高考调研届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练53.docx

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高考调研届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练53

题组层级快练（五十三）

1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是（　　）

A．a⊥c，b⊥c　　　　　　　B．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

答案　C

解析　对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

2．（2015·成都一诊）设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β

C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

D．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b

答案　C

解析　与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图

（1），设OA∥a，OB∥b，直线OA，OB确定的平面分别交α，β于AC，BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图

（2），直线a，b在平面α内的射影分别为m，n，显然m⊥n，但a，b不垂直，所以D错误，故选C.

3.（2015·沧州七校联考）如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是（　　）

A．CD∥平面PAF

B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB

D．CF⊥平面PAD

答案　D

解析　A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.

4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝

.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

答案　B

解析　对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝

，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.

5.如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

答案　D

解析　因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．

6.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝

，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（　　）

A．A′C⊥BD

B．∠BA′C＝90°

C．CA′与平面A′BD所成的角为30°

D．四面体A′－BCD的体积为

答案　B

解析　取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，∴A′O⊥平面BCD.∵CD⊥BD，

∴OC不垂直于BD，假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD.A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝

，∴A′B⊥A′D，∴A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′－BCD＝

S△A′BD·CD＝

，D错误，故选B.

7.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

答案　①②③

解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.

∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．

8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．

（1）证明：

EF∥平面PAD；

（2）证明：

平面PDC⊥平面PAD；

（3）求四棱锥P—ABCD的体积．

答案　

（1）略　

（2）略　（3）

解析　

（1）如图所示，连接AC.

∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，

∴F也是AC的中点．

又E是PC的中点，EF∥AP，

∵EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.

（2）证明：

∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴CD⊥平面PAD.

∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.

（3）取AD的中点为O.连接PO.

∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，

∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．

∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，

∴四棱锥P—ABCD的体积V＝

PO·AB·AD＝

.

9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.

（1）求证：

BB1⊥平面ABC；

（2）求证：

BC1∥平面CA1D；

（3）求三棱锥B1－A1DC的体积．

答案　

（1）略　

（2）略　（3）

解析　

（1）证明：

∵AC＝BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB.

又∵CD⊥DA1，

∴CD⊥平面ABB1A1.

∴CD⊥BB1.

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，

∴BB1⊥平面ABC.

（2）证明：

连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点．

又D是AB的中点，则DE∥BC1.

又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

（3）由

（1）知CD⊥平面AA1B1B，

故CD是三棱锥C－A1B1D的高．

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，

∴AB＝2

，CD＝

.又BB1＝2，

∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝

S△A1B1D·CD＝

A1B1×B1B×CD＝

×2

×2×

＝

.

10.如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.

（1）求证：

AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：

AG⊥SD.

答案　

（1）略　

（2）略

证明　

（1）∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.

∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A.

∴BC⊥平面SAB.

又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE.

又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.

又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC.

又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.

又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.

（2）∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.

又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD.

又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.

又由

（1）有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，

∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC.

又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD.

11.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

AA1，D是棱AA1的中点．

（1）证明：

平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

答案　

（1）略　

（2）1∶1

解析　

（1）证明：

由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.

又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.

又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

（2）设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1.

由题意得V1＝

×

×1×1＝

.

又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1，

所以（V－V1）∶V1＝1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.

12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

答案　

（1）略　

（2）略　（3）略

解析　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD.

所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为BE∩EF＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

13.如图所示，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，A1C＝A1B，B1C1∥BC，B1C1＝

BC.

（1）求证：

平面A1AC⊥平面ABC；

（2）求证：

AB1∥平面A1C1C.

答案　

（1）略　

（2）略

证明　

（1）证明：

∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB.∴A1B＝

.∵A1C＝A1B，∴A1C＝

.

∴∠A1AC＝90°.

∴A1A⊥AC.∵AB∩AC＝A，∴A1A⊥平面ABC.

又∵A1A⊂平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.

（2）取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E.∵B1C1∥BC，B1C1＝

BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC.∴四边形CEB1C1为平行四边形．∴B1E∥C1C.

∵C1C⊂平面A1C1C，B1E⊄平面A1C1C，

∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC，B1C1＝

BC，

∴B1C1∥BE，B1C1＝BE.∴四边形BB1C1E为平行四边形．∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E.又∵四边形ABB1A1是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E.∴四边形AEC1A1为平行四边形．∴AE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1C，AE⊄平面A1C1C，∴AE∥平面A1C1C.

∵AE∩B1E＝E，∴平面B1AE∥平面A1C1C.

∵AB1⊂平面B1AE，∴AB1∥平面A1C1C.

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

答案　B

解析　对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.

2．（2014·四川文）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1；

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论．

思路　

（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）利用线面平行的判定定理即可得出结论．

解析　

（1）因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，

所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.

又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，

所以BC⊥平面ACC1A1.

（2）取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．

由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以MD綊

AC，OE綊

AC.

因此MD綊OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.

因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，

所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC.

3．（2015·四川绵阳二诊）如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥EF，∠AFE＝60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF＝FE＝AB＝

AD＝2，点G为AC的中点．

（1）求证：

EG∥平面ABF；

（2）求三棱锥B－AEG的体积；

（3）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？

若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

解析　

（1）证明：

取AB中点M，连接FM，GM.

∵G为对角线AC的中点，∴GM∥AD，且GM＝

AD.

又∵FE綊

AD，∴GM∥EF且GM＝FE.

∴四边形GMFE为平行四边形，∴EG∥FM.

又∵EG⊄平面ABF，FM⊂平面ABF，∴EG∥平面ABF.

（2）作EN⊥AD于N，

由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED＝AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E－ABG的高．

∵在△AEF中，AF＝FE，∠AFE＝60°，

∴△AEF是正三角形．

∴∠AEF＝60°，由EF∥AD，知∠EAD＝60°，∴EN＝AEsin60°＝

.

∴三棱锥B－AEG的体积为

V＝

·S△ABG·EN＝

×2×

×＝

.

（3）平面BAE⊥平面DCE.证明如下：

∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE.

∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE＝60°，∴∠FAD＝120°.

又在△AED中，EA＝2，AD＝4，∠EAD＝60°，

由余弦定理，得ED＝2

，∴EA2＋ED2＝AD2，∴ED⊥AE.

又∵ED∩CD＝D，∴AE⊥平面DCE.

又AE⊂平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE.

4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：

（1）AM∥平面BDC1；

（2）DC1⊥平面BDC.

证明　

（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，则MN綊

CC1.

又AD綊

CC1，

∴AD∥MN，且AD＝MN，

∴四边形ADNM为平行四边形，

∴DN∥AM，又DN⊂平面BDC1，AM⊄平面BDC1，

∴AM∥平面BDC1.

（2）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，

又CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC，

又由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

∴∠CDC1＝90°，∴DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，

∴DC1⊥平面BDC.