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磁各向异性

第四章磁各向异性，磁畴和超顺磁

（LisaTauxe著，刘青松译）

推荐读物

关于专业背景知识，可以阅读Butler（1992）第三章（pp.4155）

关于统计力学的背景知识，参见http:

//en.wikipedia.org/wiki/Statisticalmechanics

更多信息详见DunlopandÖzdemir（1997）第2.8和5章

4.1前言

由第3章我们得知，即使在无外场的情况下，一些晶体中的电子自旋也会按照一定方式排列，从而产生自发磁化强度。

这些铁磁性的颗粒能够携带古地磁场信息，这便是古地磁学的基础。

到底是什么原因使得这些磁性颗粒能够沿着古地磁场方向排列并达到平衡状态？

是什么原因使得岩石最终锁定这些剩磁，以至于在数百万甚至数十亿年后还能被地质学家测得？

我们将再下面几章回答这些问题。

图4.1：

a）磁铁矿八面体。

b）晶体内部结构。

大个的红球代表氧离子，蓝色和黄色小球是在八面体和四面体中的铁离子。

在A区只有Fe3+，在B区有Fe3+和Fe2+。

c）在一个磁铁矿晶体内部随方向变化的磁晶体各向异性能。

易磁化轴（能量最低）沿着晶体对角线方向（改自Williams和Dunlop,1995）。

d）一个磁铁矿立方晶体的磁化强度随外场变化的模拟结果。

外场从饱和状态逐渐减小到0，然后变号并且朝反方向逐渐增大。

[111]为易磁化轴，沿对角线方向且能量最低。

[001]为边线方向，是难磁化轴，能量最高。

首先我们讨论第二个问题：

磁化强度沿某一特定方向排列的机制是什么？

简单说来就是在磁晶体中，某些方向处于低能状态，而在另外一些方向则处于高能状态。

因此，为了使得磁化强度从一个易磁化轴转换到另外一个易磁化轴，就需要能量。

如果这个能垒（energybarrier）比较高，那么磁性颗粒就能够在非常长的时期内在某一特定方向保持磁化状态。

下面我们将讨论是什么造成了这一能垒。

4.2颗粒的磁能

4.2.1磁矩与外场

由经验得知，磁场对应着某种能量。

和处于重力场中的物体存在势能一样，磁矩放在磁场中也存在能量。

这个能量有多种叫法，在此我们称之为静磁相互作用能密度（magnetostaticinteractionenergydensity,Eh）：

当M沿着B的方向时Eh最小。

正是这个能量使得磁针向外场方向偏转，从而达到能量最低状态。

图4.2:

