北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题1附答案.docx
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北师大版七年级数学下册16完全平方公式自主学习同步练习题1附答案
2021年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式自主学习同步练习题1(附答案)
1.已知a+
=3,则a2+
的值是( )
A.9B.7C.5D.3
2.下列计算正确的是( )
A.(x2)3=x9B.(﹣x)2•x=x3
C.(﹣2ab2)2=﹣4a2b4D.(x﹣y)2=x2﹣y2
3.下列运算一定正确的是( )
A.a2+a2=a4B.a2•a4=a8
C.(a2)4=a8D.(a+b)2=a2+b2
4.下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5B.m8÷m4=m4
C.(a+b)2=a2+b2D.(﹣2m2)3=﹣6m6
5.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.(a+b)2=a2+b2
C.(﹣2a)3=﹣8a3D.a2+a2=a4
6.如图,将长方形ABCD的各边向外作正方形,若四个正方形周长之和为24,面积之和为12,则长方形ABCD的面积为( )
A.4B.
C.5D.6
7.若长方形的周长为36,其中一边长为x(x>0),面积为y,则y与x之间的关系为( )
A.y=(18﹣x)xB.y=x2C.y=(36﹣x)xD.y=(18﹣x)2
8.如图,有A、B、C三种不同型号的卡片,每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形,B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形,C型卡片是边长为b的正方形,从中取出若干张卡片(每种卡片至少一张),把取出的这些卡片拼成一个正方形,所有符合要求的正方形个数是( )
A.4B.5C.6D.7
9.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加99cm2,这个正方形的边长为( )
A.13cmB.14cmC.15cmD.16cm
10.若4x2+ax+121是完全平方式,则a的值是( )
A.22B.44C.±44D.±22
11.若x2+mx+49是一个完全平方式,那么m的值为( )
A.7B.14C.﹣14D.±14
12.如果x2+8x+m2是一个完全平方式,那么m的值是( )
A.4B.﹣4C.±4D.±8
13.已知代数式x2+ax+4是一个完全平方式(其中a是一个常数),则a=( )
A.4B.﹣4C.±4D.±2
14.代数式9x2+Kxy+y2是关于x,y的一个完全平方式,则K的值( )
A.6B.﹣6C.±6D.±3
15.若a+b=7,ab=12,则a2+b2的值为 .
16.若(a+b)2=17,(a﹣b)2=11,则a2+b2= .
17.若a+b=5,ab=3,则a2﹣ab+b2= .
18.若ab=﹣2,a2+b2=5,则(a﹣b)2的值为 .
19.ab=2,a+b=3,则(a﹣b)2= .
20.若多项式a2+ka+25是完全平方式,则k的值是 .
21.已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式,则常数m的值为 .
22.若x2﹣10x+m2是一个完全平方式,那么m的值为 .
23.如图,有三种卡片,其中边长为a的正方形卡片4张,边长分别为a、b的矩形卡片12张,边长为b的正方形卡片9张.用这25张卡片拼成一个正方形,则这个正方形的边长为 .
24.如果x2﹣mx+36是完全平方式,那么常数m的值是 .
25.若a+b=5,ab=3,
(1)求a2+b2的值;
(2)求a﹣b的值.
26.已知x﹣y=1,x2+y2=9,求xy的值.
27.已知(m﹣53)(m﹣47)=12,求(m﹣53)2+(m﹣47)2的值.
28.若x+y=2,且(x+3)(y+3)=12.
(1)求xy的值;
(2)求x2+3xy+y2的值.
29.
(1)已知am=2,an=3,求a3m+2n的值;
(2)已知a﹣b=4,ab=3求a2﹣5ab+b2的值.
30.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,图②是边长为m﹣n的正方形.
(1)请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形,画出示意图(要求连接处既没有重叠,也没有空隙);
(2)请用两种不同的方法列代数式表示
(1)中拼得的大正方形的面积;
(3)请直接写出(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系;
(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:
若a+b=6,ab=4,求(a﹣b)2的值.
31.某公司门前一块长为(6a+2b)米,宽为(4a+2b)米的长方形空地要铺地砖,如图所示,空白的A、B两正方形区域是建筑物,不需要铺地砖.两正方形区域的边长为(a+b)米.
(1)求铺设地砖的面积是多少平方米;
(2)当a=2,b=3时,需要铺地砖的面积是多少?
