高一物理竞赛讲义第3讲教师版.docx
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高一物理竞赛讲义第3讲教师版
前面我们讨论了物理量以及物理量之间的关系，尤其是变化率变化量的关系。
我们还学习了非常牛的几个方法：
相对运动法，微元法，图像法。
然而，物理抽象思想除了物理量之外，还有一大块就是模型，而各种模型都有自己的一些特点，根据这些特点，决定了这些模型的运动学性质。
探究这些性质就成了我们今天的主要任务。
一、分速度和合速度
首先速度作为矢量是可以合成和分解的。
但是同样的作为矢量，速度的合成和分解，和力这个矢量有一点不同。
这个不同在于，两个作用在同一个物体上的力，可以直接合成。
但是同一个物体，已经知道在两个方向上的速度，最后的总速度，并不一定是这两个速度的矢量和。
（CPhO选讲）例如:
4F1+F24V1+V2
（这里面速度V总是通过两个速度各自从矢量末端做垂线相交得到的）
第二个原则就是：
合速度=真实的这个物体的运动速度矢量。
这里力和速度的区别是：
我们看到的多个力，不见得是“合力”在各个方向上的投影；但是我们看到的多个速度，就是“合速度”在各个方向上的分速度。
所以，当且仅当两个分速度相互垂直的时候，合速度等于两个分速度的矢量和。
这个东西大家可以这样想。
遛狗的时候，每个狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。
但是每个狗都有个速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小还是差不多的，不会因为遛狗个数越多就速度越快……
二、体现关联关系的模型
1.绳（杆）两端运动的关联：
实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。
实际运动二旋转运动+伸缩运动
【例】吊苹果逗小孩儿有两种逗法，一种是伸缩，一种是摆动。
不难总结：
一段不可伸长的细绳伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等，转速无论多大不可改变绳子长度。
2.叠加运动的关联
先举个例子：
如图的定滑轮，两边重物都在竖直运动，并且滑轮也在竖直运动，设两边重物位移分别沃为轮中心的位移为X。
不难由绳子长度不变得位移关系：
巨=1
2
对应的必然有速度关系：
匕+岭
加速度关系:
a+%
—-=a
2
我们用运动关联的目的是为了使未知量变少。
物理学中非常重要的思想就是把现实中的物体抽象成为理想的模型，然后用物理原理以及模型对应的牵连关系来解决问题.常见的模型有杆，绳，斜面，等等.
3.轻杆
杆两端，沿着杆方向的速度相同'
4.轻绳
绳子的两端也是沿着绳子的方向速度相同\.绳子中的力是可以突变的，突变的条件是剪断或者是突然绷紧等等.
5.斜面
斜面模型的一个关键点是当物体沿着斜面下滑的时候，它垂直于斜面方向上的速度和斜面相同.也就是两者之间只有沿着斜面的相对运动.
6.滚动
两个物体之间相对滚动，这意味着除了接触点的法向速度等于物体上这一点的法向速度以外，还有一个条件是接触点在两个物体上走过的距离相等，这也等价于两个物体在接触点的切向速度相等。
7.弹簧模型：
弹性绳子，和弹簧都是一样的，就是没有质量，长度可以在弹性范围内伸
展.另外弹簧的形变是不能瞬间突变的.也就是弹簧中的力是不能突变的.
这些模型之所以具有这些性质，主要原因是轻绳，轻杆，等长度不能改变.弹性的绳子和弹簧，长度可以改变.
