微分方程数值解法李荣华答案.docx

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微分方程数值解法李荣华答案

【篇一：

高阶常微分方程的数值求解】

t>谷照升

（长春工程学院理学院，长春，130012）

摘要对经典初始条件的高阶常微分方程，给出其数值求解方法。

该方法比runge-kutta法具有更好的适应性、易用性、计算速度和可控制的更高精度。

关键词常微分方程；数值解；算法

中图分类号:

o241.81文献标识码:

1引言

求解复杂的1阶常微分方程，通常只能采用数值解法。

数值解法一般又以runge-kutta法为主。

对高阶常微分方程，则通常是将其转化为1阶常微分方程组，再用runge-kutta法求解[1,2]。

但这种通用性方法，在精度、软件计算的适应度方面，常常不够理想，甚至得不到结果。

针对不同的广普性方程类型，可以建立更具针对性的计算方法。

例如，针对三类边值条件和特定形式的方程，已经有有相应的差分法和有限元法。

每一种更具针对性的方法，都有其更高的精度和更为健壮的算法，当然也存在其必然的局限性。

本文对如下形式的2阶常微分方程

d2ydy?

a（x）?

b（x）y?

f（x）?

2dxdx?

x∈[a,b]

（1）?

y（a）?

ya?

（a）?

给出了完整、方便、高效的单步法数值求解算法，并将其推广到任意高阶问题的求解。

2算法

思路：

将[a,b]分割为a=x0x1…xn=b，步长?

xi?

1。

从i=1开始，利用数值积分公式，通过[xi-1,xi]上的数值积分，先求y?

（xi），再求出y?

（xi），最后求y（xi）。

依次取i=2,3,…,n，得到各点y?

（xi）、y?

（xi）、y（xi）的近似值。

根据数值积分的算法不同，主要有两种不同的计算公式。

2.1、矩形数值积分算法

矩形算法形式简单，精度偏低。

基于不同的积分形式，又可以得到3种不同的计算公式，其精1基金项目：

吉林省自然科学基金项目（201215115）

度无显著差别。

此处仅给出与2.2梯形算法最为接近的一种。

利用y?

（xi）?

（xi?

1）?

xi?

1y?

（x）dx?

（xi）?

y（xi）?

y（xi?

1）?

在xi点得到xixi?

1y?

（x）dx?

（xi）?

xi?

（xi?

1）

（2）

2y（xi）?

（xi）?

xi?

y（xi?

1）?

（xi）?

xi?

（xi?

1）?

xi?

y（xi?

1）（3）

这里i?

1,2,...,n。

将

（2）、（3）代入

（1）,在xi点得到

2y?

（xi）?

a（xi）[y?

（xi）?

xi?

（xi?

1）]?

b（xi）[y?

（xi）?

xi?

（xi?

1）?

xi?

y（xi?

1）]?

f（xi）?

xi?

y（xi?

1）]（4）从而y?

（xi）?

f（xi）?

a（xi）y（xi?

1）?

b（xi）[y（xi?

1）

a（xi）?

xi?

b（xi）?

算法：

step1:

i=1;

代入（4）,输出y?

（x1）;将

（1）中y（x0）?

ya、y?

（x0）?

将y?

（x1）代入

（2）,输出y?

（x1）;

取y（x1）?

（x0）?

x1?

y（x0）,输出y（x1）。

step2:

whilein

{

i=i+1;

将y（xi?

1）、y?

（xi?

1）代入（4）,输出y?

（xi）;

将y?

（xi）代入

（2）,输出y?

（xi）;

取y（xi）?

（xi?

1）?

xi?

y（xi?

1）,输出y（xi）;

}

2.2、梯形数值积分算法

根据

（1）式，首先算出

（x0）?

f（x0）?

a（x0）y?

（x0）?

b（x0）y（x0）（5）

对i?

1,2,3,...,n,取y?

