用换元法解不等式.docx

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用换元法解不等式

用换元法解不等式

【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。

在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。

换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。

【关键词】换元法三角换元代数换元

做任何事情都要讲究方法。

方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。

解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方确，问题就容易解决。

波利亚说过：

“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。

”

换元法是数学中的一个基本方法之一。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。

下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。

1、增量换元

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。

例1设并且它们的和为2，求证.

分析与证明由条件可令，且，则.

又

=

，

.

，

.

例2已知，求证.

证设，显然.

则

故.

注增量换元的目的，在于从不等式转化为这个等式。

再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。

二、三角换元

在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。

例3若，且，求证：

.

分析由，可令，，，其中，.则

例4已知:

求证:

.

分析:

由于并且不等式中有

因此我们联想三角函数平方关系:

.经过对比,发现相当于，相当于，因而可令：

.

证明:

令,则

可见原不等式成立。

原不等式成立。

从例3，例4可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式

三、代数换元

对于那些具有一定结构特点的代数式，可以巧设某些代数式换元，则能化难为易，简洁明快地解决问题。

例5解不等式.

解：

设，则原不等式可化为，

解之得.

即，故.

根据指数函数的单调性，原不等式的解集为.

例6设a,b,c是三角形的三边长，s是三角形的半周长，求证：

。

证明令，其中，则

.

所以不等式等价于

因为，，.

上述三式相乘，得

故原不等式得证。

四、均值换元

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例7个正数它们的和是1,求证:

.

分析:

就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令,

（其中）.

证明:

令则.

因而原不等式成立。

例8设，求证：

.

分析，故平均值为2.

令，则.

.

注选取平均数，引入新变元，证明过程的确自有它独特的魅力。

又证,

三式相加：

，

，

等号当且仅当，

即时取得。

注凑常数，决不是信手拈来，估计等号成立的条件，有的放矢地匹配。

再证

.

例7例8说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。

5、几何换元

在∆中，，切圆交分别于,如图，则可设，其中.几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。

例9已知.

证：

设其中，

则

所以原不等式得证。

例10已知是三边的长，求证：

.

分析:

（如图）作的切圆,设为切点,

令（其中）,

则原不等式可转化为:

.

利用重要不等式:

可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:

设为切点,令则原不等式可转化为:

.

又因为,则有

，

所以

（1）式成立,因此原不等式成立。

从例9，例10可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

六、向量换元

例11已知，且，求证.

证：

设，则

.

由性质.

例12已知，求证.

证：

设，则，

由性质

7、对称换元

例13设求证:

.

分析:

经过观察,我们发现,把中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令则原不等式可化为:

.

这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:

令,则

.

时,有

；

当时,有（否则中必有两个不为正值,不妨设,

则,这与矛盾）,因此

综上所述,恒有

把代入上式得:

.

例14设,求证:

.

分析:

类似于例13,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令

则原不等式可化为2.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:

令则

原不等式可化为:

将代入上式得:

又由已知条件可知,2成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。

对于类似于例13与例14的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。

八、总结

用换元法证明不等式的换元方法多种多样，变换灵活，以上是我们在用换元法时证明不等式经常用换元法，在换元方法中，每种方法各有特点，从上述方法可以看出。

各种方法各有优缺点。

那么在证明不等式的时候，我们具体选择哪种证明方法，才能方便、快速、准确地得出所要证明的结论呢？

我认为应该没有固定的模式可寻，它必须根据不等式的已知条件和结论的具体形式来科学加以选取适当的方法，再运用不等式的相关性质和其它数学手段经过严格的逻辑推理，这样方可得出正确的结论。

参考文献

[1]中等师学校教科书《代数与初等函数》第一册，人民教育

[2]《怎样解题----高中数学解题方法与技巧》，薛金星，教育

[3]《不等式方法·技巧·优美解》，嘉瑾，教育

[4]《智慧的阶梯——论数学思想方法的教与学》，肖学平，国防大学