(3)在
(2)的条件下,某种道路防滑地砖的规格是:
正方形,边长为0.2米,每块1.5元,不考虑其他因素,如果要购买此种地砖,需要多少钱?
32.要说明(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立,三位同学分别提供了一种思路,请根据他们的思路写出推理过程.
(1)小刚说:
可以根据乘方的意义来说明等式成立;
(2)小王说:
可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立;
(3)小丽说:
可以构造图形,通过计算面积来说明等式成立.
33.若一个正整数M能表示为四个连续正整数的积,即:
M=a(a+1)(a+2)(a+3)(其中a为正整数),则称M是“续积数”,例如:
24=1×2×3×4,360=3×4×5×6,所以24和360都是“续积数”.
(1)判断224是否为“续积数”,并说明理由;
(2)证明:
若M是“续积数”,则M+1是某一个多项式的平方.
参考答案
1.【解答】解:
∵a+
=3,
∴
,
∴
,
∴a2+
=7,
故选:
B.
2.【解答】解:
A、(x2)3=x6,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、(﹣x)2•x=x3,原计算正确,故此选项符合题意;
C、(﹣2ab2)2=4a2b4,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,原计算错误,故此选项不符合题意;
故选:
B.
3.【解答】解:
A、a2+a2=2a2,原计算错误,故此选项不合题意;
B、a2•a4=a6,原计算错误,故此选项不合题意;
C、(a2)4=a8,原计算正确,故此选项合题意;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,原计算错误,故此选项不合题意.
故选:
C.
4.【解答】解:
A、a2与a3不能合并,所以A选项错误;
B、m8÷m4=m4,所以B选项正确;
C、(a+b)2=a2+2ab+b2,所以C选项错误;
D、(﹣2m2)3=﹣8m6,所以D选项错误.
故选:
B.
5.【解答】解:
A、a2•a3=a5,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、(a+b)2=a2+2ab+b2,原计算错误,故此选项不符合题意;
C、(﹣2a)3=﹣8a3,原计算正确,故此选项符合题意;
D、a2+a2=2a2,原计算错误,故此选项不符合题意.
故选:
C.
6.【解答】解:
设AB=a,AD=b,由题意得,
8a+8b=24,2a2+2b2=12,
即a+b=3,a2+b2=6,
∴ab=
=
=
,
即长方形ABCD的面积为
,
故选:
B.
7.【解答】解:
长方形的周长为36,其中一边长为x(x>0),则另一边长为
36÷2﹣x=18﹣x,
∴y=x(18﹣x)
故选:
A.
8.【解答】解:
∵每一种卡片10张,并且每种卡片至少取1张,拼成的正方形,
∴正方形的边长可以为:
(a+b),(a+2b),(a+3b),(2a+b),(2a+2b),(3a+b)六种情况;
(注意每一种卡片至少用1张,至多用10张)
即:
(a+b)2=a2+2ab+b2,需要A卡片1张,B卡片2张,C卡片1张;
(a+2b)2=a2+4ab+4b2,需要A卡片1张,B卡片4张,C卡片4张;
(a+3b)2=a2+6ab+9b2,需要A卡片1张,B卡片6张,C卡片9张;
(2a+b)2=4a2+4ab+b2,需要A卡片4张,B卡片4张,C卡片1张;
(2a+2b)2=4a2+8ab+4b2,需要A卡片4张,B卡片8张,C卡片4张;
(3a+b)2=9a2+6ab+b2,需要A卡片9张,B卡片6张,C卡片1张;
故选:
C.
9.【解答】解:
设这个正方形的边长为x,
则(x+3)2=x2+99,
解得:
x=15cm.
故选:
C.
10.【解答】解:
∵4x2+ax+121是一个完全平方式,
∴ax=±2•2x•11,
解得:
a=±44,
故选:
C.
11.【解答】解:
∵x2+mx+49是一个完全平方式,
∴①x2+mx+49=(x+7)2+(m﹣14)x,
∴m﹣14=0,m=14;
②x2+mx+49=(x﹣7)2+(m+14)x,
∴m+14=0,m=﹣14;
∴m=±14;
故选:
D.
12.【解答】解:
∵x2+8x+m2是一个完全平方式,
∴m2=16,
解得:
m=±4.
故选:
C.
13.【解答】解:
中间项为加上或减去x和2乘积的2倍,
故a=±4.
故选:
C.
14.【解答】解:
∵9x2+Kxy+y2=(3x)2+Kxy+y2,
∴Kxy=±2×3xy,
解得K=±6.