（xxi

i）?

（xi?

1）?

xy?

（x）dx?

1[y?

（xi）?

（xi?

1）]?

xi,

y（xxi1

i）?

y（xi?

1）?

xy?

（x）dx?

[y?

（xi）?

（x

12i?

1）]?

xi,

则xi点满足

（x1

i）?

2[y?

（xi）?

（xi?

1）]?

xi?

（xi?

1）（6）

y（x1

i）?

2[y?

（xi）?

（xi?

1）]?

xi?

y（xi?

1）

2{1

2[y?

（xi）?

（xi?

1）]?

xi?

（xi?

1）?

（xi?

1）}?

xi?

y（xi?

1）（7）

4y?

（x21

（x2

i）?

xi?

yi?

1）?

xi?

（xi?

1）?

xi?

y（xi?

1）,

将（6）、（7）代入

（1）,得到

（x?

a（x1

i）i2[y?

（xi）?

（xi?

1）]?

xi?

（xi?

1）}

b（x121

i）[4y?

（xi）?

xi?

4y?

（xi?

1）?

xi?

（xi?

1）?

xi?

y（xi?

1）]?

f（xi）

从而

f（xa（x1（x12

（xi）?

i）[y?

（xi?

1）?

xi?

1）]?

b（xi）[y?

（xi?

1）?

xi?

（xi?

1）?

xi?

y（x

i）?

24i?

1）]

2a（x12

i）?

xi?

4b（xi）?

1,2,3,...,n

算法：

step1:

按（5）式求出y?

（x0）。

step2:

i=0;whilein

{

i=i+1;

将y（xi?

1）、y?

（xi?

1）、y?

（xi?

1）代入（8）,输出y?

（xi）;

3（8）

将y?

（xi?

1）、y?

（xi）代入（6）,输出y?

（xi）;

将y（xi?

1）、y?

（xi?

1）、y?

（xi）代入y（xi）?

}1[y?

（xi）?

（xi?

1）]?

xi?

y（xi?

1）,输出y（xi）;2

3误差分析

记h=?

xi?

1（实际计算中，步长通常是取定的，不随i变化），在矩形算法中，根据（3）式，误差的阶为o（h3）。

在梯形算法中，根据（7）式，误差的阶仍为o（h3）。

虽然两种方法误差的阶是相同的，但由于在数值微积分中，没有可以确定的绝对误差与相对误差，所以仅凭误差的阶还不能完全说明实际误差水平。

本文算法对h、y（xi?

1）、y?

（xi?

1）、y?

（xi）是敏感的，像所有单侧初始条件的微分方程数值算法一样，其误差随求解区间的增长、步数的增加，会产生传递和累进。

所以，控制误差的基本原则，是尽可能选择初始点和步进方向，让敏感因素的绝对值尽可能从小到大变化（参看后文）。

通过多个计算实例的统计比较发现，对同水平的h，梯形算法的相对误差通常远远小于矩形算法相对误差的一半。

由于梯形算法和矩形算法的运算速度没有显著差别，建议尽可能采用梯形算法。

4算例

通过一个比较复杂的方程

d2y2dyx?

sincos（x）?

cos（e?

1）y?

f（x）2dxdx

先取y?

x，由于函数2阶导比较稳定，所以误差太小。

又取y?

xcos2x，得到方程33

d2y2dyx223x?

sincos（x）?

cos（e?

1）y?

6x?

3xsincos（x）?

xcos（e?

1）2dxdx

在[0,100]内根据其在x=0的初始条件进行梯形算法数值求解，并与精确解进行比较，结果如下（图1、2、3）。

图1y（xi）的数值解、精确解、绝对误差、相对误差

图2y?