磁铁矿的K1和K2随着温度变化的曲线（改自Dunlop和Ozdemir,1997）。

4.2.2交换能

在第三章中我们得知，由于量子机制，一些晶体具有铁磁性。

在一些晶体中，相邻的电子轨道“互知”彼此的状态。

为了避免两个相同的旋转状态共享一个轨道（泡利不相容原理），这些电子自旋按照一定方式排列。

根据它们的相互作用状态，它们或者平行或者反向平行。

磁交换能密度是自发磁化强度的源。

对于一对电子自旋，其表达式为：

其中Je是交换常量。

Si和Sj是自旋矢量。

根据晶体结构不同，磁交换能在电子自旋方向平行或者反向平行时达到最小。

图4.3：

磁铁矿的饱和剩磁随温度变化曲线。

当经过Verwey转换点时，部分磁化强度消失。

此图修改自InstituteforRockMagnetism的岩石磁学图集（RockmagneticBestiary）

我们定义一个交换常量A=JeS2/a，其中a是两个相互作用粒子之间的距离。

对于磁铁矿，A=1.3310-11Jm-1。

在磁性晶体中，与s轨道不同，电子的3d轨道是各向异性的。

因此，在晶体内部，电子自旋在某些方向更容易排列。

这可以由图4.1证明。

对于磁铁矿的八面体（图4.1a），当在原子级别观测时，它包含了一个Fe2+，两个Fe3+和四个O2-。

通过共价键，每一个氧原子和相邻的两个阳离子共同拥有一个电子。

在第三章我们提到，在某些晶体中，电子自旋按反方向平行排列，但是它还是拥有一个磁化强度，这一现象称之为亚铁磁性。

这主要由于并不是所有的阳离子都有相同数目的不配对电子自旋。

例如磁铁矿，它同时具有Fe2+（4mb）和Fe3+（5mb）两种状态的铁离子。

在一个磁铁矿的晶体中，有三个铁离子（总共14mb）。

由图4.1b可知，所有的Fe3+都在A区中。

而在B区中具有同等数目的Fe3+和Fe2+。

因为在A区和B区的铁离子自旋方向相反，所以B区有9mb，而A区有4mb，二者相减得出每一个磁铁矿的晶格单位具有5mb。

4.2.3磁晶体各向异性能

图4.1c显示了在磁铁矿内部磁矩能量的空间分布。

在[001],[010]和[100]方向能量最大，而在体对角线[111]方向能量最小。

这一分布代表着磁晶体各向异性能（magnetocrystallineanisotropyenergy,Ea）。

在一个立方体晶体中，方向余弦为1,2和3（详见第一章的附录），那么磁晶体各向异性能密度为：

其中K1和K2是由实验测定的磁晶体各向异性常量。

在室温，K1=1.35104Jm-3。

当K1为负时，Ea沿着[111]方向最小。

图4.4：

a）在一个铁磁晶体内部的磁化强度分布。

b）由一系列的面单极子产生的等效外磁场.c）由面极子产生的内部退磁场（改自O’Reilly[1984]）。

d）球上的面极子。

e）椭球上的面极子，其磁化强度沿着长轴方向。

f）椭球上的面极子，其磁化强度沿着短轴方向。

由于磁晶体各向异性能的存在，一旦磁化强度沿着易磁化轴方向，要想改变它就一定要做功。

图1.4d展示了一个立方体磁铁矿的磁化强度变化随着外场变化的数值模拟结果。

沿着[111]方向的磁化强度比沿着[001]方向的磁化强度要难于改变。

在外场中，一个特定颗粒或者一组颗粒的磁化强度克服能垒从一个易磁化轴偏转向另外一个易磁化轴。

为了衡量这一稳定性，我们定义一个偏转场，叫做矫顽场或者矫顽力（在cgs和SI系统中，其符号分别为Hc和Bc，相对应的单位为A/m和T）。

在以下章节中，将对矫顽力进行详细讨论。

除了向磁铁矿这样具有立方体的晶体对称性，另外一个就是单轴对称性，主要由晶体形状或者结构确定。

对于单轴磁各向异性能密度，其表达式为：

