二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.docx

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二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方

第八章二次型

这一理论

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题,

.本章主要介绍二次

在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题

§8.1二次型及其矩阵表示

在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二

次曲线可以由一个二元二次方程给出:

axbxycydxeyf0

（1.1）

要区分（1.1）式是哪一种曲线（椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式）,我们通常分两步来做：

首

先将坐标轴旋转一个角度以消去

xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去

xy项，通常的坐标变换公式为

xxcos

ysin

yxsin

ycos

（1.2）

从线性空间与线性变换的角度看

，（1.2）式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关

键是给出一个线性变换，使（1.1）式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分

类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到

.为了讨论问题的方便，只

考虑二次齐次多项式.

定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：

f（X1,X2,L,Xn）aux,242X1X2L2^X1^

a22X22423X2X3L2a2nX2Xn

Lan1,n1Xn1

（1.3）

2an1,nxn1xnann人

称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R，则称f为实二次型；如果

数域P为复数域C，则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即

f（X1,X2,L,Xn）Chxjd2X22LdnXn2

称为标准形式的二次型，简称为标准形.

说明：

在这个定义中，非平方项系数用2aj主要是为了以后矩阵表示的方便

例8.1.2下列多项式都是二次型

f（x,y）x23xy3y2

f（x,y,z）2x22xy3xzy24yz罷Z

下列多项式都不是二次型

f（X,y）x23xy3y22x1

f（X,y,z）2x32xy4yz3z21

定义8.1.3设xi,X2,L,Xn；yi,y2丄

yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

Ch%

ey?

q/n

（21%

C2nyn

Cn2y2

Cnnyn

的一个

（1.4）

称为由X1,X2丄,Xn到y1,y2丄,yn

线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式

0,那么线性替换（1.4）就称为非退化的.

在研究二次型时，矩阵是一个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示

令aijaji,则有2ajXiXja^^Xj

ajjXjXj,于是（1.3）式可以改写为

f（X1,X2丄,Xn）*11X142为X2L

821X2X1822X2l

a1nX1Xn

a2nX2Xn

II2

Lan1XnX1an2XnX2La.nX.

X1（a11X1a12X2LamXn）

X2（*21X1822X2L

LXn（an1X,an2X2L

a2nXn）

annXn）

（X,,X2,L,Xn）

（Xi,X2,L

，Xn）

anX

12X2

a1nXn

a21X1

22X2

a2nXn

amX,

n2X2

annXn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

an1

an2

ann

a11

a21

记a21

a12

a22

an1

an2

a1n

a2n

ann

则二次型可记为

xtAx,

（1.5）

其中A是对称矩阵.称（1.5）式为二次型的矩阵形式

例8.1.4二次型f（x,y,z）2x22xy3xzy24yzJ3z2的矩阵形式为

f（x,y,z）（x,y,z）1

■2X

品z

说明：

任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵

.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确定

一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系.把对称矩阵A称为二次型

f的矩阵，也把f称为对称矩阵

A的二次型.

称对称矩阵A的秩为二次型的秩.

例8.1.5给定对称矩阵

则其对应的二次型为：

f（X1,X2,X3,X4）X,2

4x1x2

2^X3

6x1X4

6X2X3

2x2x43x|4x42

作线性替换X

Cy，其中

c11

CI2

C1n

021

C22

C2n

Cn1

Cn2

Cnn

对于二次型fxtAx,

fxTAx（Cy）TA（Cy）yTCTACy

yT（CTAC）y

BCTAC，则有BT（CTAC）TCTAT（CT）TCTACB,即B是对称矩阵.这

对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型

定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C，使得

CtACB

则称矩阵A与B合同，记作A;B.

合同是矩阵之间的一个关系.易知，合同关系具有：

（1）

反身性：

即A与A合同，因为AEtAE；

（C1）tbc1；

Bc/AC1和

.这样，我们就

对称性：

即若A与B合同，则B与A合同，因为由BCtAC,即得

传递性：

即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，

CC2TBC2,即得CC2TBC2（C1C2）TA（C1C2）.

说明：

经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以后的讨论提供了有力的工具.另外，在二次型变换时，

我们总是要求所作的线性替换是非退化的，因为这样我们可以把所得的二次型还原定理8.1.7若A与B合同,则rankArankB.

证明：

因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C,使得

CTACB

由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故rankArankB.

说明：

这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证•这样，若B是对角矩阵，则非退化的线

性替换XCy就把二次型化为了标准形•因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：

对

于对称矩阵A,寻找可逆矩阵C，使得CtACB为对角矩阵•

§8.2化二次型为标准形

现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题

，即只含有平

1配方法定理8.2.1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形方项.

证明：

对变量的个数n作数学归纳法.

