二次函数顶点式学案 1.docx
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二次函数顶点式学案1
二次函数顶点式
适用学科
数学
适用年级
初中
适用区域
全国
课时时长（分钟）
60
知识点
一般结论：
关于y轴对称，开口方向不变（二次项系数不变），只是顶点改变为关于y轴对称即可；关于x轴对称，开口方向相反（二次项系数改变为原二次项系数的相反数），顶点改变为关于x轴对称.
2．将y=-x2+2x+5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，平移后的解析式是什么？
∵y=-x2+2x+5=-（x2-2x+1-1）+5=-（x-1）2+6
∴该抛物线的顶点坐标为（1，6）
∴把点（1，6）先向下平移1个单位，再向左平移4个单位长度后得到点（-3，5），又由于是平行移动，所以二次项系数不变，即a=-1，故所得抛物线的解析式为y=-（x+3）2+5；亦即新抛物线的解析式为：
y=-（x-1+4）2+6-1=-（x+3）2+5.
一般地，把y=a（x-h）2+k的图象先向下平移k1个单位，再向左平移h1个单位，得到新抛物线的解析式为：
y=a（x-h+h1）2+（k-k1）；把y=a（x-h）2+k的图象先向上平移k1个单位，再向右平移h1个单位，得到新抛物线的解析式为：
y=a（x-h-h1）2+（k+k1），即如果是上移k1个单位，则给顶点纵坐标加k1，如果是下移k1个单位，则给顶点纵坐标减k1，如果是左移h1个单位，则给顶点横坐标加h1个单位，如果是右移h1个单位，则给顶点横坐标减h1个单位.
教学目标
1.知识：
（1）自主探索y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式、对称轴方程、最值公式.
（2）体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2.能力:
（1）会应用配方法把二次函数的一般式化为顶点式.
（2）会熟练运用配方法和公式法解决有关二次函数的实际问题.
3.情感与价值观:
（1）进一步体会从简单到复杂，从一般到特殊的数学思想方法.
（2）体会数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣，发展学以致用的精神.
教学重点
运用二次函数的顶点坐标公式和对称轴方程解决有关实际问题.
教学难点
把实际问题转化为数学问题的过程
教学过程
一预习复习
一、 创设情境，引入新课
在前几节课，我们学习了二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象及性质，而我们第4节的课题是：
y=ax2+bx+c（a≠0），（北师大版九年级数学下册），它们之间又是什么关系？
你能解决下列问题吗？
1．你能把y=a（x-h）2+k（a≠0）化成y=ax2+bx+c（a≠0）的形式吗？
（去括号，合并同类项）反之你能把y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式吗？
2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？
是如何得到的？
（复习配方法）
二、知识讲解
考点1
一般结论：
关于y轴对称，开口方向不变（二次项系数不变），只是顶点改变为关于y轴对称即可；关于x轴对称，开口方向相反（二次项系数改变为原二次项系数的相反数），顶点改变为关于x轴对称.
2．将y=-x2+2x+5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，平移后的解析式是什么？
∵y=-x2+2x+5=-（x2-2x+1-1）+5=-（x-1）2+6
∴该抛物线的顶点坐标为（1，6）
∴把点（1，6）先向下平移1个单位，再向左平移4个单位长度后得到点（-3，5），又由于是平行移动，所以二次项系数不变，即a=-1，故所得抛物线的解析式为y=-（x+3）2+5；亦即新抛物线的解析式为：
y=-（x-1+4）2+6-1=-（x+3）2+5.
考点2
一般地，把y=a（x-h）2+k的图象先向下平移k1个单位，再向左平移h1个单位，得到新抛物线的解析式为：
y=a（x-h+h1）2+（k-k1）；把y=a（x-h）2+k的图象先向上平移k1个单位，再向右平移h1个单位，得到新抛物线的解析式为：
y=a（x-h-h1）2+（k+k1），即如果是上移k1个单位，则给顶点纵坐标加k1，如果是下移k1个单位，则给顶点纵坐标减k1，如果是左移h1个单位，则给顶点横坐标加h1个单位，如果是右移h1个单位，则给顶点横坐标减h1个单位.
