高二数学圆的一般方程教案 人教版.docx

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高二数学圆的一般方程教案人教版

2019-2020年高二数学圆的一般方程教案人教版

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

（二）能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

（三）学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：

（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；

（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

（解决办法：

（1）要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；

（2）加强这方面题型训练．）

2．难点：

圆的一般方程的特点．

（解决办法：

引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．）

3．疑点：

圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．

（解决办法：

通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．）

三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程

（一）复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？

下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

（二）圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

（1）

（1）当D2+E2-4F＞0时，方程

（1）与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

（3）当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、

法．

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

（三）圆的一般方程的特点

请同学们分析下列问题：

问题：

比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．

（2）

与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，（D2+E2-4F＞0）．（3）

的系数可得出什么结论？

启发学生归纳结论．

当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：

（1）x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；

（2）没有xy项，即B=0；

（3）D2+E2-4AF＞0．

它才表示圆．条件（3）通过将方程同除以A或C配方不难得出．

教师还要强调指出：

（1）条件

（1）、

（2）是二元二次方程

（2）表示圆的必要条件，但不是充分条件；

（2）条件

（1）、

（2）和（3）合起来是二元二次方程

（2）表示圆的充要条件．

（四）应用与举例

同圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．

例1　求下列圆的半径和圆心坐标：

（1）x2+y2-8x+6y=0，

（2）x2+y2+2by=0．

此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：

（1）圆心为（4，-3），半径为5；

（2）圆心为（0，-b），半径为|b|，注意半径不为b．

同时强调：

由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．

例2　求过三点O（0，0）、A（1，1）、B（4，2）的圆的方程．

解：

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：

D=-8，E=6，F=0，

故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．

例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；

（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．

2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：

一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：

例3　求圆心在直线l：

x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

（0，2）．

设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：

（x+3）2+（y-3）2=10．

这时，教师指出：

（1）由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

（2）此题也可以用圆系方程来解：

设所求圆的方程为：

x2+y2-2x+10y-24+λ（x2+y2+2x+2y-8）=0（λ≠-1）

整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．

的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．

此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

（1）由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M（x，y），由求曲线方程的一般步骤可求得；

（2）应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．

（五）小结

1．圆的一般方程的定义及特点；

2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

3．用待定系数法，导出圆的方程．

五、布置作业

1．求下列各圆的一般方程：

（1）过点A（5，1），圆心在点C（8，-3）；

（2）过三点A（-1，5）、B（5，5）、C（6，-2）．

2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．

3．等腰三角形的顶点是A（4，2），底边一个端点是B（3，5），求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．

作业答案：

1．

（1）x2+y2-16x+6y+48=0

（2）x2+y2-4x-2y-20=0

2．x2+y2-x+7y-32=0

3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0（x≠3，x≠5），轨迹是以

4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A（-a，0），C（c，0）（a＞0，c＞0），P（x，y），可得方程为：

（a2-c2）x2+（a2-c2）y2-2ac（a+c）x=0．

当a=c时，则得x=0（y≠0），即y轴去掉原点；当a≠c时，则得（x-

与x轴的两个交点．

六．板书设计

2019-2020年高二数学圆的标准方程教案人教版

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

（二）能力训练点

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

（三）学科渗透点

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

二、教材分析

1．重点：

（1）圆的标准方程的推导步骤；

（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程．

（解决办法：

（1）通过设问，消除难点，并详细讲解；

（2）多多练习、讲解．）

2．难点：

运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

（解决办法：

使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．）

三、活动设计

问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．

四、教学过程

（一）复习提问

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：

具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）．

问题2：

图2-9中哪个点是定点？

哪个点是动点？

动点具有什么性质？

圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：

求曲线的方程的一般步骤是什么？

其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9

（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）|}，简称写点集；

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0，简称列方程；

（4）化方程f（x，y）=0为最简形式，简称化简方程；

（5）证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤

（1）（3）（4）必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

（二）建立圆的标准方程

1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：

这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C（a，b）、半径r，且设圆上任一点M坐标为（x，y）．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得：

（x-a）2+（y-b）2=r2．

（1）

方程

（1）就是圆心是C（a，b）、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

这时，请大家思考下面一个问题．

问题5：

圆的方程形式有什么特点？

当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点（a，b）、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C（0，0）时，方程为x2+y2=r2．

教师指出：

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

（三）圆的标准方程的应用

例1　写出下列各圆的方程：

（请四位同学演板）

（1）圆心在原点，半径是3；

（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）；

（4）圆心在点C（1，3），并且和直线3x-4y-7=0相切．

教师纠错，分别给出正确答案：

（1）x2+y2=9；

（2）（x-3）2+（y-4）2=5；

指出：

要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

例2　说出下列圆的圆心和半径：

（学生回答）

（1）（x-3）2+（y-2）2=5；

（2）（x+4）2+（y+3）2=7；

（3）（x+2）2+y2=4

教师指出：

已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

例3　

（1）已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程；

（2）试判断点M（6，9）、N（3，3）、Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？

解

（1）：

分析一：

从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．

解法一：

（学生口答）

设圆心C（a，b）、半径r，则由C为P1P2的中点得：

又由两点间的距离公式得：

∴所求圆的方程为：

（x-5）2+（y-6）2=10

分析二：

从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．

解法二：

（给出板书）

∵直径上的四周角是直角，

∴对于圆上任一点P（x，y），有PP1⊥PP2．

化简得：

x2+y2-10x-12y+51=0．

即（x-5）2+（y-6）2=10为所求圆的方程．

解

（2）：

（学生阅读课本）

分别计算点到圆心的距离：

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．

这时，教师小结本题：

1．求圆的方程的方法

（1）待定系数法，确定a，b，r；

（2）轨迹法，求曲线方程的一般方法．

2．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

（1）点在圆上d=r；

（2）点在圆外d＞r；（3）点在圆内d＜r．

3．以A（x1，y1）、B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0（证明留作作业）

例4　图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）．

此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：

（1）先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；

（2）用待定系数法求圆的标准方程；

（3）要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．

（四）本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：

点（a，b）、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．求圆的方程的两种方法：

（1）待定系数法；

（2）轨迹法．

五、布置作业

1．求下列条件所决定的圆的方程：

（1）圆心为C（3，-5），并且与直线x-7y+2=0相切；

（2）过点A（3，2），圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．

2．已知：

一个圆的直径端点是A（x1，y1）、B（x2，y2）．

证明：

圆的方程是（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0．

3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是（-4，0）和（4，0），求它的外接圆的方程．

4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．

作业答案：

1．

（1）（x-3）2+（y+5）2=32

2．因为直径的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则圆心和半径分别为

所以圆的方程为

化简得：

x2-（x1+x2）x+x1x2+y2-（y1+y2）y+y1y2=0

即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0

4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：

x2+（y+27.88）2=27.882（-7.2≤y≤0）

六、板书设计