故选:
C.
15.【解答】解:
∵a+b=7,ab=12,
∴a2+b2
=(a+b)2﹣2ab
=72﹣2×12
=25.
故答案为:
25.
16.【解答】解:
(a+b)2=a2+b2+2ab=17①,
(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=11②,
①+②得:
2(a2+b2)=28,
∴a2+b2=14.
故答案为14.
17.【解答】解:
∵a+b=5,
∴a2+2ab+b2=25,
∵ab=3,
∴a2+b2=19,
∴a2﹣ab+b2=16.
故答案为:
16.
18.【解答】解:
∵ab=﹣2,a2+b2=5,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,=a2+b2﹣2ab=5﹣2×(﹣2)=9.
故答案为:
9.
19.【解答】解:
将a+b=3平方得:
(a+b)2=a2+2ab+b2=9,
把ab=2代入得:
a2+b2=5,
则(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=5﹣4=1.
故答案为:
1.
20.【解答】解:
∵a2+ka+25是完全平方式,
∴ka=±2×a×5,
∴k=±10,
故答案为:
±10.
21.【解答】解:
∵4x2﹣mx+25是一个完全平方式,
∴mx=±2•2x×5=±20x,
∴m=±20,
故答案为±20.
22.【解答】解:
∵x2﹣10x+m2是一个完全平方式,
∴m=±5,
故答案为:
±5.
23.【解答】解:
由题可知,25张卡片总面积为4a2+12ab+9b2,
∵4a2+6ab+9b2=(2a+3b)2,
∴这个正方形边长为2a+3b.
故答案为:
2a+3b.
24.【解答】解:
∵(x±6)2=x2±12x+36=x2﹣mx+36,
∴m=±12.
故答案为:
±12.
25.【解答】解:
(1)∵a+b=5,ab=3,
∴(a+b)2=25,
∴a2+2ab+b2=25,
∴a2+b2=25﹣2ab=25﹣6=19;
(2)∵a2+b2=19,ab=3,
∴a2+b2﹣2ab=13,
∴(a﹣b)2=13,
∴a﹣b=±
.
26.【解答】解:
因为x﹣y=1,
所以(x﹣y)2=1,
即x2+y2﹣2xy=1;
因为x2+y2=9,
所以2xy=9﹣1,
解得xy=4,
即xy的值是4.
27.【解答】解:
(m﹣53)2+(m﹣47)2
=[(m﹣53)﹣(m﹣47)]2+2(m﹣53)(m﹣47)=(﹣6)2+2×12=60.
28.【解答】解:
(1)∵(x+3)(y+3)=12,
∴xy+3x+3y+9=12,
则xy+3(x+y)=3,
将x+y=2代入得xy+6=3,
则xy=﹣3;
(2)当xy=﹣3、x+y=2时,
原式=(x+y)2+xy=22+(﹣3)=4﹣3=1.
29.【解答】解:
(1)∵am=2,an=3,
∴a3m+2n=a3m•a2n=(am)3•(an)2=23×32=72;
(2)∵a﹣b=4,ab=3,
∴a2﹣5ab+b2=(a﹣b)2﹣3ab=42﹣3×3=16﹣9=7.
30.【解答】解:
(1)如图所示;
(2)方法1:
大正方形的边长为(m+n),因此面积为:
(m+n)•(m+n)=(m+n)2;
方法2:
大正方形的面积等于各个部分的面积和,
即边长为(m﹣n)的正方形的面积与4个长为m,宽为n的长方形的面积和,
即(m﹣n)2+4mn;
(3)(m+n)2=(m﹣n)2+4mn;
(4)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=62﹣4×4=36﹣16=20.
31.【解答】解:
(1)根据题意得:
铺设地砖的面积为(6a+2b)(4a+2b)﹣2(a+b)2
=24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2
=22a2+16ab+2b2(平方米);
(2)当a=2,b=3时,原式=88+96+18=202(平方米);
(3)根据题意得:
202÷0.22×1.5
=202÷0.04×1.5
=7575(元).
32.解:
(1)小刚:
(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;
(2)小王:
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2;
(3)小丽:
如图所示:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc,
33.【解答】解:
(1)因为2×3×4×5=120,3×4×5×6=360,120<224<360,
所以224不是“续积数”;
(2)∵M是“续积数”,
设四个连续的正整数分别为:
n,n+1,n+2,n+3
所以M=n(n+1)(n+2)(n+3)
所以M+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2