中学生标准学术能力诊断性测试届高三测试数学文科试题含答案解析.docx
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中学生标准学术能力诊断性测试届高三测试数学文科试题含答案解析
中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三3月测试数学文科试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．函数
的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．
和2B．
和
C．
和2D．
和
4．若实数x、y满足约束条件
，则
的最大值为（ ）
A．1B．3C．4D．6
5．已知
、
为椭圆
的左、右焦点，M为
上的点，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．2C．
D．4
6．科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时所释放出的能量，则里氏震级r可定义为
．若
，则相应的震级为（ ）（已知：
lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
A．5.8B．5.9C．6.0D．6.1
7．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，且
，则
（ ）
A．2B．
C．
D．4
9．在复平面xOy内，复数
，
所对应的点分别为
，
，给出下列四个式子：
①
；②
；③
；④
．其中恒成立的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．若无穷等差数列
的首项
，公差
，
的前
项和为
，则以下结论中一定正确的是（ ）
A．
单调递增B．
单调递减C．
有最小值D．
有最大值
11．已知直线a、b、l和平面
、
，
，
，
，且
．对于以下命题，下列判断正确的是（ ）
①若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交；
②若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直．
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题D．①是真命题，②是真命题
12．已知定义域为R的偶函数
和奇函数
满足：
．若存在实数a，使得关于x的不等式
在区间
上恒成立，则正整数n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知一组数据
、
、
、
的中位数为
，则该组数据的方差为_______．
14．学号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九位同学参加甲、乙两项公益活动，其中甲组四人，乙组五人，则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率为_______．
15．已知抛物线
（
）的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线
相交于A、B两点，若
，
，则
_______．
16．已知函数
．若函数
在
上存在两个不相等的零点，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题
17．已知数列
的前n项和为
，
，且对任意
，都有
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n项和
．
18．"双减"实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每周的自主学习时间（单位：
小时），并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围是
，样本数据分组为
，
，
，
，
．根据直方图，计算下列问题．
（1）求a的值及自主学习时间在
内的学生人数；
（2）从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在
内为事件A，所抽取学生自主学习时间在
内为事件B，判断事件A和B是否互相独立，并说明理由．
19．在三棱锥
中，
，
，
，
，
．
（1）求三棱锥
的体积；
（2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值．
20．已知双曲线
（
，
）的左、右顶点分别为
、
，离心率为2，过点
斜率不为0的直线l与
交于P、Q两点．
（1）求双曲线
的渐近线方程；
（2）记直线
、
的斜率分别为
、
，求证：
为定值．
21．已知函数
．
（1）若曲线
在
处的切线经过点
，求实数a的值；
（2）若对任意
，都有
（e为自然对数的底），求证：
．
22．已知函数
（
）．
（1）若
，求证：
；
（2）若对于任意
，都有
，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式，即可求出集合
，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：
由
，解得
，所以
，又
，所以
；
故选：
D
2．C
【解析】
【分析】
由全称命题的否定：
将任意改为存在并否定原结论，即可写出命题的否定形式.
【详解】
由全称命题的否定为特称命题，
所以原命题的否定为：
，
.
故选：
C
3．A
【解析】
【分析】
利用利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后可求出函数的最小正周期和最大值
【详解】
，
所以函数的最小正周期为
，最大值为2，
故选：
A
4．C
【解析】
【分析】
首先画出约束条件对应的可行域，再根据目标式的几何意义判断其对应直线所过的点，即可求其最大值.
【详解】
由题设，可得如下线性可行域，
表示直线
在平移过程中与y轴的截距，
所以要使目标式的值最大，则
需过直线
与直线
的交点
，则
.
故选：
C
5．A
【解析】
【分析】
由于
为定值，所以当点
到
的距离最大时，
面积取得最大值，即当
与短轴的一个端点重合时，
面积的最大
【详解】
由
，得
，
所以
，
由椭圆的性质可知当
与短轴的一个端点重合时，
面积的最大，
所以
面积的最大值为
，
故选：
A
6．B
【解析】
【分析】
根据解析式算出答案即可.