【例1】一个绳子紧紧贴着天棚，有个动滑轮，绳子绕过之后挂一个小木块,
请求出当动滑轮以速度％匀速直线运动的时候，木块的速度是多少？
【例2】
【例3】一根绳紧贴与地面成e的斜墙，一端固定一端绕过滑轮下吊一木块。
滑轮沿％的速度匀速沿墙运动，求被滑轮带动的木块的速度力。
【答案】2/s-
【例4】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，0点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。
一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为帆和侬的小球。
论的速度为%时求例的速度“。
【答案】
【例5】如图夹角为d的斜面放在地面上只能在水平面运动，木棍被限制住只能在上下方向运动，斜面与木棍接触。
若斜面向右的速度为%,求木棍的速度正。
【答案】v0tan0
【例6】如图所示装置，在绳的C端以速率v匀速收绳，从而拉动低处的物体时
水平前进，当绳8c段与水平恰成a角时,求物体M的速度
V
1+cosa
【例7】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（如图）.当半圆柱体的速度为u时，杆与半圆柱体接触点尸与柱心的连线与竖直方向的夹角为夕，求此时竖直杆运动的速度.
【解析】
解法一：
（半圆柱做参考系）
取半圆柱体作为参照系.在此参照系中，尸点做圆周运动，即a柱的方向沿着圆上尸点的切线方向.根据题意，逅地的方向是竖直向上的.因为
wf地=口柱地•tan0=vtan0.
解法二：
（法线方向速度l,相同）
法线方向上速度分别为vsin0,vHcos0
两个相同得到：
vsin0=v杆cos0
得到vlf=vtan^
【例8】图表示在一水平面上有A,B,C三点，AB=\,4CBA=a,今有甲质点由A向4以速度匕作匀速运动，同时，另一质点乙由3向。
以速度匕作匀速运动,试问运动过程中两质点间的最小距离为多少
」X
A
【解析】提示：
有两种解决办法，一个是直接求距离的表达式，一个是看相对运动状态.
【解析】如图所示，质点［以匕由A向4作匀速运动，同时点巴以速度.从8指向C作匀速运动，AB=l,ZABC=a且为锐角.试确定：
在何时刻I,6、P2的间距d最短为多少
以A为参考系，8沿图所示合速度方向运动，则dmm=/si”
而u=Jv；+、+2匕匕cosa,
1,・cMsina/匕sina
付dmm=/smp==—=1..=•
vyjv；+2VjV2cosa
由1cosJ3=vt,
l（\\+v2cosa）
vf+2vjV2cosa
八、sina一
+片+2VjV2cosa
【例9】
一只蜘蛛把一条长1m的“超弹性”丝线的一端固定在一堵竖直的墙上，丝线上某处静止地趴着一条小毛虫.饥饿的蜘蛛，静止不动地呆在丝线的另一端，开始以％=lcm/s的速度匀速拉动丝线.同时，小毛虫开始以1mm/s的速度相对于丝线向墙的方向逃跑,小毛虫能够逃到墙上吗
【解析】在距离墙xm处，丝线的速度显然比丝线端点的速度成正比地缩小,即%
———后—E
Imxm
如果这个值比小毛虫的速度快，那么毛虫逐渐远离墙面.小毛虫的处境将越来越无助，而永远也达不到墙面.反之，如果气虫＞外,小毛虫的净速度将指向墙面，并且随着时间的增加而增加，毛虫当然可以到达墙面.临界的情况对应x=k/%=0.1m.如果从这一点开始，则小毛虫相对静止于该处.
【例10】合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：
2：
1,如图所示，顶点
A3以水平速度v运动，如果构件的所有角均为直角时，顶点A、A?
、
B2的速度为多少
【解析】
v5vJV7v5’5‘6
【例11】细杆4?
长L,两端分别约束在x、V轴上运动,
（1）如果唯为已知，试求8点的速度;
⑵求杆上与A点相距〃的尸点的X、向分速度%和％对杆方位角夕的函数；
（3）试求Q点运动轨迹.
【解析】
（1）两种解法：
解法一、沿着杆方向的速度相同
所以vAcos^=vBsin^得至|v-B=*sin8
也就是说以A为参照系则3的
解法二、以相对〃做一个圆周运动,运动垂直于AB.
⑵解法有讲究：
以A端为参照，则杆上各点只绕A转动.但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有%=%cos。
，
〃需，可知5端相对"转动线速度为：
…*/
0点的线速度必为上次=/Isin。
所以%=%cose+%,%=%-4sine
（3）提示：
写成参数方程[、=?
se：
后消参数e.
