高考二轮复习考点透析6三角函数与解三角形.docx
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高考二轮复习考点透析6三角函数与解三角形
2009高考二轮复习考点透析6--三角函数与解三角形
考点:
1.三角函数的图象与性质以及图象变换；2.三角公式变换及计算；
3.三角形中的边角关系;4.解三角形及三角函数的应用.
一.三角函数的图象与性质以及图象变换
1．给定性质:
①最小正周期为π；②图象关于直线x=
对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（）．
A．y=sin（
+
）B．y=sin（2x+
）C．y=sin|x|D．y=sin（2x－
）
2.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知函数
的定义域为
，值域为[－5，1]，则常数a、b的值分别是．
4．函数
的单调增区间为
A
B．
C
D
5.函数
的图象为C：
①图象
关于直线
对称;②函数
在区间
内是增函数;③由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
.
以上三个论断中正确论断的个数为（A）0（B）1C）2（D）3
6．若
是偶函数，则a=.
例1.已知函数f（x）＝
为偶函数，且函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（
）的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.
例2.已知函数
，
．（I）求
的最大值和最小值；
（II）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
例3.如图，函数
的图象与
轴交于点
，且在该点处切线的斜率为
．
（1）求
和
的值；
（2）已知点
，点
是该函数图象上一点，点
是
的中点，当
，
时，求
的值．
例4．已知函数
（Ⅰ）将f（x）写成
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.
二.三角公式变换及计算；
7.（山东卷5）已知cos（α-
）+sinα=
（A）-
（B）
（C）-
（D）
8.（海南）
=（）A.
B.
C.2D.
9．（海南）若
，则
的值为（）Ａ．
Ｂ．
Ｃ
Ｄ．
10．（江苏）若
，
，则
_____
11.已知方程
（
<1）的两个根为
且
，则
的值为（）A
B.-2C
D
或-2
12.若
，则
＝_________。
13．已知
为锐角，且
.则求
的值为
例5.（江苏卷15）．如图，在平面直角坐标系
中，以
轴为始边做两个锐角
，它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为
．
（Ⅰ）求tan（
）的值；（Ⅱ）求
的值．
例6.（广东卷16）．已知函数
，
的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求
的解析式；
（2）已知
，且
，
，求
的值．
例7.设
的周期
，最大值
，
（1）求
、
、
的值；
（2）
.
例8.已知
.（I）求sinx－cosx的值.（Ⅱ）
的值.
三.三角形中的边角关系;
14.
中，若
则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
16.在
中，已知
，
，则三角形的形状是.
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
17.（山东卷15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（
），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝.
18.在
中，
，这个三角形的面积为
，则
外接圆的直径是_____。
例9．设
的内角
所对的边长分别为
，且
．
（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
的最大值．
例10.（Ⅰ）在
中，已知
（1）求证：
成等差数列；
（2）求角
的取值范围.
例11．在△ABC中，已知
边上的中线BD=
，求sinA的值.
例12．已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
四.解三角形及三角函数的应用.
21题
19．如图，从山顶
望地面上
两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知
=100米，点
位于
上，则山高
等于 （ ）A．100米 B．
米 C．
米 D．
米
23题
21．如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得
∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（）.
（A）20
（B）20
（C）40
（D）20
22．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6
，下底长为10
，高为
，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为 （ ）A．
B．
C．
D．
23.如图，一渔船上的渔民在
处看见灯塔
在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达
处，在
处看见灯塔
在北偏东15°方向，此时灯塔
与渔船的距离是（ ）A．
海里 B．
海里 C．7海里 D．14海里
24.如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点
到水面的距离
（米）与时间
（秒）满足函数关系
，则有（）
A、
B、
C、
D、
24题26题27题
26.隔河可看到两目标
，但不能到达，在岸边选取相距
km的
两点，并测得
，
，
，
，（
在同一平面内），则两目标
之间的距离=。
27.如图，
是一块边长为100米的正方形地皮，其中
是一半径为80米的扇形小山，
是弧
上一点，其余部分都是平地。
现一开发商想在平地上建造一个有边落在
与
上的长方形停车场
。
求长方形停车场面积的最大值与最小值。
28．设
是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中
.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观观察，函数
的图象可以近似地看成函数
的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
例13.某观测站C在城A的南20˚西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
例14．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A，B等距的O点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设
（rad），将
表示成
的函数；
（ii）设
（km），将
表示成
的函数；
（2）请你选用
（1）中的一个函数关系式，确定污水处
理厂O的位置，使三条污水管道的总长度最短．
例15、已知：
定义在
上的减函数
，使得
对一切实数
均成立，求实数
的范围.
考点透析6三角函数与解三角形
考点:
1.三角函数的图象与性质以及图象变换；2.三角公式变换及计算；
3.三角形中的边角关系;4.解三角形及三角函数的应用.
一.三角函数的图象与性质以及图象变换
1．给定性质:
①最小正周期为π；②图象关于直线x=
对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（）．A．y=sin（
+
）B．y=sin（2x+
）C．y=sin|x|D．y=sin（2x－
）
2.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：
从图象看出，
T=
，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=
向左平移了
个单位，即
=
，选D.
3．已知函数
的定义域为
，值域为[－5，1]，则常数a、b的值分别是．
解：
∵
，
．
∵
，∴
，∴
．
当a>0时，b≤f（x）≤3a+b，
∴
解得
当a<0时，3a+b≤f（x）≤b．
∴
解得
故a、b的值为
或
说明：
三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．
4．函数
的单调增区间为
A．
B．
C．
D．
5.函数
的图象为C：
①图象
关于直线
对称;②函数
在区间
内是增函数;③由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
.
以上三个论断中正确论断的个数为（A）0（B）1C）2（D）3
解答C①图象
关于直线
对称，当k=1时，图象C关于
对称；①正确；②x∈
时，
∈（－
，
），∴函数
在区间
内是增函数；②正确；③由
的图象向右平移
个单位长度可以得到
，得不到图象，③错误；∴正确的结论有2个，选C.
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.
6．若
是偶函数，则a=.
解析：
是偶函数，取a=－3，可得
为偶函数。
例1.已知函数f（x）＝
为偶函数，且函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（
）的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.
解：
（Ⅰ）f（x）＝
＝
＝sin（
-
）
因为 f（x）为偶函数，所以 对x∈R,f（-x）=f（x）恒成立，
因此 sin（-
-
）＝sin（
-
）.
即-sin
cos（
-
）+cos
sin（
-
）=sin
cos（
-
）+cos
sin（
-
）,
整理得 sin
cos（
-
）=0.因为
＞0，且x∈R,所以 cos（
-
）＝0.
又因为 0＜
＜π，故
-
＝
.所以 f（x）＝2sin（
+
）=2cos
.
由题意得
故 f（x）=2cos2x.因为
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个
个单位后，得到
的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到
的图象.
当 2kπ≤
≤2kπ+π（k∈Z）,
即 4kπ＋≤
≤x≤4kπ+
（k∈Z）时，g（x）单调递减.
因此g（x）的单调递减区间为
（k∈Z）
例2.已知函数
，
．（I）求
的最大值和最小值；
（II）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取
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