高中数学第一章三角函数13第一课时诱导公式一学案新人教A版必修406082103.docx

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高中数学第一章三角函数13第一课时诱导公式一学案新人教A版必修406082103

第一课时　诱导公式

（一）

预习课本P23～25，思考并完成以下问题

（1）π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？

（2）诱导公式的内容是什么？

（3）诱导公式1～4有哪些结构特征？

1．诱导公式二

（1）角π＋α与角α的终边关于原点对称．

如图所示．

（2）公式：

sin（π＋α）＝－sin_α，

cos（π＋α）＝－cos_α，

tan（π＋α）＝tan_α.

2．诱导公式三

（1）角－α与角α的终边关于x轴对称．

如图所示．

（2）公式：

sin（－α）＝－sin_α.

cos（－α）＝cos_α.

tan（－α）＝－tan_α.

3．诱导公式四

（1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．

如图所示．

（2）公式：

sin（π－α）＝sin_α.

cos（π－α）＝－cos_α.

tan（π－α）＝－tan_α.

4．α＋k·2π（k∈Z），－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）诱导公式中角α是任意角．（　　）

（2）公式sin（－α）＝－sinα，α是锐角才成立．（　　）

（3）公式tan（π＋α）＝tanα中，α＝不成立．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√

2．已知cos（π＋θ）＝，则cosθ＝（　　）

A．　　　　　　　　B．－

C．D．－

答案：

B

3．若sin（π＋α）＝，则sinα等于（　　）

A．B．－

C．3D．－3

答案：

B

4．已知tanα＝4，则tan（π－α）＝________.

答案：

－4

给角求值问题

[典例]　求下列三角函数值：

（1）sin（－1200°）；

（2）tan945°；（3）cos.

[解]　

（1）sin（－1200°）＝－sin1200°＝－sin（3×360°＋120°）＝－sin120°＝－sin（180°－60°）＝－sin60°＝－.

（2）tan945°＝tan（2×360°＋225°）＝tan225°＝tan（180°＋45°）＝tan45°＝1.

（3）cos＝cos＝cos＝cos＝.

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

[活学活用]

求下列各式的值：

（1）cos（－120°）sin（－150°）＋tan855°；

（2）sin·cos·tan.

解：

（1）原式＝cos120°（－sin150°）＋tan855°

＝－cos（180°－60°）sin（180°－30°）＋tan（135°＋2×360°）

＝cos60°sin30°＋tan135°

＝cos60°sin30°＋tan（180°－45°）

＝cos60°sin30°－tan45°＝×－1＝－.

（2）原式＝sin·cos·tan

＝sin·cos·tan

＝sin·cos·tan

＝··tan

＝

×

×1＝.

化简求值问题

[典例]　化简：

（1）；

（2）.

[解]　

（1）＝＝＝＝1.

（2）原式＝＝＝＝－1.

利用诱导公式一～四化简应注意的问题

（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；

（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

[活学活用]

化简下列各式：

（1）；

（2）（k∈Z）．

解：

（1）原式＝＝＝tanα.

（2）当k＝2n（n∈Z）时，

原式＝

＝＝＝－1；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，

原式＝

＝＝＝－1.

综上，原式＝－1.

给值（或式）求值问题

[典例]　已知cos＝，求cos的值．

[解]　因为cos＝cos

＝－cos＝－.

[一题多变]

1．[变设问]在本例条件下，求：

（1）cos的值；

（2）sin2的值．

解：

（1）cos＝cos＝cos＝.

（2）sin2＝sin2＝sin2

＝1－cos2＝1－

＝.

2．[变条件]若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，则结论如何？

解：

因为α∈，则α－∈.

cos＝－cos＝－cos

＝＝＝.

3．[变条件，变设问]tan＝，求tan.

解：

tan＝－tan

＝－tan＝－.

解决条件求值问题的策略

（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

层级一　学业水平达标

1．sin600°的值是（　　）

A．　　　　　　　　　B．－

C．D．－

解析：

选D　sin600°＝sin（360°＋240°）＝sin240°

＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－.

2．若sin（π＋α）＝－，则sin（4π－α）的值是（　　）

A．　　　　　　　　　B．－

C．－D．

解析：

选B　由题知，sinα＝，所以sin（4π－α）＝－sinα＝－.

3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos（π－θ）的值为（　　）

A．－　　　　　　B．－

C．D．

解析：

选C　∵r＝1，∴cosθ＝－，

∴cos（π－θ）＝－cosθ＝.

