第4讲中考压轴题举例.docx
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第4讲中考压轴题举例
第4讲中考压轴题举例
浙江省宁波市镇海区澥浦中学—林庆
一．专题诠释
数学综合性试题常常是中考试题中的把关题和压轴题，在中考中举足轻重，中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。
目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识，方法，能力的综合题。
尤其是创新能力型试题。
综合题是中考数学试题中的精华部分，具有知识容量大，解题方法多，能力要求高，凸显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创造能力等特点。
二．解题策略和解法精讲
中考压轴题常见题型有以下几种：
（1）函数、几何综合型压轴题；
（2）集合操作型压轴题；（3）图标信息型压轴题；（4）方案设计型压轴题；（5）阅读探究型压轴题；（6）立体图形压轴题等。
但从近几年的中考来看，以二次函数为背景的中考压轴题所占的比例最大。
三．考点精讲
例1：
（2011•南京）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
解：
（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．
∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．
（2）①作图略．（根据画角等的方法，画出两个角就行了）
作法如下：
（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC=2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴．∴该三角形三个内角的度数分别为720/7、180/7、360/7．
点评：
本题是以信息迁移的方法构制的课题型试题，以“相似三角形”为灵感，通过“新定义”及“新问题与新定义之间的转化距离”两个维度调控试题。
试题巧妙的将相似三角形，直角三角形，内心和三角形的内角和三角形的核心内容融合起来。
问题设置遵循“由特殊到一般”的规律。
第
（1）小题的门槛低，有利于学生上手，同时又为第
（2）、（3）小题的解答做了思维上的铺垫。
后面两个小题要求学生经过探究，提炼出构造与原三角形相似的三角形只需要构造两对角对应相等这个条件。
本题特别重视学生对新知识的理解和应用能力。
例2、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF停止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为t秒．
（1）求△DEF的边长；
（2）求M点、N点在BA上的移动速度；
（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动，最终运动到F点．设△PMN的面积为S．
①求S与t的函数关系式，当P点在何处时，△PMN的面积最大？
②是否存在这样的t值，使得S＝
？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）当F点与C点重合时，如图1所示：
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=12BC=3；
（2）过E点作EG⊥AB，
∵∠DEF=60°，∠B=30°，
∴∠BME=30°，
∴EB=EM
在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=32x，
∴BM=2BG=3x，
∴M点在BA上的移动速度为3xx=3，
F点作FH⊥F1D1，在Rt△FF1H中，FH=x×cos30°=32x，
点N在BA上的移动速度为32xx=32；
（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=32=32（3-x），
当P点运动到M点时，有2x+x=3，
∴x=1
①当P点在DM之间运动时，过P点作PP1⊥AB，垂足为P1
在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP1=12（3-3x）=32（1-x），
∴y与x的函数关系式为：
y=12×32（3-x）×32（1-x）=338（x2-4x+3）（0≤x≤1），
②当P点在ME之间运动时，过P点作PP2⊥AB，垂足为P2，
在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP1=32（1-x），
∴y与x的函数关系式为：
y=12×32（3-x）×32（1-x），
=-338（x2-4x+3）（1＜x≤32）．
③当P点在EF之间运动时，过P点作PP3⊥AB，垂足为P3，
在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP3=32（x-1），
∴y与x的函数关系式为：
y=12×32（3-x）×32（x-1），
=-338（x2-4x+3）（32≤x≤3），
∴y=-338（x-2）2+338，
∴当x=2时，y最大=338，
而当P点在D点时，y=12×3×3×32=943，
∵439＞338，
∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．
点评：
该题在2006年汉江中考试卷上出现过，在2011年的中考卷上又原题出现，可见该题考察的问题比较典型。
试题很好的结合了等边三角形，直角三角形，函数和最值问题的知识点，结合得非常好，很好的检测了学生的综合能力。
例3、如图，直线y＝－
x＋9与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y＝－
x2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为
（0＜t＜5）秒．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
请说明理由；
（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒
个单位长度的速度向点A运动，运动时间与点P相同．
①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？
②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）在y=-x+9
中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．
∴C（0，9），B（12，0）．
又抛物线经过B，C两点，∴
，解得
∴y=-x2+x+9．
于是令y=0，得-x2+x+9=0，
解得x1=-3，x2=12．∴A（-3，0）．
（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM．
∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°．
∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线．
而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO．
又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB．
∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）．
∴当t=3秒，PM与⊙O′相切．
（3）①过点Q作QD⊥OB于点D．
∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴
又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴
，解得QD=
.
∴S△BPQ=
即
．
S=
．故当
时，S最大，最大值为
．
②存在△NCQ为直角三角形的情形．
∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO．
∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况．
当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，
∴△NCQ∽△CAO．∴
=
．∴
，解得t=
．
当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，
∴△QCN∽△CAO．∴
．∴
=，解得
．
综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为
和
．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，以及圆的切线的有关性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
例4、（2011•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：
y＝
x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0）（x0＞0），点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为10＋2
，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H．设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的条件下，当S＝
时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：
过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？
请证明你的结论．（用图3解答）
（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P0；
（2）由
（1）所求可知该题周长最小即为AC+BC的长，从而求出x0，而解得；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到△MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点．
解：
（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=-6，
所以点A（-6，0）．
同理点C（0，8），
由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，
∴-6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根，
∴-6+x0=
，-6x0=
，
∴a=
，b=
．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P0．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx0+n=0，
∴m=
，n=8．
∴BC的解析式为y=
x+8．
∴当x=-
=
时，y=
+4，
∴P0的坐标为（
，
）；
（2）由
（1）可知△PAC最小即为AC+BC=10
，
+
=10
，解得x0=10或x0=-10（不符舍去），
则点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为
顶点N（2，
）；
（3）如图，作MN⊥BC于点N，
则△OBC∽△NCM，
所以
；即h=
因为MH∥BC，
所以，
解得MH=
BC=
，
S=
MH×h，
=
×
（8-2t）×
，
=
，
因为每秒移动2个单位，
则当t=2时符合范围0＜t＜4，
所以当t为2时S最大为10；
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，
从而得到点M的坐标，
，即
则解得t=2，
则由题意知CEF三点所在圆半径为4，
所以直线CN与CFE所在圆相切．
点评：
本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合。
四．真题演练
1．某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？
并求出这个最值；
（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆．其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当
（1）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？
若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
2．已知：
α，β（α＞β）是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
设s1＝α＋β，s2＝α2＋β2，…，sn＝αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得（α2＋β2）－（α＋β）－2＝0，于是，得s2－s1－2＝0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；
（2）猜想：
当n≥3时，sn，sn-1，sn-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；
（3）根据
（2）中的猜想，求（
）8＋（
）8的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝
（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y＝
（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：
AN∥MB．
4．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
2、小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：
AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：
题目中，AE与DB的大小关系是：
AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”），理由如下．
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋
（a≠0）经过A（－3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？
若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．
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