江西财经大学历年微积分2试题.docx
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江西财经大学历年微积分2试题
江西财经大学
06-07学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：
03034A
授课课时：
64
课程名称：
微积分H
适用对象：
2006级
试卷命题人邹玉仁
试卷审核人
王平平
、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置.答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）
1.若f（x）dxg（x）c，贝卩sinxf（cosx）dx
2.极限lim
x0
cos2tdt
3.已知zxy而xtan（st）,ycot（st）则-?
s
4.设D（x,y）0x1,0y1贝Uxexyd.
D
5.微分方程y2y0的通解为.
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）
11x2dx.
C.（sinx2cosx）dxD.
1x
3.函数zf（x,y）在点（X0,y°）处可微的充分条件是函数在该点处
A.
11
0dy0f（x,y）dx
B.
y
dy
0J
1
0f（x,y）dx
C.
1y
0dy0f（x,y）dx
D.
1
dy
0丿
1
yf（x,y）dx.
5.
下列级数收敛的是
■
A.
n3
B
n
（"）
n11n
n12nn1
C.
-（f）n
n1n3
D.
n!
n・n1n
三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.）
1.x&2.:
代）3.请给出第七章（定积分）的知识小
结.
四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）已知方程xyzexz确定函数zz（x,y）求dz.
五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求初值问题的解
dy（2xy）dx
yxo0
七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幂级数
（1）nnxn的收敛半径，收敛区间.并求斗的和.
n0n03
八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求由yx2与xy2所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x轴，y轴旋转所成的体积
九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
2/36
某厂生产某种产品的生产函数为Q0.005x2y，若甲、乙两种原料的单价分别
为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？
最大生产量为多少？
十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）
设f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且有f（xM及f（a）0，试证：
江西财经大学
06-07学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准
试卷代码：
03034A授课课时：
64
课程名称：
微积分H适用对象：
2006级
试卷命题人邹玉仁试卷审核人王平平
、1.g（cosx）c2.13.
2
sec（st）cot（st）
2
tan（st）csc（st）
4.e25.
yc1cos、2xc2sin..2x
二、12
34
5
三、1.
x2exdx
2x2x
xdexe
x2ex
2xex2exc
2.t
、xxt
2
4dx
22tdt
211
2（）dt
1t1t
1x（1x）
1t2（1t）
2xexdx
2xxe
2xdex
x2ex2xex2exdx
t
2
2
1
4
2ln
2ln
-2ln
—
2ln—
1t
1
3
2
3
四、F（x,y,z）xyzexz
Fxyexz
Fy
x
Fz1exz
zFx
y
xze
y
xy
z
xFz
1
xze
xy
z
1
ZFyxx
yFZ1exzxyz1
z
dz一dx
x
z
—dy
y
yxyxyz
zdx
1
xyz
In（1
D
）d
1
Jn（1r）rdr
1
0^
22
r）dr
2
In（1r）
1r2
r
01
dr2
In2
1
0叩
Jdr2r
In2r
ln（1
r2）
In2
In2
2In2
（2In2
1）
六、y
y2x
f
（1）dx
2xe
（1）dx
dx
ex
2xe
xdx
2xdex
2xex
xdxc
2x
2cex
因为yX00
所以
所求特解为
2（ex
1）
七、R旦-
an1n1
n（
1）n
发散
收敛区间为（
1,1）
设S（x）
n
nx
0
nx
0
设T（x）
nnx
0
则：
T（x）dx
n
nx
0
1dx
T（x）12
（1x）2
八、
所以S（x）xT（x）
（1x）2
n
3n
（1
9
Vx
Vy
C-.x
x2）dx
10
22
（x）dx
（y2）2dy
3
10
九、解F（x,y,）0.005x2y
（x2y150）
Fx0.001xy0
Fy0.005x220
x100
y25
Fx2y1500
Q0.005*1002*25
十、f（x）
f（x）f（a）
f（）（x
a）
f（x）M
f（x）
M（xa）
:
f（x）dx
b
Ma（xa）dx
（xa）2
2
1M（ba）2
2
bb
a|f（X）dXaf（X）dX
bM22b
J（X）dX尹a）Maf（X）dX
江西财经大学
07-08学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：
03034A
课程名称：
微积分H
试卷命题人邹玉仁
授课课时：
64
适用对象：
2007级
试卷审核人王平平
—、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置.答错或未答，该题不得
分.每小题3分，共15分.）
1.已知zcos（xy），而y（x）可导,则.
dX
2.若翌dx—c,则f（x）.