（xi）的数值解、精确解、绝对误差、相对误差

【篇二：

019数学大题】

数学学院硕士生复试方案一、学术型学位1.复试方式

基础数学：

常微分方程、复变函数、实变函数（各约占1／3）；计算数学：

数值逼近、数值方法、微分方程数值解（各约占1／3）；概率论与数理统计：

概率论、数理统计（各约占1／2）；应用数学：

计算方法、线性规划、数学模型（各约占1／3）；运筹学与控制论：

运筹学方向：

概率论与数理统计、线性规划、整数线性规划（各约占1／3）；控制论方向：

概率论与数理统计、线性系统、矩阵代数（各约占1／3）；

信息安全：

概率论与数理统计、数论与代数结构、应用密码学（各约占1／3）；金融学、金融数学与金融工程：

概率论、数理统计（各约占1／2）；

系统理论：

概率论与数理统计、线性规划、整数线性规划（各约占1／3）;统计学：

概率论、数理统计（各约占1／2）。

3.复试面试内容：

基础数学：

英语、数学分析、线性代数、常微分方程、复变函数、实变函数；

计算数学：

英语、数学分析、线性代数、微分方程数值解、数值逼近、数值代数、算法语言；

概率论与数理统计：

英语、数学分析、线性代数、概率论、数理统计、实变函数；应用数学：

英语、数学分析、线性代数、常微分方程、线性规划、数学模型、计算方法；运筹学与控制论：

英语、数学分析、线性代数、常微分方程、线性规划、整数线性规划、概率论与数理统计；或英语、数学分析、线性代数、常微分方程、线性系统理论、概率论与数理统计；

信息安全：

英语、数学分析、线性代数、概率论、数论与代数结构、计算机网络安全、应用密码学；

金融数学与金融工程：

英语、数学分析、线性代数、概率论、数理统计、实变函数；

系统理论：

英语、数学分析、线性代数、概率论、线性规划。

统计学：

英语、数学分析、线性代数、概率论、数理统计、实变函数；4.复试笔试科目参考书目：

基础数学：

《复变函数》（第四版），余家荣著，高等教育出版社2007年版；《复变函数论》（第三版），钟玉泉编著，高等教育出版社2004年版；《实变函数与泛函分析》（第二版），郭大钧、黄春朝、梁方豪编著，山东大学出版社2005年版；《常微分方程教程》（第二版），丁同仁、李承治编著，高等教育出版社2006年版。

《复变函数教程》扈配础著，科学出版社，2008年第一版。

计算数学：

《数值逼近》，孙淑英、张圣丽等编著，山东大学出版社；《数值线性代数》（第一版），徐树方著，北京大学出版社2007年版；《偏微分方程数值解法》（第二版），李荣华等编著，吉林大学，高等教育出版社2010年12月版；也可参考其他同类教材。

概率论与数理统计：

《概率论基础》（第三版），复旦大学李贤平编，高等教育出版社2010年版；《数理统计》

（一），复旦大学编，高等教育出版社1979年版；《概率论与数理统计》，刘建亚编，高等教育出版社2003年版；《数理统计》，胡发胜、宿洁编，山东大学出版社2005年版。

《概率论与数理统计》，刘建亚、吴臻编，山东大学出版社2004。

应用数学：

《数学模型》（第三版），姜启源编著，高等教育出版社2008年版；《计算方法引论》（第三版），徐萃薇、孙绳武编著，高等教育出版社2007年版；《线性代数》，刘建亚、秦静编，高等教育出版社，2004版；《运筹学》（第三版）（线性规划部分），刁在筠等编著，高等教育出版社2007年版。

运筹学与控制论：

《概率论基础》（第三版），复旦大学李贤平编，高等教育出版社2010年版；《概率论与数理统计》（第一版），茆诗松、周纪芗编著，中国统计出版社2007年版；《运筹学》（第三版），刁在筠等编著，高等教育出版社2007年版；《线性系统理论》（第一版），程兆林、马树萍编著，科学出版社2006年版；矩阵分析（第三版）,史昌荣等编著，北京理工大学出版社2010年版。

