圆周角和圆心角的关系.docx

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圆周角和圆心角的关系

圆周角与圆心角的关系

一、背景分析

1.学习任务分析

本节课的学习任务是：

理解圆周角的概念，理解并证明圆周角定理。

本节课是在学生掌握了圆的相关性质和圆心角概念的基础上实行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的三个推论的依据,还能使学生了解分情况证明数学命题及化归的思想和方法，是本章重点内容之一。

综合上述对教材内容的分析，结合新课标的要求，我确定本节课的重点是：

理解圆周角的概念和圆周角定理。

2.学情分析

九年级学生已经具备一定的观察讨论、自主探索、归纳总结的水平，但在我所带的班级中，多数学生表现欲不强，怕说错话，解错题，而本节课又是分三种情况证明圆周角定理，采用由特殊到一般的方法，这种探索问题的方法学生数学活动的经验较少，即使少数优秀学生能在教师给出三种情况的条件下证明出圆周角定理，他们也不一定能考虑到要分情况去讨论论证并用化归的思想方法去解决。

所以我认为本节的课的难点是：

利用分类讨论和化归的思想方法推导证明圆周角定理。

二、教学目标

依据新课标要求，根据本节内容在教材中的地位和作用，以及九年级学生的理解结构和心理特征，我确定以下目标：

1．理解圆周角的概念，理解并证明圆周角定理．

2．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，感受以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想和化归的数学方法．

3．让学生在主动探索、合作交流的过程中，获得成功的愉悦感，培养学生独立思考、善于总结的学习习惯。

三、课堂结构

基于以上的背景分析和教学目标分析，为了达到突出重点、突破难点的目的，本节课我设计了这样的教学环节：

激趣引入——概念明晰——活动探究——大显身手——品味收获——布置作业

四、教学媒体选择

教学媒体的使用上，采用多媒体课件和传统教学相结合，同时借用几何画板，对本节课的教学是非常必要的，充分应用多媒体教学直观、形象的优势，在反馈练习上加快了课堂节奏，增大了课堂容量，借用几何画板使得演示圆周角与圆心角三种位置关系和度量二者的大小关系上更加直观、生动，同时为克服多媒体教学的局限性，利用黑板实行必要的板书，便于学生增强记忆，并能协助解决课堂中的突发问题。

五、教法与学法

1.教学方法

根据本节课的教学目标、教学内容和学生学情，教学上采用“探究式”的教学方法。

教师着眼于引导，学生着重于探索，意在协助学生通过直观情境观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解。

2.学生学法

学生学习的关键在于教师如何调动、挖掘学生的积极性、主动性。

本着“最近发展区”原则，课堂上，学生主要采用动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，在教师的指导下从直观感知上升到理性思考。

经历观察、实验、猜想、验证、论证、归纳的学习过程，让不同层次的学生有不同层次的收获与发展。

六、教学过程

环节一激趣引入

（课件展示）在上周二下午的兴趣小组活动中，咱们班足球小组的李博、季明、王亮三位同学实行了一场游戏，现在老师把他们的游戏抽象成数学问题：

三人实行一场射门游戏，过球门AC画了一个圆，李博、季明、王亮分别站在圆上B、D、E的位置直线射球，但是李博和王亮不同意这样比赛，说季明所在的位置相对于球门AC的张角大，游戏不公平，你怎么看？

（引发学生思考∠ABC、∠AEC和∠ADC的大小。

）

教师依次提出问题串：

问题1：

到底是不是∠ADC大呢？

带着对这个问题的思考我们一起走进今天的课堂。

问题2：

首先请同学们回忆一下在此之前我们都学过哪些与圆相关的角？

（学生回答圆心角）

问题：

3：

什么是圆心角呢？

（学生回答：

顶点在圆上，两边是两条半径的角是圆心角）

问题4：

那么∠ABC、∠AEC和∠ADC是圆心角吗？

（不是）

问题5：

与圆心角相比，它们有什么特征呢？

（学生回答：

顶点在圆上，两条边分别与圆还有另外一个交点。

）

问题6：

依据他们共同的特征，你能给他们取个名字吗？

（学生回答：

圆周角）

非常好，今天我们就来理解圆周角。

（教师板书半个课题——圆周角）

设计意图：

本环节从学生感兴趣的体育运动入手，以班级足球兴趣小组三个同学的分歧为切入点，激发学生探索的欲望，同时感受数学与实际生活的密切联系，紧接着又由一系列问题串引导学生观察三个角的特征，类比圆心角，引申到本节要学习的圆周角，便于学生在已有知识的基础上掌握所学，符合学生的认知规律，同时自不过然进入下一环节。

