著名机构五升六数学奥数讲义最大公因数.docx
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著名机构五升六数学奥数讲义最大公因数
最大公因数
学生姓名
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授课教师
日期
时段
核心内容
最大公因数的应用
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课型
教学目标
掌握求最大公因数的多种方法和最大公因数的应用
重、难点
辗转相除法求最大公因数和最大公因数的应用
…
课首沟通
和学生一起复习求最大公因数的方法和一般的应用，熟记两大类特殊数的最大公因数的求法第一类：
互质的两个数，最大公因数是这两个数的乘积。
第二类：
有倍数关系的两个数，最大公因数是较小的那个数。
知识导图
1、短除法
2、分解质因数法
3、辗转相除法
4、最大公因数应用
"
导学一：
找最大公因数的方法
知识点讲解1:
短除法
例1.用短除法求65和39的最大公因数
*
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1.用短除法求28和98的最大公因数
>
2.用短除法求30、60、75的最大公因数
知识点讲解2:
分解质因数法
例1.甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（）
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1.甲＝2×2×3，乙＝2×3×3，甲和乙的最大公因数是（）
2.A＝2×2×2×2×3，B＝2×2×3×3×3，A和B的最大公因数是（）
知识点讲解3:
辗转相除法
例1.求2703和1113的最大公因数
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1.用辗转相除法求4811和1981的最大公因数
2.用辗转相除法求21672和11352的最大公因数。
导学二：
最大公因数的应用
知识点讲解1:
平面图形的分割
例1.一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，而且裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
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1.把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，而且边长为整厘米数，至少能裁多少块？
2.将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，而且边长为整数米，小正方形的面积最大是多少？
知识点讲解2:
立体图形的分割
例1.一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
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1.一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2.有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。
如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
知识点讲解3:
线段的分割
例1.有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
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1.三根水管分别长25分米，20分米，15分米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少分米？
知识点讲解4:
变式运用
例1.五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？
每班各可以分几组？
例2.一条道路由甲村经过乙村到丙村。
已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。
现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
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1.有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
2.一条公路由A经B到C。
已知A、B相距300米，B、C相距215米。
现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
知识点讲解5:
最大公因数和最小公倍数的综合运用
例1.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
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1.两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
2.已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。
限时考场模拟：
（20分钟）
1.（2014年希望杯培训题）有504个苹果，630个桃子，462个香蕉，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？
（三种水果均无剩余）
2.（2010年希望杯培训题）1958，2010，2088除以同一个整数时，余数都相同，那么这个除数最大是
3.（2010年大联盟）如果A=60，B=42，那么A、B的最大公因数是（）
4.（2012年大联盟）a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且≠0），如果a和b的最大公因数是21，则m是（）
5.（2014年小联盟）（判断题）若b是a的2倍（a≠0），则a，b的最大公因数为a，最小公倍数为b。
6.（2008年大联盟）a=2×3×5,b=2×3×7,a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（）.
7.[单选题]（2008年大联盟）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的m倍，则m是（）A．abB.aC.bD.1
8.（2009年大联盟）A=2×3×7，B=2×5×7A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
课后作业
1.用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
2.6、8与9的最大公因数是（）；48、12和16的最大公因数是（）；
3.用辗转相除法求568和1065的最大公因数
4.判断
是不是最简分数
5.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？
6.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
7.工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。
已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。
这批工人最多有多少人？
8.有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？
在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
9.有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。
如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
10.已知A和B的最大公因数是31，且A×B＝5766，（A大于B）求A和B。
11.把48米，60米的两根钢管锯成长度一样的钢管且没有剩余。
锯好的钢管每段最长是多少米？
如果每锯一次需要2分钟，一共需要锯多少分钟？
12.一个数除73余1,除98余2,除147余3,这个数最大应是多少？