信息安全：

英语、数学分析、线性代数、概率论同其它专业。

《数论与代数结构》，王小云编，讲义；《密码学导引》，冯登国、裴定一编，科学出版社1999年版；《网络安全》（第二版），胡道元、闵京华著，清华大学出版社2008年版。

金融数学与金融工程：

《概率论与数理统计》，刘建亚编，高等教育出版社2003年版；《概率论与数理统计》，刘建亚、吴臻编，山东大学出版社2004；《数理统计》，胡发胜、宿洁编，山东大学出版社2004年版；《概率论基础》（第一、二分册）（第三版），复旦大学李贤平编，高等教育出版社2010年版；《数理统计》，复旦大学编，高等教育出版社1979年版。

系统理论：

《概率论基础》（第二版）复旦大学李贤平编，高等教育出版社出版，2010年第三版。

5.加试科目参考书目：

复变函数：

《复变函数论》（第三版），钟玉泉编，高等教育出版社2004年版；《复变函数论》，张培璇编，山东大学出版社1993年版；《复变函数》（第四版），余家荣，高等教育出版社2008年版。

实变函数：

《实变函数与泛函分析》（第二版），郭大钧、黄春朝、梁方豪编著，山东大学出版社2005年版；概率论：

《概率论基础》（第二版），复旦大学李贤平编，高等教育出版社2010年版。

5.加试科目参考书目：

复变函数：

《复变函数论》（第三版）钟玉泉编，高等教育出版社，2004年版；《复变函数论》张培璇编，山东大学出版社，1993年。

《复变函数》（第四版）余家荣，高教出版社，2007年。

实变函数：

《实变函数与泛函分析》（第二版）郭大钧、黄春朝、梁方豪编著，山大出版

社2005年版；

概率论：

《概率论基础》（第三版），复旦大学李贤平编，高等教育出版社2010年版；

数学学院研究生教务办公室

2012年9月20日

【篇三：

计算数学人必看】

谈计算数学-

从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调了实践对于计算数学的重要性。

也许parlett教授的一段话能最好地说明这个问题：

howcould

someoneasbrilliantasvonneumannthinkhardaboutasubjectas

mundaneastriangularfactoriz-ationofaninvertiblematrixandnot

perceivethat,withsuitablepivoting,theresultsareimpressivelygood?

partialanswerscanbesuggested-lackofhands-onexperience,concentrationontheinverseratherthanonthesolutionofax=b-butidonot

findthemadequate.whydidwilkinsonkeeptheqralgorithmasa

backuptoalaguerre-basedmethodfortheunsymmetriceigenproblem

foratleasttwoyearsaftertheappearanceofqr?

whydidmorethan20yearspassbeforethepropertiesofthelanczosalgorithmwere

understood?

ibelievethattheexplanationmustinvolvetheimpedimentstocomprehensionoftheeffectsoffinite-precision