环节二概念明晰（集体活动）

提问：

现在大家能否根据刚刚的观察讨论给圆周角下个定义呢？

我找一位同学说一下。

（学生叙述，教师补充，并板书圆周角的定义：

顶点在圆上，两条边分别与圆还有另外一个交点的角叫圆周角。

）

接下来老师给出这样几个练习，看大家对圆周角是否真的理解了。

，

练习反馈：

1.判断下列图形中的角是不是圆周角。

（个别学生回答为什么不是。

）

2．判断下列命题是否准确：

（学生一起回答）

（1）、圆周角的顶点一定在圆上。

（2）、顶点在圆上的角是圆周角。

（3）、圆周角的两边都和圆相交。

（4）、两边都和圆相交的角是圆周角。

3．下列两个圆中各有几个圆周角？

（个别学生回答）

设计意图：

经过上一环节的观察讨论，学生明确了圆周角的特征，教师引导给出圆周角的定义，随后设置了三道练习，练习1是一道关于圆周角定义的图形辨析题，目的在于经过学生的观察与辨析交流，进一步明晰圆周角的两个特征：

顶点在圆上和两边在圆内的部分是圆的两条弦。

练习2抓住圆周角定义的本质特征，进一步强化对圆周角定义的文字叙述；练习3结合几何证明题的复杂图形中圆周角的确定，为以后处理相关圆的综合性题目打下基础。

本环节真正达到了教学目标中所要求的理解圆周角的概念的目的。

环节三活动探究（小组合作）

教师活动：

现在我们回过头再来看一下射门游戏中的三个角，

问题1：

这三个角是什么角，它们所对的弧分别是什么？

问题2：

我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么同一条弧所对的圆心角和圆周角会不会有什么关系呢”接下来我们就一起来研究这个问题。

（教师板书补充课题）

设计意图：

首先回过头去观察情境引入中的三个角，引导学生发现三个角所对的是同一条弧，进而联系“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。

“提出猜想”那么同一条弧所对的圆心角和圆周角会不会有什么关系呢”，把学生的思维引导到圆周角与圆心角的关系上，以“同一条弧所对”作为联系纽带，顺利过渡到对圆周角定理的探究活动。

活动一：

画一画

下面请大家四人一小组合作，在导学案上的探究一中按照提示画出图形。

探究一同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系。

请在下列各圆中画出AC弧所对的圆周角与圆心角，若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分，你能分为几类。

（注意要做到不重不漏。

）

结论：

按照圆心O与圆周角的位置关系可将同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系分为______类。

（派两个小组代表上台展示小组结果，教师总结分为三类）

现在老师利用几何画板再给大家演示一下，看看还有没有别的情况。

（演示显示只有三种情况）。

设计意图：

因为对圆周角定理的证明要分三种情况实行探讨，这点学生不易想到，所以我先让学生小组合作，在导学案上按照提示尽可能多地画出同一条弧所对的圆心角与圆周角，经过小组交流和教师指点，总结出圆心角与圆周角的三种位置关系（圆心在圆周角一条边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外），然后点两个小组代表上台展示结果，教师再借助几何画板动态演示从而进一步验证圆周角和圆心角的三种位置关系，为下一步化归做好铺垫。

（特别说明：

导学案上给出的圆不能仅限三个，而应该多给几个，我是给六个让学生画，然后对比得到三种结果，这样能够避免对学生的思维限制。

）

活动二、量一量

同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系我们已经知道了，那么他们的数量关系又是怎样的呢？

利用你手中的工具，你能完成这项工作吗？

（学生回答：

能够，能够用量角器度量角的度数。

）

下面请大家小组合作共同完成这项工作。

探究二请你用手中的工具分别测出探究一中你所找到的三种情况下圆周角和圆心角的度数，看看每一种情况下两个角各有什么关系？

由此，你得到猜想：

————————————————————.

你们得到了什么结论？

（学生回答：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。

到底是不是这样的呢，咱们借用几何画板也来验证一下。

（验证结束后，教师板书圆周角定理，并在其后打上“？

”。

）

设计意图：

明确了圆周角和圆心角的三种位置关系后，如果直接实行圆周角定理的证明，可能有一定困难，于是我通过教师的提问引导学生，利用手中的工具测量得到同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数，进而合作交流得出对于二者关系的猜想：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

教师再利用几何画板中的测量工具度量同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数，并改变弧的大小再次测量，从而进一步验证学生的猜想，为下一步对圆周角定理的证明铺设了道路。

验证结束后教师总结并板书圆周角定理并在其后打上“？

“号，打问号是因为截至当前我们仅仅是通过测量了有限数量的实例得到了这样的猜想，还不能说明这个定理的一般性。

活动三：

证一证

刚刚我们通过测量得到了这个猜想，那么我们的猜想对于所有的同一条弧所对的圆周角和圆心角是否都成立呢？

这个就需要我们从一般性出发去证明它。

下面请大家小组合作，在导学案上的探究三中完成证明。

探究三证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：

在圆O中，弧AC所对的圆周角∠ABC和圆心角∠AOC

求证：

∠ABC=

∠AOC

（对于以下三种情况你认为那种情况最为特殊，最便于我们证明。

）

（2）圆心O在∠ABC外部

（1）圆心O在∠ABC一边上（3）圆心O在∠ABC内部

设计意图：

本节课的难点正在于此。

对于三种情况的证明，绝大部分学生都会感觉很困难，于是我先让学生小组合作，在导学案上根据提示实行证明。

有了猜想为基础，证明“

（1）圆心在圆周角一边上”这种情况学生完全能够自己完成，另外两种情况通过教师语言提示“其他两种情况是不是能够转化成

（1）的形式再加以证明呢”启发学生转化成第一种情况去解决，理解到转化的条件是：

加以角的顶点为端点的直径作为辅助线，这个过程中教师要巡视指导，与此同时，充分给予学生交流的时间，体会将一般情况转化成特殊情况的过程，体验了化归的思想方法，达到了突破难点的目的。