在这个等式中，当Ku为负，磁化强度则沿着垂直于对称轴。

而当Ku>0，磁化强度则平行于对称轴。

具有单轴对称性的代表磁性矿物为赤铁矿。

赤铁矿的磁化强度机制很复杂。

其中一种机制是由在其六角基面内的电子自旋斜交（spin-canting）引起（见第三章）。

在这一基面内，其各向异性常量很小，磁化强度可以自由转动。

而在垂直于基面的方向，各向异性能量很大。

因此，赤铁矿的磁化强度被限制在其晶体基面内。

因为电子相互作用与其空间距离密切相关，磁晶体各向异性常量是温度的函数（见图4.2）。

对于磁铁矿，K1变换符号的温度点叫各向同性点（isotropicpoint）。

在这个各向同性点，磁晶体各向异性常量的值非常小。

因此原来保持产强度于对角线方向的能量消失，这样在晶体内部，磁化强度矢量可以自由移动。

当低于各向同性点时，能垒逐渐增加，但是此时沿着晶体边线方向能量最小。

队对角线方向能量反而变为最大。

在室温，B区Fe2+和Fe3+的电子可以自由跳动，所以没有规律的排序（order）现象。

但是在大约120K，Fe2+和Fe3+的电子开始按一定方式排序。

因为这两种铁离子具有不同的离子半径，因此磁铁矿的晶格会稍微扭曲成单斜状。

这一转换就是Verwey转换。

虽然各向同性和Verwey温度转换点相差大约15K，二者是相关的两种现象（电子跳动与排序造成K1变号）。

在低温时，磁晶体各向异性的变化对剩磁强度的影响非常大。

图4.3显示了一条磁铁矿典型的剩磁随温度变化曲线。

在100K，剩磁开始退减。

这一现象叫做低温退磁（LTD）。

然而，部分磁化强度在经过零场低温旋回后总能部分恢复（叫做低温剩磁记忆），所以应用低温退磁受到一定的限制。

图4.5：

在纳米级尺度驰豫时间（relaxationtime）和颗粒粒径的关系图。

图4.6：

球形磁铁矿的自发能随颗粒粒径的变化曲线。

4.2.4磁应力各向异性能

因为磁交换能强烈依赖于相邻原子间电子轨道的物理相互作用，改变这些原子的相互位置必然会影响到它们之间的相互作用关系。

同样，改变晶体的携带的磁化强度也能够通过原子轨道的形状从而改变其晶体形状。

这一现象叫做磁致伸缩（magnetostriction）。

通过对晶体施加应力造成晶体的各向异性能可以近似地表达为：

其中

是实验测定的常量，是应力，是应力与晶体c轴的夹角。

对于磁铁矿，其

大约为4010-6。

注意到磁应力各向异性能和单轴各向异性能的形式具有相似性，因此在晶体内部只能产生一个易磁化轴。

4.2.5静磁能或者形状各向异性能

还有一种重要的磁各向异性能的来源：

形状。

在理解为什么晶体形状能够控制磁能之前，我们需要了解被磁化了的晶体内部的退磁场。

图4.4a显示了一个铁磁晶体内部的磁矢量分布。

在晶体外部，产生了一个与磁矩正相关的外磁场（见第一章）。

这个外磁场等效于由一系列分布在晶体表面上自由极子产生的磁场（图4.4b）。

这些面极子不但产生外磁场，而且在晶体内部也一样产生磁场（图4.4c）。

这种内部的磁场叫做退磁场（demagnetizingfield,Hd）。

Hd与磁矩成正比并且与晶体形状密切相关。

对于一个简单的椭球（见图4.4），其Hd为：

其中N是由形状决定的退磁系数（demagnetizingfactor）。

对于一个球来说，其面极子大部分分布在极点附近，而很少在赤道附近（见图4.4d）。

面极子的密度为

。

根据位场理论，一个均一磁化的球产生的外场等效于由一个在球重心的偶极子（m=vM）产生的场。

在球的赤道，Hd=NM。

而在赤道的外场为

注意到磁化强度是单位体积磁矩，球的体积为

，我们得到：

，

因此

，从而N=1/3。

图4.7:

随着颗粒粒径的增加，为了减小自发能，磁铁矿具有的可能的几种磁化模式。

a）“花”状,b）“涡旋”状。

（引自Tauxeetal.,2002）

非球形晶体的面极子分布并不均匀，所以它的退磁系数N是一个方向的函数。

对于一个沿着长轴方向磁化的椭球，其自由面极子分离得更远一些。

因为退磁场是1/r2的函数，所以其相应的退磁系数要比球形的小，也就是Na<1/3。

同样，当沿着短轴b磁化时，其相应的Nb>1/3。

当考虑椭球的三个轴时，Na+Nb+Nc=1（SI单位，当应用cgs系统时，其值为4）。

现在回头考虑各向异性能，由晶体外部磁场产生的能量叫做静磁能（magnetostaticenergy）：

其中Na和Nc是沿着长轴和短轴的退磁系数。

对于一个磁颗粒，这个表达式可以通过对单位体积的位场能

进行积分得到。

式子中的1/2是为了避免重复计算每一个体积元。

上式缺少体积v是因为我们考虑的是能密度，也就是单位体积中的能。

静磁能与单轴各向异性能由相似的表达式，其各向异性常量为

。

图4.8：

对于一个特定形状的颗粒所对应的不同磁畴状态。

a）均匀磁化（单畴）。

b）双畴。

c）平行排列的四畴。

d）双畴与双闭合磁畴。

对于一个加长的椭球，Nc=Nb，并且a/c=1.5,NaNc=0.16,

。

磁铁矿的磁化强度为4.8105Am-1。

所以其Ku约等于2.3104Jm3。

这个值比磁铁矿的磁晶体各向异性能（K1=1.35104Jm-3）大。

所以即使是稍微加长的磁铁矿颗粒，它也由形状各向异性能控制。

同理，磁化强度很低的矿物不可能由形状各向异性能控制。

4.2.6热能

至此，我们已经部分回答了本章开始时提出的问题。

磁各向异性能能够使得磁化强度长久保存。

接下来一个相关的问题就是：

什么使得磁化强度与外场逐渐达到平衡状态。

问题的关键在于要找到一种机制能够使得磁矩克服磁各向异性能垒，其中一种答案就是热能，可以表达为：

ET=kT

其中kT就是热能（见第三章）。

假想一堆随机排列的磁性颗粒，这些颗粒均匀磁化并且由单轴各向异性能控制。

假设这堆磁性颗粒具有一个初始的磁化强度M0，并且放在一个零磁空间中。

那么各向异性能会使得每一个小磁矩都保持在原有的方向，且不随时间改变。

然而当存在热能时，一些磁性颗粒会获得足够的能量克服能垒，从而能够偏转它们的磁矩到新的易磁化轴。

随着时间的推移，这些磁矩会逐渐变成随机排列。

图4.9：

可能的磁畴壁结构.a）从一个原子到另外一个原子180度转变。

这种情况下，磁畴壁非常的薄，但是交换能非常高。

b）逐渐变化的磁畴壁[其中每一个箭头代表几十个单位晶格]。

这种情况下，交换能非常低，但是从磁晶体的观点来看，有更多的电子自旋处于非稳定方向。

从统计理论可知，给定一个热能，那么具有这个热能的颗粒的概率密度为

。

所以一个颗粒需要时间t才能逐渐获得足够的热能，从而克服能垒。

因此，根据这一简单模型，磁化强度隋时间逐渐衰减，并服从如下规律：

其中t是时间，是一个经验常量，称为驰豫时间。

这一时间可以使得磁化强度衰减到M0的1/e。

这个等式是尼尔理论的基础。

的值取决于磁各向异性能和热能之间的相互作用。

它可以衡量一个颗粒拥有足够的能量克服能垒并翻转其磁矩的概率。

因此在零场中：

其中C是一个频率常量，其值大约为1010s-1。

各向异性能是K（Ku,K1或者）和体积v的乘积。

这样就正比于矫顽力和体积，同时反比于温度。

微小的体积和温度变化可以引起的剧烈改变。

颗粒从一种不稳定状态（为秒）到稳定状态（为百万年）具有突变特征。

为了解释这一过程，我们来探讨磁铁矿。

取K＝K1,对于立方体磁铁矿v=d3（见图4.5）。

图4.5只考虑等维的磁铁矿。

但是应该记住Kv受形状的影响很大，即颗粒越长其稳定性久越大。

这一点将在本章的最后进行讨论。

图4.10:

球形磁铁矿的自发能和磁畴壁的能量随着颗粒粒径变化的比较图。

当颗粒的为102103秒时，它就能获得充足的热能克服能垒，因此在实验室的时间尺度它不稳定。

在零场中，这些颗粒的磁化强度会迅速随机排列。

而在有场的情况下，这些颗粒的磁化强度会迅速沿着外场方向排列。

获得的静磁化强度与外场关系符合Langevin方程（见第三章）。

因此，这一行为与顺磁性相似，因此叫做超顺磁（superparamagnetic,SP）。

这种颗粒很容易与顺磁物质区分开。

因为使SP颗粒达到饱和所需的磁场远远小于1T。

然而对于顺磁颗粒，其饱和场可能超过几百个特斯拉。

4.3磁畴

4.3.1磁畴的基本理论

到此为止我们讨论了均匀磁化的磁性颗粒。

在图4.4a中，我们注意到有一个与磁性颗粒产生的外场相关的能量。

这个自发能（selfenergy）密度为：

有必要考虑这个自发能随着颗粒体积的变化规律。

图4.6展示了一个球（半径为r，体积为4/3r3）的自发能（单位：

焦耳）随着体积的变化曲线。

式中，M=4.8105Am1，0=4107Hm1。

具有强磁化强度的颗粒（如磁铁矿）其自发能随着体积增大能够迅速增大。

前面我们已经学习了几种使得磁电子自旋偏转的机制。

事实上，在某些非常小的颗粒中，这些电子自旋最终定向排列。

这种颗粒被均匀磁化，并被称为单畴（singledomain,SD）。

在更大的颗粒中，自发能能够超越磁交换能和磁晶体各向异性能，因此不存在均一磁化。

有很多机制都能够有效地减小自发能。

数值方法（微磁方法）能够算出颗粒能量处于最小状态时内部磁化的分布形态。

因此这种方法能够使我们深入了解颗粒内部的磁化强度状态。

数值模拟的结果显示了非常复杂的从花状（图4.7a）到涡旋状的一系列的磁畴状态。

图4.11：

a）对磁铁矿可能的磁畴结构的理论预测.b）一个抛光的磁铁矿剖面的Bitter形态.c）对磁化强度的解释[图件来自于Dunlop和Ozdemir,1997]。

当颗粒长得更大时，它的内部分裂成诸多区间，每一区间都具有均匀磁化强度，这些区间叫做磁畴（magneticdomain），并被磁畴壁分隔。

在磁畴壁中电子自旋状态迅速从一个方向转换为另外一个方向。

磁畴可以有多种形式。

图8中我们列举了一些。

图4.8a代表均匀磁化的情形。

因为自由极子远远分开，这种磁畴的外场非常大。

当颗粒具有两个磁畴时（图4.8b），外场减小了两倍。

对于平行的四极子情形，外场非常小。

引进闭合磁畴可使得外场变为零。

也许你已经想到磁畴壁不能独立存在。

如果电子自旋只是简单地从一个方向变为反向，那么相关的交换能就很大。

然而如果电子自旋方向经历几百个原子而逐渐变化的话（见图4.9b），这一问题久可以解决。

磁畴壁越宽，消耗的交换能越小。

然而，在这种状态下，有些电子自旋的方向处于难磁化轴方向。

因此如果磁交换能占主导，那么磁畴壁就较宽。

如果磁晶体各向异性能为主，磁畴壁就比较窄。

磁畴壁的宽度w和能量Ew可以表达为（Dunlop&Ozdemir,1997,pp.117118）：

其中A是交换常量，K是磁各向异性常量（例如Ku或者K1）。

对于磁铁矿，带入相关参数我们得到w=0.28nm,Ew=2.310-3Jm-2。

图4.12：

磁铁矿颗粒中磁畴数与颗粒大小的关系曲线。

实线是理论预测曲线，黑点代表观测数据（Ozdemir和Dunlop，1997）。

图10对比了球形磁铁矿的自发能和磁畴壁能。

当颗粒为一微米的几十分之一时，其磁畴壁能远远小于其自发能。

同时磁畴壁的宽度也为这个量级。

因此最小的磁畴壁类似于涡旋状态，只有颗粒的大小达到1微米时，磁畴才会分裂，真正的磁畴壁才存在。

最后微米也由可能预测一个磁铁矿颗粒中的磁畴数目。

假设磁铁矿立方体中存在平行磁畴，Dunlop和Ozdemir推导出如下的公式:

（4.6）

其中Z是包含磁应力能和磁畴壁能的常量，a和b是颗粒的长与宽。

对于磁铁矿，Z约为1.1103。

对于一个100微米大的等维磁铁矿，其估算的磁畴数目为11个。

图4.13：

在室温情况下，对不同大小的磁铁矿颗粒的磁畴状态预测图。

a和b是颗粒的长与宽。

[改自Evans和McElhinny,1969]。

4.3.2一些实验结果

我们怎样才能证实有关磁畴理论的一些预测呢？

磁畴真的存在么？

它们的大小和形状符合我们的预测么？

为了回答这些问题，我们需要一种方法来观测磁畴的形状。

Bitter（1931）设计了一种有效的方法。

其原理为，磁畴壁上方的磁场梯度比较大（磁畴恰恰相反）。

这样在一个抛光的磁性颗粒表面，一些悬浮的磁性物质会聚集在磁畴壁上方，从而有效地勾勒出磁畴的形态。

这里我们展示了一个大磁铁矿颗粒内部的磁畴结构（图4.11b，来自Dunlop和Ozdemir,1997）。

可见如果仔细设计实验，磁畴的大小，形状和空间走向都能够有效地确定。

有关磁铁矿颗粒的大小与其所含磁畴数目的关系，Ozdemir和Dunlop（1997）提供了最好的数据。

图4.12展示这些数据以及根据等式4.6预测的理论曲线。

对于小颗粒来说，看起来其具有太多的磁畴，而对于大颗粒来说，又具有太少的磁畴。

Halgedahl和Fuller（1980）认为对于钛磁铁矿来说，它实际包含的磁畴数目比预测的远远要少。

这主要是因为在前面的理论中没有有效地考虑磁畴壁的影响。

现在我们可以把前面讨论的所有知识联系起来，从而探讨什么样的磁性颗粒属于超顺磁，单畴和多畴。

Evans和McElhinny（1969）提供了一种简洁的解释。

事实上，对于等轴磁铁矿，没有真正意义上稳定的单畴状态。

它们或者是SP，或者是MD。

当颗粒的宽长比逐渐较小（颗粒变得越来越长），对应于SD行为的粒径区间也越来越大。

理论数值模拟表明，在SD和MD状态之间有几种中间状态，花状或者涡旋状态。

尽管如此，图4.13或者相似的图件（Bulter和Banerjeem1975）还是有其实际的应用价值，至今还被广泛地应用。

参考文献

Bitter,.（1931）,Phys.Rev38,1903–1905.

Butler,R.F.（1992）,Paleomagnetism:

MagneticDomainstoGeologicTerranes,BlackwellScientificPublications.

Butler,R.F.&Banerjee,S.K.（1975）,‘Theoreticalsingledomaingrain-sizerangeinmagnetiteandtitanomagnetite’,Jour.Geophys.Res.80,4049–4058.

Dunlop,D.&Ozdemir,O.（1997）,RockMagnetism:

FundamentalsandFrontiers,CambridgeUniversityPress.

Evans,M.E.&NcElhinny,M.W.（1969）,‘Aninvestigationoftheoriginofstableremanenceinmagnetite-bearingigneousrocks’,J.Geomag.Geoelectr.21,757–773.

Halgedahl,S.&Fuller,M.（1980）,‘Magneticdomainobservationsofnucleationprocessesinfineparticlesofintermediatetitanomagnetite’,Nature288,70–72.

Neel,L.（1955）,‘SomeTheoreticalAspectsofRock-Magnetism’,Adv.Phys4,191–243.

Ozdemir,O.&Dunlop,D.J.（1997）,J.Geophys.Res102,20211–20224.

Schabes,M.E.&Bertram,H.N.（1988）,‘Magnetizationprocessesinferromagneticcubes’,J.Appl.Phys.64,1347–1357.

Tauxe,L.,Bertram,H.&Seberino,C.（2002）,‘Physicalinterpretationofhysteresisloops:

Micromagneticmodellingoffineparticlemagnetite’,Geochem.,Geophys.,Geosyst.3,DOI10.1029/2001GC000280.

Williams,W.&Dunlop,D.（1995）,‘Simulationofmagnetichysteresisinpseudo-single-domaingrainsofmagnetite’,J.Geophys.Res.100,3859–3871.