X1X
3p时，广义积分2——打pydx发散.
1（x1）2p1
2n
4.若cosx
（1）nX,X（,）,则函数Sin2X的麦克劳林级数等于.
n0（2n）!
5.微分方程yayy0的通解为y°ex汐，则a.
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）
—x
A.
1
-arcsinxc
、.3
B.
arcsir
x
V.3c
C.
[—arcsin,3xc
D.
1二arcsin3xc.
.3
3.
F列结论正确的个数是.
11
（1）x2dxx3dx
00
（2）
e22ex2dx
1
1e
（3）xcosxdx0
（4）
[:
sint2dt]2xsinx2
A.0
B.1C.2
D.3.
4.
1
2df（rcos,rsin
00
）rdr.
A.
11
0dy0f（x,y）dx
B.
11x2
0dx0f（x,y）dy
C.
11
0dx0f（x,y）dy
D.
1
dy
00
1x2
f（x,y）dx.
5.微分方程yy1的通解是
■
A.
ycexB.
、
yce"
<1
C.
ycex1D
y（c
1）ex.
三、
（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，
共16分
1.
xarctanxdx2.
4
dx
1x
”x
A.
xyo
xyeB.
2xyxe
C.exy
D.（1xy）exy
四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知方程xyxsinzyz确定函数zf（x,y），求dz.
求（xy2）d,其中D是由直线y
D
2，yx及y2x围成的区域.
五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求由y去与yX3所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x轴旋转所形成的立体的体积.
七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）判断级数2^1的敛散性.
non51
八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
n
求幂级数-（x1）n的收敛半径，收敛区间
n1n
九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
某工厂生产A、B两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为Qi件和Q2件，价格分别为R元和P2元，且满足关系式Q14（P2R），
Q2804R8P2，试求A、B两种产品的价格R,P2，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）.
十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）设f（x）为连续函数，试证：
xxt
0f（t）（xt）dt0（0f（u）du）dt.
江西财经大学
07-08学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准
试卷代码：
03034A
课程名称：
微积分H
试卷命题人邹玉仁
授课课时：
64
适用对象：
2007级
试卷审核人王平平
、填空题（每小题3分，共15分）
3.
1.sin[x（x）][（x）x（x）]2.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
12345
三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）
4dx
dx
、x（1.x）
LLLLLL
2.
