高中数学必修复习题必修15解答题.docx
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高中数学必修复习题必修15解答题
高中数学必修复习题【必修1-5】解答题
1.已知圆C:
x2+y2-2x+4my+4m2=0,圆C1:
x2+y2=25,以及直线l:
3x-4y-15=0.
（1）求圆C1:
x2+y2=25被直线l截得的弦长;
（2）当m为何值时,圆C与圆C1的公共弦平行于直线l;
（3）是否存在m,使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2,0）距离等于弦AB长度的一半?
若存在,求圆C的方程;若不存在,请说明理由.
解:
（1）因为圆C1:
x2+y2=25的圆心O（0,0）,半径r=5,
所以,圆心O到直线l:
3x-4y-15=0的距离
d=
=3,
由勾股定理可知,
圆C1:
x2+y2=25被直线l截得的弦长为2
=2
=8.
（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x-4my-4m2-25=0,
因为该公共弦平行于直线l,
令
=
解得m=
经检验m=
符合题意,故所求m=
.
（3）假设这样实数m存在.
设弦AB中点为M,由已知得|AB|=2|PM|,即|AM|=|BM|=|PM|
所以点P（2,0）在以弦AB为直径的圆上.
设以弦AB为直径的圆方程为x2+y2-2x+4my+4m2+λ（3x-4y-15）=0,
则
⇒
消去λ得100m2-144m+216=0,25m2-36m+54=0,
因为Δ=362-4×25×54=36（36-25×6）<0,
所以方程25m2-36m+54=0无实数根,
所以,假设不存在,即这样的圆不存在.
2.已知直线l:
kx-y+1-2k=0（k∈R）.
（1）证明:
直线l过定点;
（2）若直线l交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,且|OA|=|OB|,求k的值.
（1）证明:
法一 直线l的方程可化为y-1=k（x-2）,
故无论k取何值,直线l总过定点（2,1）.
法二 设直线过定点（x0,y0）,则kx0-y0+1-2k=0对任意k∈R恒成立,即（x0-2）k-y0+1=0恒成立,
所以
解得x0=2,y0=1,故直线l总过定点（2,1）.
（2）解:
因直线l的方程为y=kx-2k+1,
则直线l在y轴上的截距为1-2k,在x轴上的截距为2-
依题意1-2k=2-
>0,解得k=-1或k=
（经检验,不合题意）
所以所求k=-1.
3.当m为何值时,直线（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-1.
（1）倾斜角为45°.
（2）在x轴上的截距为1.
解:
（1）倾斜角为45°,则斜率为1.
所以-
=1,解得m=-1,m=1（舍去）,
直线方程为2x-2y-5=0符合题意,所以m=-1.
（2）当y=0时,x=
=1,
解得m=-
或m=2,
当m=-
m=2时都符合题意,
所以m=-
或m=2.
4.（本小题满分10分）已知直线l1:
ax+by+1=0,（a,b不同时为0）,l2:
（a-2）x+y+a=0,
（1）若b=0且l1⊥l2,求实数a的值;
（2）当b=3且l1∥l2时,求直线l1与l2之间的距离.
解:
（1）若b=0,则直线l1:
ax+1=0（a≠0）.又因为l1⊥l2,所以可得a（a-2）=0,所以a=2,a=0（舍去）,所以a=2.
（2）当b=3时,l1:
ax+3y+1=0,当l1∥l2时,有
解得a=3.
此时,l1的方程为3x+3y+1=0,
l2的方程为x+y+3=0即3x+3y+9=0,
则它们之间的距离为d=
=
.
5.（本小题满分10分）
△ABC中,已知A（-1,2）,B（3,4）,C（-2,5）
（1）求BC边上的高AH所在的直线方程;
（2）求△ABC的面积.
解:
（1）由题意得kBC=
=-
所以kAH=5,
所以AH所在的直线方程为y-2=5（x+1）,
即5x-y+7=0.
（2）BC所在的直线方程为y-4=-
（x-3）,
即x+5y-23=0,
点A到直线BC的距离为
d=
=
.
又|BC|=
=
所以S△ABC=
×|BC|×d=
×
×
=7.
6.点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值.
解:
把圆的方程都化成标准形式,得
（x+3）2+（y-1）2=9,
（x+1）2+（y+2）2=4.
如图所示,C1的坐标是（-3,1）,半径长是3;C2的坐标是（-1,-2）,半径长是2.
所以,|C1C2|=
=
.
因此,|MN|的最大值是
+5.
7.（本小题满分10分）（2015安康旬阳一中月考）如图所示,已知四棱锥P
ABCD的底面是边长为4的正方形,PD⊥平面ABCD,PD=4
M为PB的中点,N在线段AB上,求当|MN|最短时,N点所处的位置.
