整式乘除法的运算技巧.docx

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整式乘除法的运算技巧

（一）运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：

a^2-b^2=（a+b）（a-b）

a^2+2ab+b^2=（a+b）^2

a^2-2ab+b^2=（a-b）^2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式

1．平方差公式

（1）式子：

a^2-b^2=（a+b）（a-b）

（2）语言：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解

1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式

（1）把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：

a^2+2ab+b^2=（a+b）^2

a^2-2ab+b^2=（a-b）^2

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点

①项数：

三项

②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法

我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．

如果我们把它分成两组（am+an）和（bm+bn），这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．

原式=（am+an）+（bm+bn）

＝a（m+n）+b（m+n）

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式（m+n），因此还能继续分解，所以

原式=（am+an）+（bm+bn）

＝a（m+n）+b（m+n）

＝（m+n）•（a+b）．

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．

（六）提公因式法

1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．

2.运用公式x^2+（p+q）x+pq=（x+q）（x+p）进行因式分解要注意：

1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于

一次项的系数．

2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：

①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；

②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．

3．将原多项式分解成（x+q）（x+p）的形式．

（七）分式的乘除法

1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．

3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．

4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-（y-x），（x-y）^2＝（y-x）^2，

（x-y）^3＝-（y-x）^3．

5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．

6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．

（八）分数的加减法

1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．

2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．

3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．

4．通分的依据：

分式的基本性质．

5．通分的关键：

确定几个分式的公分母．

通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

6.类比分数的通分得到分式的通分：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

7．同分母分式的加减法的法则是：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。

8．异分母的分式加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

9．同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．

10．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．

11．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．

12．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．

（九）含有字母系数的一元一次方程

1．含有字母系数的一元一次方程

引例：

一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。

用x表示这个数，根据题意，可得方程ax=b（a≠0）

在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。

对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。

这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。

含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：

用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

初二数学（上）应知应会的知识点

因式分解

1.因式分解：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：

因式分解与乘法是相反的两个转化.

2．因式分解的方法：

常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.

3．公因式的确定：

系数的最大公约数•相同因式的最低次幂.

注意公式：

a+b=b+a；a-b=-（b-a）；（a-b）2=（b-a）2；（a-b）3=-（b-a）3.

4．因式分解的公式：

（1）平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）完全平方公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

5．因式分解的注意事项：

（1）选择因式分解方法的一般次序是：

一提取、二公式、三分组、四十字；

（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

（5）因式分解的最后结果要求加以整理；

（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

6．因式分解的解题技巧：

（1）换位整理，加括号或去括号整理；

（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.

⇔7．完全平方式：

能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“x2+px+q是完全平方式”.

分式

1．分式：

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式.

2．有理式：

整式与分式统称有理式；即.

3．对于分式的两个重要判断：

（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；

（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：

若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.

4．分式的基本性质与应用：

（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

（2）注意：

在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；

即

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.

5．分式的约分：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：

分式约分前经常需要先因式分解.

6．最简分式：

一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：

分式计算的最后结果要求化为最简分式.

7．分式的乘除法法则：

.

8．分式的乘方：

.

9．负整指数计算法则：

（1）公式：

a0=1（a≠0）,a-n=（a≠0）；

（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

（3）公式：

，；

（4）公式：

（-1）-2=1，（-1）-3=-1.

10．分式的通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：

分式的通分前要先确定最简公分母.

11．最简公分母的确定：

系数的最小公倍数•相同因式的最高次幂.

12．同分母与异分母的分式加减法法则：

.

13．含有字母系数的一元一次方程：

在方程ax+b=0（a≠0）中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：

在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

14．公式变形：

把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：

公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：

字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.

15．分式方程：

分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：

以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.

16．分式方程的增根：

在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：

在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.

17．分式方程验增根的方法：

把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：

由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.

18．分式方程的应用：

列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.

数的开方

1．平方根的定义：

若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：

（1）a叫x的平方数，

（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.

2．平方根的性质：

（1）正数的平方根是一对相反数；

（2）0的平方根还是0；

（3）负数没有平方根.

3．平方根的表示方法：

a的平方根表示为和.注意：

可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.

4．算术平方根：

正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为.注意：

0的算术平方根还是0.

5．三个重要非负数：

a2≥0,|a|≥0，≥0.注意：

非负数之和为0，说明它们都是0.

6．两个重要公式：

（1）;（a≥0）

（2）.

7．立方根的定义：

若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：

（1）a叫x的立方数；

（2）a的立方根表示为；即把a开三次方.

8．立方根的性质：

（1）正数的立方根是一个正数；

（2）0的立方根还是0；

（3）负数的立方根是一个负数.

9．立方根的特性：

.

和开方开不尽的数是无理数.π10．无理数：

无限不循环小数叫做无理数.注意：

11．实数：

有理数和无理数统称实数.

12．实数的分类：

（1）

（2）.

13．数轴的性质：

数轴上的点与实数一一对应.

14．无理数的近似值：

实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：

（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；

（2）要求记忆：