13.把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？
1、完成本堂课的课后作业
2、本堂课中的错题要写到错题本上，下节课会对错题进行练习
导学一
知识点讲解1:
短除法例题
1.13
解析:
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1.14
解析:
2.15
解析:
知识点讲解2:
分解质因数法例题
1.6
解析:
2×3=6
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1.6
解析:
甲数的质因数是两个2一个3。
乙数的质因数是一个2两个3。
所以它们的公共质因数是一个2一个3.所以它们的最大公因数是2×3=6
2.12
解析:
2×2×3=12
知识点讲解3:
辗转相除法例题
1.159
解析:
首先2703÷1113，商2余477；
然后1113÷477，商2余159；最后477÷159，商3余0，当除数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公因数。
1113＝159×3×2＋159＝159×7，
2703＝159×7×2＋477＝159×7×2＋159×3＝159×17。
又因为7和17是互质数，所以159是2703和1113的最大公因数。
我们把这种求最大公因数的方法叫做辗转相除法。
辗转相除法的优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公因数。
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1.283
解析:
因为4811＝2×1981＋849，1981＝2×849＋283，
849＝3×283。
也就是4811=2×1981＋849=2×2×849＋283×2+849=2×2×3×283＋283×2+3×283=283×17
1981＝2×849＋283=2×3×283＋283=283×7；7和17互质，所以283是4811和1981的最大公因数。
所以，（4811，1981）
＝283。
2.1032
解析:
21672=11352+1032011352=10320+1032
10320=1032×10
所以21672=11352+10320=10320+1032+10320=1032×10+1032+1032×10=21×103211352=10320+1032=1032×10+1032=11×1032
所以（21672，11352）＝1032
导学二
知识点讲解1:
平面图形的分割例题
1.20
解析:
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公因数15作为正方形的边长，所以可以裁
（75÷15）×（60÷15）=20块。
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1.63
解析:
1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米。
（135,105）=15
（135÷15）×（105÷15）=63块2.400
解析:
（80,60）=2020×20=400（平方米）
知识点讲解2:
立体图形的分割例题
1.0.3
解析:
2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。
要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公因数。
现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。
（270，18，15）=3；3厘米=0.3分米
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1.3
解析:
4分米5厘米=45厘米；3分米6厘米=36厘米；2分米4厘米=24厘米
（45,36,24）=32.4
解析:
（60,40,24）=4
知识点讲解3:
线段的分割例题
1.40
解析:
要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公因数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公因数。
（240，200，480）=40。
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1.5
解析:
（25,20,15）=5
知识点讲解4:
变式运用例题
1.6；4；6；7；
解析:
（24,36,42）=62.22.5米
解析:
因为要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，所以360÷2=180米=1800分米675÷2=337.5米=3375分米。
相邻两棵树之间的距离最多是多少米，就是求1800和3375的最大公因数，然后再化单位。
（1800,3375）=225225分米=22.5米
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1.25
解析:
（50,75,100）=252.2.5米
解析:
300÷2=150米=1500分米；215÷2=107.5米=1075分米。
（1500，1075）=25
25分米=2.5米
知识点讲解5:
最大公因数和最小公倍数的综合运用例题
1.36
解析:
设要求的数为x，则有：
所以，x＝4×y28＝4×7所以，28x＝4×y×4×7
又因为4是x和28的最大公因数，（y，7）＝1，所以4×y×7是x和28的最小公倍数。
所以，x×28＝4×252
所以，x＝4×252÷28＝36所以，要求的数是36。
通过例题解答过程，不难发现：
如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：
（a，b）×[a，b]＝a×b.
这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。
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1.24
解析:
6×72÷18=242.28
解析:
4×168÷24=28
限时考场模拟
1.42
解析:
（504,630,462）=422.13
解析:
2088-2010=782088-1958=1302010-1958=52（78,130,52）=13
3.6
解析:
（60,42）=64.7
解析:
3×m=21，m=75.错
解析:
a、b是否是0除外的的自然数，题目没有明确。
所以错。
6.6；210
解析:
2×3=6，6×5×7=2107.A
解析:
互质的两个数的最小公倍数是它们的成绩，最小公因数是1。
8.14；210
解析:
2×7=14,14×3×5=210
课后作业
1.12
解析:
498-450=48，498-414=84，450-414=36，（48，84，36）=122.1；4
解析:
（6,8,9）=1（48,12,16）=43.71
解析:
1065=568+497；568=497+71；497=71×7（568,1065）=71
4.是
解析:
15015=11111+3904；11111=3904×2+3303；3904=3303+601；3303=601×5+298601=298×2+5；298=5×59+3；59=3×18+5；18=5×3+3；5=3+2；3=2+1
5.14
解析:
（42，112,70）=146.15
解析:
（45,30）=157.23
解析:
2100-7=2093,1800-6=1794,1600-13=1587，（2093,1794,1587）=238.42；8；6；5
解析:
（336,252,210）=42，336÷42=8，252÷42=6,210÷42=5
9.4
解析:
（60,40,24）=410.93；62
解析:
5766=31×31×2×3=（31×2）×（3×31）=62×9311.12；14
解析:
（48,60）=12，48÷12=4段，60÷12=5段（4-1）+（5-1）=7次7×2=1412.24
解析:
73-1=72,98-2=96,147-3=144。
（72,96,144）=24
13.4
解析:
37-1=36，38+2=40，（36,40）=4、
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