[y=（1-a）Lcos6
【答案】
（1）匕=%也sind
⑵'%=G/tg8,%=。
一
（3）上+上==1,为椭圆的一部分；
（aLy（\-ayu
二、竞赛提升
通过刚才这些内容，大家已经体会到了一些速度矢量的分解的感觉。
从更物理的角度来讲，速度分解可以在图中画出三角关系来解决，也可以写出要投影的方向的单位矢量，然后与速度做点乘即可。
前者书写简单，后者不易出错，请大家自己斟酌。
运动的分解通常用于写约束条件，也就是我们前面所说的“模型特点”。
约束条件是指对运动加了限制，使得运动的自由度下降。
自由度是指用来描述物体运动的独立变量的个数。
（互相之间没有直接关系，叫做独立变量）
例如：
描述一个质点在一维空间中的自由运动需要1个函数（取笛卡尔坐标就是W））
描述一个质点在二维空间中的自由运动需要2个函数（取笛卡尔坐标就是;取极坐标就是r（f）,8（f））
描述一个质点在三维空间中的自由运动需要3个函数（取笛卡尔坐标就是x（/）,yQ）,z（/）;取柱坐标就是6。
）,z（r）,取球坐标就是"f）,8（f）,夕⑺）
描述一根杆在三维空间中的自由运动需要5个函数（描述杆的质心需要三个函数，描述杆的方向还需要两个，取球坐标就是。
⑺，例/））
描述一根杆在二维空间中的自由运动需要3个函数（描述杆的质心需要两个函数，描述杆的方向还需要一个）
如果对于质点或者杆有限制，运动不再是自由的，这时称运动是受到约束的，运动的自由度通常会减小。
思考：
以下体系的自由度，说明描述运动所需要的独立变量个数：
10上的一个行走的人（把人当质点看）
2国旗杆上的国旗（把国旗当作质点）
3一端固定的刚性杆
4放在碗里的一个小汤圆（把汤圆当作质点）
5放在碗里的一根牙签（把牙签当作刚性杆）
6放在碗里的，一端固定在碗底的牙签
7表身固定的正常工作的手表
【例12】一个大硬币半径是力，一个小硬币半径是固定大硬币在纸面上，招1小硬币贴在大硬币外侧滚动一周，问小硬币自转了多少圈。
固定小硬币滚动大硬币一周，大硬币自转了多少圈
【解析】4圈,圈。
【例13】两只小环O和O分别套在静止不动的竖直杆和A0上.一根不可伸长的绳子，一端系在4,点上，绳子穿过环。
，另一端系在环。
上，如图所示，若环。
以恒定速度/沿杆向下运动，ZAOO=a.求环O的运动速度为多大
【解析】解法1由微元法求解
如右图所示，设由题图所示的状态再经历一段极短的时间A,环。
下滑距离而到达「点，环。
则对应地上升至C点.由于时间极短，位移很小，故可将这段时间内环O的位移速度也视为是匀速的，以U表
示之，则有oc=g和,由于绳不可伸长，故应有oc^cc=oo.
令OO与CC的交点为E,在OO上分别取ED^EC和ED=ECf则由上式有
O'C=OO-CC=OO-DD,
于是有OC=O'D'+OD
由于a"艮小，则OC很小，00与。
C的夹角很小，由此，两等腰AECD
和必。
。
的底角均很接近于二故"£＞和△=（2均可近似视为直角三2
角形，则在此两直角三角形中，有t/D=OCcosa,OD=OCcosa.
综合前述的几式便有O,C=OfCcosa+OCcosa,
vf^i=v^tcosa+vArcosa•
2sin?
u故得此时环。
沿杆上升的速度大小为、，=a组=二二/.
cosavcosa
解法2由相对运动求解
以地面为参照物时，环。
以速度/顺杆Ab向下滑，环O则在此刻以速度V顺杆他向上滑，以环O为参照物时，环。
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