42d.x|
LLLLLL（4分）
1（1x）
2ln（1,x）4LLLLLL（6分）
3
2lnLLLLLL（8分）
2
四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
FxyxsinzyzLLLLLLLL（1分）
FxysinzFyxz,FzxcoszyLLLLLLLL（4分）
z
xzy
Fx
fz
Fy
fz
ysinzLLLLLLLL（5分）xcoszy
LLLLLLLL
xcoszy
dzysinzdxxzdyLLLLLLLL（8分）xcoszyxcoszy
五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
图LLLLLLLLL（1分）
22y2八
（xy2）ddyy（xy2）dxLLLLLLLLL（3分）
0—
D2
21
（-X2xy2）ydyLLLLLLLLL（5分）
022
231
0（8『2y3）dyLLLLLLLLL（6分）
11
（-y3-y4）2LLLLLLLLL（7分）
88
1LLLLLLLLL（8分）
六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
图LLLLLLLLL（1分）
S0C、x
—LL
12
2
x）dxLLLLLLLL（3分）
1
4x4）0LLLLLLLL（4分）
LLLLLL（5分）
Vx:
[（良）2x6]dxLLLLLLLL（7分）
5和LLLLLLLL（8分）
七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
1LLLLLLLL（4分）
由比较判别法的极限形式知级数
1
~3，n1~2
n2
2n_1
0和一
-敛散性相同，
1
n0...n5
（8分）
因为a,所以-2收敛。
n17n0n1
n2
lim电
nan1
lim
n
1
-LLLLLLLL（4分）
e
八、（请写出主要计算步骤及结果，
n
乩收敛，LLLLLLLLL（6分）
所以收敛区间为
九、经济应用题
11
[1丄,1丄）。
LLLLLLLLL（8分）ee
（请写出主要计算步骤及结果，
LPQrF^Q2
2Q1
14Q2
2
8RP24R
8P22
184P2
48R1120LLLLLLL（2分）
Lp18R8R
48
0
LL
LLLLLLL（4分）
Lp28P116£
184
0
解得驻点:
P
P2
LL
LLLLLLL（5分）
ALrPi
80,BLp1p28,CLrr
（15.75,8.5）
LpJ
Lpp©2
640
16
LLLLLLLLL（7分）
所以R15.75P28.5时利润最大。
LLLLLLLLL（8分）
十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）
xxt
设（x）of（t）（xt）dto（of（u）du）dtLLLLLLLLL（1分）
贝U有（x）0f（t）dtxf（x）xf（x）0f（u）duOLLLLLLLLL（3分）
即（x）为常数LLLLLLLLL（4分）
令（x）c贝U（0）:
f（t）（xt）dt：
（：
f（u）du）dt0cLLLLLLLLL（5分）
所以有（x）0:
f（t）（xt）dtf（u）du）dtLLLLLLLLL（6分）
江西财经大学
08-09学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：
03034B授课课时：
64（考试时间：
150分钟）
课程名称：
微积分H适用对象：
2008级
试卷命题人邹玉仁试卷审核人王平平
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.）
1.
若fx（x）,y°）,
fy（X0,y°）存在，则函数
f（x,y）在点（X°,y°）处.
A.一定可微
B.一定连续'
C.有定义D.
无定义
2.
设z（1y）xy,
则Zx（1,1）.
A.
2B.
1C.2ln2
D.ln2.
3.
^设Ilim（~2
$L韦，则I.
nn
nn
A.
1-dxB.
11
2dxC.
1xdxD.1x1
dx.
0x
0x2
00x
4.设f（x）1exdx，贝U°f（x）dx
A.0B.
1
11
C.e
2
D.
扣1°
5.设f（x,y）
sinx，则
x
f（x,y）在由y0,
yx及x
1围成的平面区域D上的平
均值为.
A.1cos1
B.
22cos1
C.1sin1
D.
22sin1
6.设一阶微分方程的通解是yce"，则此微分方程是
A.dyx2ydx0B.dy2xydx0
C.dyx2ydx0D.dy2xydx0.
7•设yf（x）是微分方程y2y3y0满足条件y（0）0,y（0）1的特解，则
f（x）dx.
A.
y
13x
e
1xec
B.
13x
ye
1xe
4
4
12
4
C.
y
13x
e
1xe
D.
13x
ye
1xe.
4
4
12
4
二、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置.答错或未答，该题不得
分.每小题2分，共14分.）
1.已知方程xzInyInx确定函数zf（x,y），则-Zy
2.已知f（x）sinx，贝卩f（x）dx
ax
3.若lim
x0
arctanxdx
0
2
x40xexdx
nc片
5若ex-，则级数心.
non!
n2n!
6.交换二次积分次序:
dy:
f（x,y）dx:
dy°2yf（x,y）dx
7.2（x23x1）
三、求下列积分（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共18分.）
四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
2Z设函数zf（xy,xsiny），求dz和.
xy
五、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）
求由曲线yx2，直线y2x所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕y
轴旋转所形成的立体的体积.
六、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）求（xx2y2）d,其中D：
x2y21.