三例题精析
【例题1】
【题干】（2011•桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=﹣（x+1）2+2
B．y=﹣（x﹣1）2+4
C．y=﹣（x﹣1）2+2
D．y=﹣（x+1）2+4
【答案】B．
【解析】先将原抛物线化为一般形式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．
解：
由原抛物线解析式可变为：
y=（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（﹣1，2），与y轴交点的坐标为（0，3），
又由抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，
∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称，
∴新的抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴新的抛物线解析式为：
y=﹣（x﹣1）2+4．
【例题2】
【题干】、抛物线y=（x+2）2-3对称轴是（ ）
A．x=-3
B．x=3
C．x=2
D．x=-2
【答案】D
【解析】本题主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
直接利用二次函数的顶点式求得．
解：
根据抛物线的顶点式可知，
顶点横坐标x=2，所以对称轴是x=-2．
故选D．
【例题3】
【题干】.抛物线的对称轴是（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】A
【解析】
考点：
二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
二次函数的顶点式y=（x-h）
+k，对称轴为x=h．
解答：
解：
抛物线y=（x-1）
+3的对称轴是直线x=1．
故选A．
点评：
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y=（x-h）
+k中，对称轴为x=h．
三、课堂运用
【基础】
1、抛物线y=（x+2）2-3对称轴是（ ）
A x=-3 Bx=3 C x=2 D x=-2
2、二次函数
的最小值是（ ）．
A．2
B．1
C．－3
D．
3、与抛物线
关于x轴对称的图象表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
[巩固]
1、与抛物线
关于y轴对称的图象表示的函数关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是（ ）
A．（-1，-5）
B．（1，-5）
C．（-1，-4）
D．（-2，-7）
3、抛物线
的顶点坐标为_______________________．
[拔高]
1、已知二次函数
，当x＝_________时，函数达到最小值
2、当
_____________时，二次函数
有最小值．
3、二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.
四、课程小结
本节课我们学习了哪些内容?
你掌握了哪些知识？
本节课我们学习了二次函数顶点式，一般结论：
关于y轴对称，开口方向不变（二次项系数不变），只是顶点改变为关于y轴对称即可；关于x轴对称，开口方向相反（二次项系数改变为原二次项系数的相反数），顶点改变为关于x轴对称.
2．将y=-x2+2x+5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，平移后的解析式是什么？
∵y=-x2+2x+5=-（x2-2x+1-1）+5=-（x-1）2+6
∴该抛物线的顶点坐标为（1，6）
∴把点（1，6）先向下平移1个单位，再向左平移4个单位长度后得到点（-3，5），又由于是平行移动，所以二次项系数不变，即a=-1，故所得抛物线的解析式为y=-（x+3）2+5；亦即新抛物线的解析式为：
y=-（x-1+4）2+6-1=-（x+3）2+5.
一般地，把y=a（x-h）2+k的图象先向下平移k1个单位，再向左平移h1个单位，得到新抛物线的解析式为：
y=a（x-h+h1）2+（k-k1）；把y=a（x-h）2+k的图象先向上平移k1个单位，再向右平移h1个单位，得到新抛物线的解析式为：
y=a（x-h-h1）2+（k+k1），即如果是上移k1个单位，则给顶点纵坐标加k1，如果是下移k1个单位，则给顶点纵坐标减k1，如果是左移h1个单位，则给顶点横坐标加h1个单位，如果是右移h1个单位，则给顶点横坐标减h1个单位.
课后作业
【基础】1、用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=a（x-h）2+k的形式为___________.
2、已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____.
3、两个数的和为4，这两个数的积最大可以达到_______.
【巩固】
1、已知m，n是正整数，代数式x2+mx+（10+n）是一个完全平方式，则n的最小值是 _________ ，此时m的值是 _________ ．
2、一个完全平方式为a2+■+9b2，但有一项不慎被污染了，这一项应是 _________ ．
3、若
是一个完全平方式，则k= _________ ．
【拔高】
1、若x2+2kx+
是一个关于x的完全平方式，则常数k= _________ ．
2、若x4+y4+m是一个完全平方式，则整式m为 _________ ．
3、抛物线
，关于x轴对称的图象的关系式是_______________．
4、已知4y2+my+9是完全平方式，则代数式m2+2m+1的值为 _________ ．
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