对于

（1）

（2）两种情况找小组代表上台叙述思路，教师多媒体展示正规证明过程，情况（3）点学生上台板演，教师加以总结，把黑板上圆周角定理后面的“？

“号擦除，接着明晰把情况

（2）（3）转化成

（1）的形式解决的方法属于化归的数学方法。

环节四大显身手

学习了新的知识之后必须要会应用，为此我设计了环节四：

大显身手，在这个环节我设计了四个问题。

1、解决分歧

此时根据我们本节课的学习，你认为射门游戏对三位同学公平吗？

为什么？

设计意图：

利用新知识——圆周角定理解决激趣引入环节所遗留的问题，前后呼应。

2、填空：

一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的__________.

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_____________-

设计意图：

让学生从不同角度理解圆周角定理，达到活学的目的。

3、如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=___

变式训练1：

如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=____

变式训练2：

如图，∠BAC=40°，则∠OBC=_____

设计意图：

3是圆周角定理的直接应用，侧重于考查学生面对多个圆周角与圆心角时的识图辨图水平。

变式训练1是反面考察圆周角定理，与练习2相呼应，变式训练2与等腰三角形知识联系，考察了学生综合使用知识的水平。

4、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ADB、

∠ACB的度数？

设计意图：

侧重考查学生对定理中“一条弧所对”的理解。

环节五品味收获

问题：

今天这节课大家表现的都非常的不错，相信每一位同学都开动了脑筋，交流了思想，那你能说说你今天这节课的收获吗？

（学生陈述，教师再小结）

1.圆周角的概念：

顶点在圆上，两条边分别与圆还有另外一个交点的角叫圆周角

2.圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

3.分类讨论的思想和化归的数学方法。

4.在合作中体会到了集体力量之大。

设计意图：

在这个环节中，先找学生陈述，因为学生在叙述的简洁性、全面性上会有一定的欠缺，教师在此基础上，给出更为完整的小结。

通过这样的活动使学生对本节内容有一个更系统、深刻的理解，在学生反思的过程中，要有意识地提醒他们反思其中的数学思想方法。

环节六布置作业

1、必做题：

习题3.41,2,3

2、选做题：

如图：

A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数。

设计意图：

总共布置四道作业，其中必做题促动知识的巩固，选做题留给学有余力的同学，提升学生思维的深度及广度，真正体现了新课程理念“不同的人在数学上得到不同的发展”。

七、教学评价

1、实现评价主体、评价方式的多样化，增加教学反馈层面。

这节课在教学上采用了讲授、探究相结合的教学方法，在教学过程的各个环节中，把学生自我评价、学生互评、老师评价结合起来，实现评价主体的多样化，课堂中采用语言表述、课堂观察、课后布置书面作业等各种评价方式，达到多层面了解学生。

2、注重对学生学习过程的评价，促动学生的合作水平、创新水平。

在整个教学设计中，始终以学生作为课堂主体，发挥教师的引导作用，让学生更多的参与到数学活动中来，注重学生在小组活动中所表现出来的合作交流意识，鼓励学生动手、动口、动脑，尽可能设计具有挑战性的情境，激发学生的求知、探索欲望，满足学生多元化的学习需求。

八、教学反思

1.本节课是借用九年级的学生上的一节公开课，课前对学生的学情不够了解。

2.本节课处理比较满意的地方在于：

把教材中的情境稍作改变更加能激发学生学习本节内容的兴趣，就关于圆周角概念的理解，老师设计了几个练习，加深了学生对圆周角的理解，就课后检测看，对于圆周角的辨析，全班只有三个学生出现错误，这样的情况还是很理想的。

另外就是对于圆周角定理的证明是我最满意的地方，因为这个证明牵涉到三种情况，学生是很难想到的，如果直接告诉学生，不符合新课改的理念，为此，我们讨论决定让学生小组合作，根据学案上的提示去尝试着画，有困难的小组，老师适时指导，最终班级所有小组都能画出三种情况。

之后考虑到直接证明圆周角与圆心角的关系有很大困难，我们让学生先动手测量，猜想二者的关系，再利用几何画板动态演示以证验证学生的结论，从而得到关于二者关系的猜想，这样学生去证明的时候最起码有思路可循。

这些都得益于学案的设计，引导了学生一步步走入正题。

3.本节课的处理有待改进的地方在于：

对于三种位置关系的图形，给学生讨论的时间太多，以致后面拖堂5分钟，这说明对学生的学情把我不到位，由此可见备课时对学生学情的掌握很重要。