解:
建立如图所示的空间直角坐标系,
则A（4,0,0）,B（4,4,0）,
P（0,0,4
）.
因为M点为PB的中点,
所以M（2,2,2
）.
又N在线段AB上,所以N（4,b,0）（0≤b≤4）.
所以|MN|=
.
所以当b=2时|MN|min=
=4.
此时N为AB的中点,
所以当N为AB的中点时|MN|最短.
8.（本小题满分10分）
已知△ABC的顶点A（0,1）,AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标;
（2）若圆M经过A、B且与直线x-y+3=0相切于点P（-3,0）,求圆M的方程.
解:
（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,所以,AC:
x=0,
又CD:
2x-2y-1=0,
所以,C（0,-
）,
设B（b,0）,
则AB的中点D（
）,
代入方程2x-2y-1=0,
解得b=2,
所以B（2,0）.
（2）由A（0,1）,B（2,0）可得,圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,①
由与x-y+3=0相切,切点为（-3,0）可得,圆心所在直线方程为y+x+3=0,②
①②联立可得,M（-
-
）,
半径|MA|=
=
所以所求圆方程为x2+y2+x+5y-6=0.
9.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2:
（x-4）2+（y-5）2=4.
（1）若直线l过点A（4,0）,且被圆C1截得的弦长为2
求直线l的
方程;
（2）设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
解:
（1）由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k（x-4）,
即kx-y-4k=0,
由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离
d=
=1,
结合点到直线距离公式,得
=1,
化简得24k2+7k=0,k=0,或k=-
所求直线l的方程为y=0或y=-
（x-4）,
即y=0或7x+24y-28=0.
（2）设点P坐标为（m,n）,直线l1、l2的方程分别为
y-n=k（x-m）,y-n=-
（x-m）,
即kx-y+n-km=0,-
x-y+n+
m=0,
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.
由垂径定理,得圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.
故有
=
化简得（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5.因为关于k的方程有无穷多解,有
或
10.（本小题满分10分）已知直线l经过点P（－2,5）且斜率为－
，
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
[解析]
（1）直线l的方程为：
y－5＝－
（x＋2）整理得
3x＋4y－14＝0.
（2）设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，
d＝
＝3，
解得n＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
11.（本小题满分12分）求经过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线方程.
[解析] 解法一：
设所求直线方程为3x－2y＋1＋λ（x＋3y＋4）＝0，即（3＋λ）x＋（3λ－2）y＋（1＋4λ）＝0.
由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得
－
·（－
）＝－1.
解得λ＝
.
故所求直线方程是3x－y＋2＝0.
解法二：
设所求直线方程为3x－y＋m＝0.
由
解得
即两已知直线的交点为（－1，－1）．
又3x－y＋m＝0过点（－1，－1），
故－3＋1＋m＝0，m＝2.
故所求直线方程为3x－y＋2＝0.
12.（本小题满分12分）已知直线l过点P（3,1），且被两平行直线l1：
x＋y＋1＝0和l2：
x＋y＋6＝0截得的线段的长为5，求直线l的方程.
[解析] 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，－4）和B′（3，－9），截得线段A′B′的长为|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k（x－3）＋1，解方程组
，
得A
，解方程组
，
得B
.
∵|AB|＝5，
∴
2＋
2＝25，
解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.
综上可知，所求直线的方程为x＝3或y＝1.
13．（本小题满分12分）△ABC中，A（0,1），AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
（1）求直线AB的方程；
（2）求直线BC的方程；
（3）求△BDE的面积．
[解析]
（1）由已知得直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y－1＝2（x－0），
即2x－y＋1＝0.
（2）由
，得
.
即直线AB与直线BE的交点为B（
，2）．
设C（m，n），
则由已知条件得
，
解得
，∴C（2,1）．
∴BC边所在直线的方程为
＝
，即2x＋3y－7＝0.
（3）∵E是线段AC的中点，∴E（1,1）．
∴|BE|＝
＝
，
由
，得
.
∴D（
，
），
∴D到BE的距离为d＝
＝
，
∴S△BDE＝
·d·|BE|＝
.
14.．（本小题满分12分）直线过点P（
，2）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
（1）△AOB的周长为12；
（2）△AOB的面积为6.
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] 设直线方程为
＋
＝1（a>0，b>0），
若满足条件
（1），则a＋b＋
＝12，①
又∵直线过点P（
，2），∵
＋
＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得
，或
.
∴所求直线的方程为
＋
＝1或
＋
＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件
（2），则ab＝12，③
由题意得，
＋
＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得
，或
.
∴所求直线的方程为
＋
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