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值．

重点：

用列方程的方法解决打折销售问题；

难点：

准确理解打折销售问题中的利润（利润率）、成本、销售价之间的关系．

一、温故知新

随着市场经济的不断发展，商品交易成了人们日常生活中最为普遍的一种社会现象，反应在数学上，商品销售问题也成了一类非常重要的实际问题，在商品销售问题中，首先理解几个概念：

（1）成本价：

有时也称进价，是商家进货时的价格；

（2）标价：

商家在出售时，标注的价格；

（3）售价：

消费者购买时真正花的钱数；

（4）利润：

商品出售后，商家所赚的部分；

（5）利润率：

商品出售后利润与成本的比值；

（6）打折：

商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如：

打8折，就是按标价的80%出售．

其次掌握几个等量关系式：

（1）利润＝售价－进价；

（2）利润率＝

×100%；（3）实际售价＝标价×打折率．

尝试练习：

1．进价为90元的篮球，卖了120元，利润是__30__元，利润率是__33.3%__元；

2．原价100元的商品打9折后价格为__90__元；

3．原价100元的商品提价40%后的价格为__140__元；

4．一件衬衣进价为100元，利润率为20%，这件衬衣售价为__120__元；

5．一台电视机售价为1100元，利润率为10%，则这台电视的进价为__1000__元；

6．一件商品按原定价八五折出售，卖价是17元