对于n1，二次型就是f（X1）a11X12，显然已经是平方项了•现假定对n1元的二次型，定

理的结论成立.再设f（x1，x2，L，xn）

aijXiXj（aijaji）

分三种情形来讨论：

⑴aii（i1,2丄，n）中至少有一个不为零

，例如a11

0，这时

f（X1，X2，L，Xn）a11X12

a11X12

a11（x1

2a1jX1Xj

a11a1jXj）

a111a1jXj）2

a1jX1Xj

aijXiXj

2j2

a111（a1jXj）

bijXiXj

i2j2

ai1xix1

aijXiXj

i2j2

aijXiXj

这里

bijXiXj

a11（a1jXj）

aijXiXj

是一个关于X2,X3丄,Xn的二次型•令

这是一个非退化线性替换,它使

由归纳法假定，对

能使它变成平方和

于是非退化线性替换

1a11a1jxj

a111a1jyj

f（x1,x2,L,xn）

2a11y1

bijyiyj

2j2

bijyiyj有非退化的线性替换j2

c22y2

c23y3

c2nyn

c32y2

c33y3

c3nyn

cn2y2

cn3y3

cnnyn

d2z22d3z32L

2nzn

就使f（x1,x2,L,xn）变成

c22y2

c23y3L

c2ny

cn2y2

cn3y3L

cnny

xn）

2a11z1

d2z22

d3z3

f（x1,x2,L,

dnzn

即变成平方和了.根据归纳法原理,定理得证.

⑵所有aii（i1,2,L,n）都等于零，但是至少有一个的0（j2,3丄，n）,不失普遍性，设

a120.令

z1z2

它是非退化线性变换,且使

f（x1,x2,L,xn）2a12x1x2

2a12（z1

2a12z1

z2）（z1z2）L

2a12z2L

这时，上式右端是Zi,Z2丄,Z的二次型，且Z1的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.

⑶aiiai2Lain0,由对称性知a2ia3iLa.i0

根据归纳法假定,它能用非退化线

这时f（x1,x2,L,Xn）SijXjXj是n1元的二次型,

i2j2

性替换变成平方和.证毕.

例8.2.2用配方法化二次型

f（x1,x2,x3）x122x22

2x1x2

2x1x36x2x3

为标准形,并写出所用的非退化线性替换

解:

由定理的证明过程,令

x1x2x3

y1y2y3

得:

f（x1,x2,x3）y1

2y2

上式右端除第一项外已不再含

y1,继续配方,令

y22y3,

z22z3

得：

f（Xi,X2,X3）Zi

2z2

所有的非退化线性替换为

例8.2.3用配方法化二次型

f（Xi,X2,X3,X4）2X1X2

为标准形，并写出所用的非退化性替换

解：

由定理的证明过程，令

代入原二次型得：

f（Xi,X2,X3,X4）

这时yi2项不为零

，于是

f（Xi,X2,X3,X4）

（2y12

2[（y1

2y3

2y4）

2（%

1y3

1\2尹4）

2（y1

1“3

1\2二y4）

2y22

于是，f（Xi,X2,X3,X4）

Z1Z2Z3

Z22z3

X1X3

2yi2

2y1y32炖4）

124y3

1y3

1（y3

2y22

¥3¥4]

丫3丫4

y4）2

x1x4X2X3X2X42x3x4

2yiy32yiy42丫3丫4

2丫3丫4

2y222y3y4

2Z12

2z22

其中Z4的系数为零，故没有写出

尹3

2Z3

为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一个替换中，得

2Z3

—Z3

说明：

在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的.有时,我们在配方过

程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确.如

若令

则f（Xi,X2,X3）

f（Xi，X2，X3）

X2）2

（Xi

222

2x12x22x32x1x22x1x32x2x3

X3）2

（Xi

（X2

X3）2

2yi

y3.

然而，

所以，此处所作的线性替换是退化的

于是最后的结果并不是所求的

2初等变换法

由于二次型与对称矩阵

对应

所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用

矩阵的方法做到，由§8.i我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是，定理8.2.i可以

用矩阵的语言描述出来

定理8.2.4数域P上任意一个对称矩阵A都合同于一对角矩阵D.即存在可逆矩阵C,使

ctacd

（2.i）

现在我们就根据定理8.2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵C及对

角矩阵D.由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C可以表示为有限个初等矩阵Pi,P2,L,Pm

将（2.2）式代入（2.1）式,得

PmTLP2TP1TAP1P2LPmD

（2.3）

（2.3）式表明,对对称矩阵A施行m次初等行变换及相同的m次初等列变换,A就变为

这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵

了对角矩阵D.而（2.2）式表明对单位矩阵E施行上述的初等列变换,E就变为可逆矩阵C.

C及对角矩阵D,使得A与D合同的方法称为初等变

换法.具体做法:

对以n阶对称矩阵

A和n阶单位矩阵E做成的2n

n矩阵进行初等变换

对A施行初等行变换

对2nn矩阵施行相同的初等列变换

则CTACD.

例8.2.5已知对称矩阵

用初等变换法求可逆矩阵

C及对角矩阵

D,使得A与D合同.

解:

（1）r1

（1）c1

（1）r1

（1）c1

（2）r2

（2）c2

所求可逆矩阵

C及对角矩阵

D为:

且CTACD.

