数学专升本考试试题_精品文档.doc
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高等数学
（二）命题预测试卷
（二）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小的是（）
A．B．
C．D．
2．曲线在内是（）
A．处处单调减小B．处处单调增加
C．具有最大值D．具有最小值
3．设是可导函数，且，则为（）
A．1B．0
C．2D．
4．若，则为（）
A．B．
C．1D．
5．设等于（）
A．B．
C．D．
二、填空题：
本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在
题中横线上。
6．设，则=．
7．设，则．
8．，则．
9．设二重积分的积分区域D是，则．
10．=．
11．函数的极小值点为．
12．若，则．
13．曲线在横坐标为1点处的切线方程为．
14．函数在处的导数值为．
15．．
三、解答题：
本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
求函数的间断点．
17．（本题满分6分）
计算．
18．（本题满分6分）
计算．
19．（本题满分6分）
设函数，求．
20．（本题满分6分）
求函数的二阶导数．
21．（本题满分6分）
求曲线的极值点．
22．（本题满分6分）
计算．
23．（本题满分6分）
若的一个原函数为，求．
24．（本题满分6分）
已知，求常数的值．
25．（本题满分6分）
求函数的极值．
26．（本题满分10分）
求，其中D是由曲线与所围成的平面区域．
27．（本题满分10分）
设，且常数，求证：
．
28．（本题满分10分）
求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．
参考答案
一、选择题
1．B2．B3．D4．D5．D
二、填空题
6．7．
8．9．
10．11．
12．513．
14．15．0
三、解答题
16．解这是一个分段函数，在点的左极限和右极限都存在．
故当时，的极限不存在，点是的第一类间断点．
17．解原式=．
18．解设．
由于是初等函数的可去间断点，
故
．
19．解首先在时，分别求出函数各表达式的导数，即
当时，
当时，．
然后分别求出在处函数的左导数和右导数，即
从而，函数在处不可导．
所以
20．解
①
②
又由①解得
代入②得
21．解先出求的一阶导数：
令即解得驻点为．
再求出的二阶导数．
当时，，故是极小值．
当时，，在内，，在内
故不是极值点．
总之曲线只有极小值点．
22．解
23．解由题设知
故
．
24．解
又
故解得．
25．解
解方程组得驻点
又
对于驻点，故
驻点不是极值点．
对于驻点
故，又．
函数在点取得极大值
26．解由与得两曲线的交点为与
的反函数为．
27．证
于是．
28．解
（1）先求函数的定义域为．
（2）求和驻点：
，令得驻点．
（3）由的符号确定函数的单调增减区间及极值．
当时，，所以单调增加；
当时，，所以单调减少．
由极值的第一充分条件可知为极大值．
（4）求并确定的符号：
，令得．
当时，，曲线为凸的；
当时，，曲线为凹的．
根据拐点的充分条件可知点为拐点．
这里的和的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：
＋
0
－
－
－
－
0
＋
就表上所给的和符号，可得到：
函数的单调增加区间为；
函数的单调减少区间为；
函数的极大值为；
函数的凸区间为；
函数的凹区间为；
函数的拐点为．
（5）因为，
所以曲线有
水平渐近线
铅垂渐近线
（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．
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