【详解】
当
时，
故选：
B
7．B
【解析】
【分析】
分别计算圆柱和圆锥的表面积，再减去重合部分的面积即可.
【详解】
圆柱表面积
，圆锥母线长为
，圆锥表面积
，
重合部分为2个圆，故该几何体的表面积为
.
故选：
B.
8．A
【解析】
【分析】
由题设易知
为平行四边形，结合已知条件判断
为菱形，最后应用向量坐标运算求模长，即可得
.
【详解】
由题设，
且
，
所以
为平行四边形，
又
，且
均为单位向量，
所以
，则
平分
，
由
，故
，可得
，又
，则
.
综上，四边形
为菱形，则
.
故选：
A
9．B
【解析】
【分析】
设
，
，则
，
，利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④．
【详解】
设
，
，则
，
，
对于①，
，
，
，故①错误；
对于②，
，
，
，
，故②正确；
对于③，
，
，
，故③正确；
对于④，
，
，
，
，
，故④错误．
故正确的为：
②③，共2个.
故选：
B.
10．C
【解析】
【分析】
Sn＝na1
d
n2
n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．
【详解】
解：
Sn＝na1
d
n2
n，
∵
0，对称轴
∴Sn有最小值．
故选：
C．
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．D
【解析】
【分析】
①利用两条直线的位置关系及面面垂直的性质定理进行判断；②利用线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理进行判断.
【详解】
对于①：
倘若a、b都不与交线相交则只有一种可能即a、b均平行于交线，所以当a、b异面时，必有一条直线与交线相交；
对于②：
根据面面垂直的性质定理，若a、b垂直，则至少有
，或者
，故a、b中至少有一条线垂直于交线.
故选：
D
12．B
【解析】
【分析】
根据奇偶性列方程组求得
，
，利用它们的单调性确定在
上的值域，再由不等式有
或
求a的范围，进而求出正整数n的范围.
【详解】
由题设，
，又
，
联立可得：
，
，
又
当且仅当
时等号成立，即
在
上递减，在
上递增，
所以，在
上
，
而
在
上递增，故
，
若
，则
且n为正整数，只需
即可.
若
，则
且n为正整数，不成立；
综上，正整数n的最小值为2.
故选：
B
【点睛】
关键点点睛：
利用奇偶性列方程组求
、
解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围.
13．
【解析】
【分析】
利用中位数的定义可求得
的值，再利用方差公式可求得结果.
【详解】
因为数据
、
、
、
的中位数为
，则
.
若
，则这组数据的中位数为
，不合乎题意，
所以，
，则这组数据的中位数为
，可得
，
所以，这组数据的平均数为
，
方差为
.
故答案为：
.
14．
【解析】
【分析】
讨论1、9分别在甲或乙组，应用组合数求对应的分组方法数，最后由古典概率的求法求概率即可.
【详解】
若1、9在甲组，则分组方法有
种；若1、9在乙组，则分组方法有
种；
而任意分组的方法有
种，
所以1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率为
.
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义求解.
【详解】
如图所示：
因为
，
，
所以
，
则
，
因为直线l的斜率为1，
所以
，
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
函数
在
上存在2个不同零点等价于
与
在
上有两个不同的交点，结合图像可以求得
的范围.
【详解】
若
在
上有两个不同的零点，即
在
上存在2个不同的交点，
（1）当
时，如图1，
仅有1个交点，不满足题意；
（2）当
且
在点P左侧时，如图2，仅有1个交点，不满足题意；
（3）当
且
在
处的切线斜
时，如图3，仅有一个交点，令
，
，所以当
时，
，即
，求得
，不满足题意；
（4）当
且
在
处的切线斜率
时，如图4，方程即可能存在2个交点，满足题意，且由（3）知
，此时
，即
；
综上可得
的取值范围为
故答案为：
【点睛】
此题利用函数与方程思想以及数形结合思想解题，此题较为容易忽略的一点是，题干中是存在性命题，也就是说我们在讨论两个图像相对位置的时候，只要保证图像存在2个交点即可，也就是说当
是，该题就已经具备了满足题意的条件.