D
七、判断级数的敛散性，如收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（请写出
主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.）
2n
1.
（1）叫2.
n1n
（1）n1.
n1■.n1
八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求幂级数屮（xi）n的收敛半径，收敛区间及和函数nie
九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
某产品的产量Q与原材料甲，乙，丙的数量x,y，z（单位均为吨）满足
Q0.05xyz，已知甲，乙，丙的价格分别为3，2,4（单位为百元），若用5400元购买甲，乙，丙三种原材料，问购买量分别是多少，可使产量最大.
十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）
设函数f（x）是连续函数，证明：
2aa
（1）0f（x）dx0[f（x）f（2ax）]dx.
（2）（af（x）dx）2（b
a
ba）a
2（x）dx.
江西财经大学
08-09学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准
64
2008级
王平平
试卷代码：
03034B授课课时:
课程名称：
微积分H适用对象:
试卷命题人邹玉仁试卷审核人
一、单项选择题（每小题2分，共14分.）
1.C234.D56.B7.B
二、填空题（每小题2分，共14分.）
1.一2.sinxgxc23.,24.1
xy
12x
5.e6.°dXxf（x,y）dy7.2
三、求下列积分（每小题6分，共18分.）
1.
1
x-x1
dx
帀2从"（2分）
1
22dt
1t2
2arctantcLLLL（4分）
2sint
孑也2costdt
02cost
2arctan、、x1cLLLL（6分）
%n2tdtLLLL
202（1cos2t）dtLLLL（4分）
1-
2（t-sin2t）0LLLL（6分）
2
3.
1
=--ln（1x2）0LLL（4分）
1
2ln2LLL（6分）
四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
z
xzy
f1（x
f1（x
dz
—dx
x
11
y,xsiny）f2（xy,xsiny）sinyLLL（2分）
y,xsiny）f2（xy,xsiny）（xcosy）LLL（4分）
—dy[f1（xy,xsiny）f2（xy,xsiny）siny]dxy
[f1（xy,xsiny）f2（xy,xsiny）（xcosy）]dyLLL（6分）
（xy,xsiny）xcosyf12（xy,xsiny）f21（xy,xsiny）siny
xcosysinyf22（xy,xsiny）cosyf2（xy,xsiny）LLL（8分）
五、
（请写出主要计算步骤及结果，6分.）
Vy
13
0（2xx2）dx（x2-x3）
3
：
（（J）2（-y）2）dy
04LLL（3分）3
1213
（yy）
12
LLL（6分）
六、
（请写出主要计算步骤及结果，
（x
D
22
xy）d
1
0d0（rcosr）rdrL
LL（2分）
七、
1314
（rcosr）034
11
（cos）d
034
-LLL（6分）
2
（请写出主要计算步骤及结果，
0d
LLL（4分）
每小题6分，共12分.）
1.因为
lim
n
Un1
Un
lim
n
n1
（1）n122
（n1）
n
（1）n122
n
（3分）
所以（
n1
n
1）n1$发散。
LLL（6分）
n
2.因为
（1）n1
limn11,01
n1
而l发散，所以
n1n
活I发散。
LLL（3分）
n1
（.1）是交错级数，且满足亠
ni.n1.n1
丄limJ
.n2n.n
所以（上收敛，且为条件收敛。
n1Vn1
LLL（6分）
八、
（请写出主要计算步骤及结果，
x1，则
（1）
n1
n（x1）n
n
e
（1）n
1
lim
n
an
an1
lim
n
eL
（3分）
e,级数
1）nen
e
1）
发散
e,级数
n
1）n£4
e
1发散
1
因此ex1
e,
收敛区间为
1ex1eL
LL（6分）
LL（8分）
九、经济应用题
（请写出主要计算步骤及结果，
拉格朗日函数为L（x,y,z,）0.05xyz（3x2y4z54）LLL（2分）
Lx（x,y,乙由Ly（x,y，z，
Lz（x,y,z,
L（x,y,z,）
0.05yz3
0.05
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