4．已知tan＝，则tan＝（　　）

A．B．－

C．D．－

解析：

选B　∵tan＝tan

＝－tan，

∴tan＝－.

5．设tan（5π＋α）＝m，则的值等于（　　）

A．B．

C．－1D．1

解析：

选A　∵tan（5π＋α）＝tan[4π＋（π＋α）]

＝tan（π＋α）＝tanα，∴tanα＝m，

∴原式＝＝＝

＝，故选A.

6．求值：

（1）cos＝______；

（2）tan（－855°）＝______.

解析：

（1）cos＝cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

（2）tan（－855°）＝－tan855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－tan135°＝－tan（180°－45°）＝tan45°＝1.

答案：

（1）－　

（2）1

7．已知sin（π－α）＝log8，且α∈，则tan（2π－α）的值为________．

解析：

sin（π－α）＝sinα＝log8＝－，

又α∈，

所以cosα＝＝，tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tanα＝－＝.

答案：

8．已知cos（508°－α）＝，则cos（212°＋α）＝________.

解析：

由于cos（508°－α）＝cos（360°＋148°－α）＝cos（148°－α）＝，

所以cos（212°＋α）＝cos（360°＋α－148°）＝cos（α－148°）＝cos（148°－α）＝.

答案：

9．求下列各三角函数值：

（1）sin；

（2）cos；（3）tan.

解：

（1）sin＝sin＝sin

＝sin＝－sin＝－.

（2）cos＝cos＝cos＝cos＝.

（3）tan＝tan＝tan＝.

10．若cosα＝，α是第四象限角，

求的值．

解：

由已知cosα＝，α是第四象限角得sinα＝－，

故

＝＝.

层级二　应试能力达标

1．已知cos（π－α）＝－，且α是第一象限角，则sin（－2π－α）的值是（　　）

A．　　　　　　　B．－

C．±D．

解析：

选B　∵cos（π－α）＝－cosα，∴cosα＝.

∵α是第一象限角，∴sinα>0，

∴sinα＝＝＝.

∴sin（－2π－α）＝sin（－α）＝－sinα＝－.

2．设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β∈R，若f（2015）＝5，则f（2016）等于（　　）

A．4B．3

C．－5D．5

解析：

选C　∵f（2015）＝asin（2015π＋α）＋bcos（2015π＋β）＝－asinα－bcosβ＝5，∴f（2016）＝asin（2016π＋α）＋bcos（2016π＋β）＝asinα＋bcosβ＝－5.

3．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是（　　）

A．sinα＝sinβB．cosα＝cosβ

C．tanα＝tanβD．sinα＝－sinβ

解析：

选A　法一：

∵α，β的终边关于y轴对称，

∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，

∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，

∴sinα＝sinβ.

法二：

设角α终边上一点P（x，y），则点P关于y轴对称的点为P′（－x，y），且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sinα＝sinβ＝.

4．下列三角函数式：

①sin；②cos；③sin；

④cos；⑤sin.

其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是（　　）

A．①②B．①③④

C．②③⑤D．①③⑤

解析：

选C　①中sin＝sin≠sin；②中，cos＝cos＝sin；③中，sin＝sin；④中，cos＝cos＝－cos≠sin；⑤中，sin＝sin＝－sin＝sin.

5．化简：

的值是________．

解析：

原式＝

＝＝

＝＝＝－2.

答案：

－2

6．已知f（x）＝则f＋f的值为________．

解析：

因为f＝sin

＝sin＝sin＝；

f＝f－1＝f－2

＝sin－2＝－－2＝－.

所以f＋f＝－2.

答案：

－2

7．计算与化简

（1）；

（2）sin420°cos330°＋sin（－690°）cos（－660°）．

解：

（1）原式＝＝＝tanθ.

（2）原式＝sin（360°＋60°）cos（360°－30°）＋sin（－2×360°＋30°）cos（－2×360°＋60°）

＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝1.

8．已知＝3＋2，求：

[cos2（π－θ）＋sin（π＋θ）·cos（π－θ）＋2sin2（θ－π）]·的值．

解：

由＝3＋2，

得（4＋2）tanθ＝2＋2，

所以tanθ＝＝，

故[cos2（π－θ）＋sin（π＋θ）·cos（π－θ）＋2sin2（θ－π）]·

＝（cos2θ＋sinθcosθ＋2sin2θ）·

＝1＋tanθ＋2tan2θ

＝1＋＋2×2＝2＋.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

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  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。