17．
（1）
（
）；
（2）
（
）.
【解析】
【分析】
（1）利用
与
的关系可得
，即得；
（2）利用错位相减法即得.
（1）
因为
，所以
，
因为
，所以
，
当
时，
，
，
两式相减得，
，
因为
，
所以对任意
，都有
，
所以
（
）．
（2）
由题可得
，
∴
，
，
两式相减得，
，
所以
（
）．
18．
（1）a＝0.25，50
（2）事件A与B互相独立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的面积和为1求出
的值，然后可得答案；
（2）计算出
的值，然后可判断.
（1）
因为组距为1，所以0.4＋a＋0.15＋0.1＋0.1＝1，得a＝0.25
在
的频率为0.25，所以在
内的人数为0.25×200＝50人
（2）
在区间
内的频率为0.15＋0.25＋0.4＝0.8，所以
；
在区间
内的频率为0.4＋0.1＝0.5，所以
；
在区间
内的频率为0.4，所以
，
因为
，所以事件A与B互相独立．
19．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明出
面ADC，分别求出
，即可求出体积；
（2）作BE平行且等于AC，则
（或其补角）是异面直线BD和AC所成的角，在三角形
解三角形，求出
的余弦值即可.
（1）
因为
，
，
面ADC,
面ADC.
所以
面ADC.
所以三棱锥
的体积
.
因为
，所以
得
.
即三棱锥
的体积为
.
（2）
取AC中点H，因为
，所以
，由
（1）知，
.
因为
面ABC,
面ABC.
所以
底面ABC，
如图，作BE平行且等于AC，所以ACBE是平行四边形，
（或其补角）是异面直线BD和AC所成的角，
因为
，所以
，因为
，
，
所以
，同理
.
因为
，
，
，
所以
.
在
中，
，
，
所以
.
即异面直线AC与BD所成角的余弦值为
.
20．
（1）
；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.
（2）讨论l的斜率：
当
不存在求P、Q的坐标，进而可得
；当
存在，设
，
，l为
，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证
是否成立即可.
（1）
设双曲线
的半焦距为c，
由题设，
，
，
双曲线
的方程为
，故渐近线方程为
．
（2）
当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为
和
，
所以，当
时有
；当
时有
，此时
，
当l的斜率k存在时，设
，
，l为
，
将直线l代入双曲线方程得
，
所以
，
，
因为
，
所以
，即
，
综上，
为定值，得证．
21．
（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出在
处的切线方程，然后再将
代入切线方程中可求出实数a的值，
（2）由
，设
，然后利用导数求得
，再构造函数
，利用导数求出其单调性，结合
，可证得
，
（1）
，所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
因为切线经过点
，所以
解得
．
（2）
设
，则
，
设
，则
，
因为
在
上递增，
所以当
时，
，当
时，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，
令
，则
所以
在
递减，
因为
，
所以
，所以
．
【点睛】
关键点点睛：
此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数
，利用导数求得
，再利用函数
的单调性结合
可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题
22．
（1）证明见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）法一：
由绝对值的几何意义及二次函数的性质即可证结论；法二：
讨论
、
分别求
的范围，即可证结论.
（2）将问题化为
在
上恒成立，即可求参数a的范围.
（1）
法一：
，而
，
所以
．
法二：
当
时，
，
当
时，
，
综上，
．
（2）
当
时，
，
由
，得
，
设
，
，
对任意
有
恒成立，所以
，
因为在
上
，
，
所以
．
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