arithmetic.（引自既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所了解。

早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。

这里只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。

侯一钊（加州理工）

研究方向：

计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流

鄂维南（princeton大学）

北京大学长江学者，研究方向：

多尺度计算与模拟

包刚（michigan州立大学）

吉林大学长江学者，研究方向：

光学与电磁场中的计算等

金石（wisconsin大学）

清华大学长江学者，研究方向：

双曲守恒律、计算流体力学、

动力学理论等

汤涛（香港浸会大学）

中科院，研究方向：

移动网格法等

舒其望（brown大学）

中科大长江学者，研究方向：

计算流体力学、谱方法

陈汉夫（香港中文大学）

研究方向：

数值线性代数

许进超（pennsylvania州立大学）

北京大学长江学者，研究方向：

有限元、多重网格法

袁亚湘

中科院，研究方向为非线性最优化

张平文（北京大学）

北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与

模拟、移动网格法等

陈志明（中科院）

研究方向：

科学计算与数值分析，主要为有限元法

其他还有黄维章、吴宗敏、xukun、程今等人也非常突出

作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许是颇有裨益的。

理论最好的基本是

mathematicsofcomputation

numerischemathematik

siamjournalonnumericalanalysis

siamjournalonmatrixanalysisapplications

siamjournalonscientificcomputing

较好的有：

bit

imajournalofnumericalanalysis

advancesincomputationalmathematics

inverseproblems

还有应用性质的杂志：

journalofcomputationalphysics

internationaljournalfornumericalmethodsinengineering

computermethodsinappliedmechanicsandengineering

internationaljournalfornumericalmethodsinfluids

computersandfluids

computationalmechanics

还有很多带有computational字眼的其他学科的期刊：

journalof

computationalchemistry，computationalmaterialsciences

也可以浏览。

但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握了解、把握一个领域，因而值得特别重视。

这方面最好的是剑桥大学出版社出版的acta

numerica连续出版物。

actanumerica每年出版一本，作者均是该领域的顶尖人物。

比如说最近几年水平集方法非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的stanleyosher写的levelsetmethodinimagescience。

其他论题有：

entropystability（tadmore），radialbasisfunction（buhmannmd）等

等。

该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。

我

这里大概也有二三十篇，可以提供上载。

另外一本就是siamreview。

siamreview的每一期里面都有几篇文

章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或

者是介绍每一个领域的最新进展等。

siamnews的每一期也有关于

计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。

计算数学的书可以

称得上是汗牛充栋。

以前在系版上提到过几本。

现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。

传统的方法有有限差分

法、有限元法、边界元法和谱方法。

有限差分法想法最为简单，比较容易理解。

李荣华的那本《微分方程

数值解》就介绍了最基本的东西：

收敛性、相容性和稳定性。

richtmeyermorton的《differencemethodsforinitial-value

problems》则是差分法方面的经典著作。

r.leveque最近也有一本

forellipticproblems》。

这也是系里专业科的教材，另外brenner

scott的《mathematicaltheoryofthefiniteelement

method》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。

华东师大的

郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《spectralmethods

andtheirapplications》广受好评。

purdue大学的沈捷教授也有

上下载，同时还有相关的matlab和fortran程序。

谱方法方面最好的

入门书为trefethen的《spectralmethodsinmatlab》，其他的还

有canuto等人的《spectralmethodsinfluiddynamics》，不过

不知道能不能再学校里找到。

除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。

计算数学的主要工具是泛函分析。

一般推荐的yoshida的《functionalanalysis》（有中译本：

吉田耕作，《泛函分析》）或者

rudin的

《functionalanalysis》。

这两本书都是非常难的，但是也是非常经典的书，可能当字典比较合适。

但是，泛函分析里面重要的定理在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东西，sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。

这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如

holder不等式的导出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如kantorovich迭代收敛性准则的解释。

张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面

也有一些应用于数值计算的例子，比如lax等价定理，值得读一下。

计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流体力学、最优化、逼近论等。

由于这方面本人涉略甚少，这里也没有什么好说的了。

希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailinglist也是不错的，可以迅速获得关于计算数学会议、新出版文章等的信息。

中文的推荐使用cam，可在下面的网址注册

英文的推荐订阅clevermoler的nadigest，可在下面的网址注册

先订正一个错误：

sawyer的那本书的题目我

记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆

都有中译本的。

接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。

浙大的张振跃老师在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方向的，还有复旦出去的柏兆俊。

肯定还有许多学者在这方面有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列出来。

国外的大牛有golub，很多这个方向的大家都是他

的学生。

kahan,jamesdemmel,peterstewart,lntrefethen,

higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面

的大家。

矩阵计算方面最经典的书应该是jhwilkinson的《the

algebraiceigenvalueproblem》（有中译本，石钟慈等

人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，

系里有英文版的）。

这本书虽然老，但是据说读一下还是

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