磁场的最小面积.docx

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磁场的最小面积

磁场的最小面积

磁场的最小面积

1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。

后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m,B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界

与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。

M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s2．

（1）请分析判断匀强电场E1的方向并求出微粒的运动速度v；

（2）匀强磁场B2的大小为多大？

；

（3）B2磁场区域的最小面积为多少？

答案

1．解：

粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r，

①

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。

过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。

作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点。

这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得

L=3r②

由①、②求得

③

图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得

④

2．解：

（1）由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛仑兹力的作用，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成60°角斜向下．　　（2分）

由力的平衡有

Eq=B1qv　　　　　　　　　　　　　（2分）

∴

（1分）

（2）画出微粒的运动轨迹如图．

由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为

　　　　　（2分）

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即

　　　　　　　　（2分）

解之得

　　（2分）

（3）由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内．由几何关系易得

　　　　　（1分）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1分）

所以，所求磁场的最小面积为

　　　　　（2分）

3．解：

4．解析：

（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。

令圆弧

是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。

电子所受到的磁场的作用力

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。

圆弧

的圆心在CB边或其延长线上。

依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为

按照牛顿定律有

联立①②式得

（2）由

（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自

点垂直于

入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。

因而，圆弧

是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为

（不妨设

）的情形。

该电子的运动轨迹

如右图所示。

图中，圆弧

的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧

的半径仍为

，在D为原点、DC为x轴，AD为

轴的坐标系中，P点的坐标

为

这意味着，在范围

内，p点形成以D为圆心、

为半径的四分之一圆周

，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以

和

为圆心、

为半径的两个四分之一圆周

和

所围成的，其面积为