例8.2.6已知二次型

f（x1,x2,x3）

2x1x2

2x1x3

6x2x3

用初等变换法将其化为标准形

，并求非退化的线性替换

解：

二次型对应的矩阵为

于是有，

（尹

（扣

「3

4”2

4）C2

丄

故非退化线性替换为

丄

这样，二次型化为

2y12

2^2

y6y3

§8.3

惯性定理

我们知道，二次型与对称矩阵

对应

，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵.又因为合

同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的

个数是不变的，就是矩阵的秩.因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯

一确定的，与所作的非退化的线性替换无关

.至于标准形中的系数，就不是唯一确定的•比如

在例8.2.6中，我们还可以进一步，令

Z1V2y1，z2

则二次型化为fzjz22z32.

这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关

F面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题

设对称矩阵A的秩为r,则由定理

824知，存在可逆矩阵C，使得矩阵A合同于对角矩

阵D,即

ctacd

di0,i1,2,L,r

即此时原二次型化为

f（X1,X2,L,Xn）d1X1

在这些不为零的dj中,假设d10,d2

（1）在实数域内，我们令

yp1

d2X2d3X3

何X1,y2

Jdp1Xp1,yp2

drXr2

（3.1）

0,L,dp0;dp1

0,dp20,L,dr

0,这样

'^d2X2,L

庙Xp,

dp2Xp2,L

厂d?

则（3.1）式变为：

f（x,,x2,L,Xn）yj鸟2

ypyp1

2Lyr2

这就是说对称矩阵

A合同于下列对角矩阵：

其中有P个

1,r

P个1,nr

个0.

（2）在复数域内，我们令

则（3.1）式变为：

f（XhX2丄,xn）

斬X,y2

辰X2,L,yr7d?

Lyr2

这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵：

定义8.3.1

实二次型的

规范形.

定理8.3.2（

则必有

其中有

r个1.

在实数域内,称f（x1,x2,L,xn）

y12

y22

规范形;在复数域内,称f（x1,x2,L,xn）

惯性定理）设

y12

f（x1,x2,Ly22Lz22L

xn）

yp2

zq2

是一个

y2p1

zq2

证明:

用反证法.设pq,由前面知识知,

y12

y22

Lyp2

y2p1

zq1

又设

By,x

其中

于是，zC1By.令

因为pq,齐次线性方程组

yp2

y2p

y2p2Lyr2为

yr为复二次型的

n元实二次型,且f可化为两个规范形:

y2p2L

zq2

y2p2

yr2,

yr2

（3.2）

c11

c12

c1n

c21

c22

c2n

cn1

cn2

cnn

c11y1

c12y2

c1nyn

c21y1

c22y2

c2nyn

LLL

cn1y1

cn2y2

cnnyn

c11y1

c12y2

c1nyn

c21y1

c22y2

c2nyn

cq1y1

cq2y2

cqnyn

yP1

LLL

yn0

必有非零解（n个未知数,n（Pq）个方程式

）.令其中一个非零解为

y1a1，y2a2，L，yP

aP,yP1

0,L,yn

把这组解代入（3.2）式中的上式，得到:

2222

y12y22LyP2y2P1L

z2Lzq0，故（3.2）式中的下式为

22222

z1z2Lzqzq1Lzr

但这时z1

yr2

a12

a22

aP2

zq21

这样就得出了矛盾.

同理可证Pq也不可能.

于是Pq.证毕.

说明:

这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的

定义8.3.3在实二次型的规范形f（x1，x2，L，xn）

yP2

222

yP1yP2Lyr

中，则称r是该二次型的秩，P是它的正惯性指数

qrP是负惯性指数,s

Pq称为

f的符号差.

推论8.3.4两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数定理835设f（x1,X2丄,xn）是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以化为规范形，且规范形是唯一的.

推论8.3.6两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩

§8.4正定二次型

在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位.所以本节主要介绍实二次型，并讨论它们的

正定性.

定义8.4.1设f（Xi,X2,L,Xn）xTAx是一个n元实二次型,如果对任意n维列向量x0

都有:

（1）f0，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵;

（2）f0，则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵;

（3）f0，则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵;

（4）f0,则称f为半负定二次型,并称实对称矩阵A为半负定矩阵;

（5）f既不满足（3）,又不满足（4）,则称f为不定二次型,并称实对称矩阵A为不定矩阵.

例8.4.2已知A和B都是n阶正定矩阵,证明AB也是正定矩阵.

证明:

因为a和B都是n阶正定矩阵，所以A

A，BT

B,于是

（AB）TATBTAB

B也是对称矩阵.

又任意

x0，有xTAx0，xTBx0，从而

xT（AB）xxTAxxTBx0

即xT（AB）x是正定二次型，故aB是正定矩阵.

定理843n元实二次型f（Xi,X2丄，Xn）xtAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数

等于n.

证明:

设n元实二次型f（Xi,X2丄,xn）xtAx经过非退化线性替换xCy化为标准形

diyi2

充分性

已知di0（i1,2,L,n）,对于任意x0有yC1x0,故

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