排列组合与概率统计专题复习.docx
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排列组合与概率统计专题复习
排列组合与概率统计专题
一、2012年考纲要求
（1）理解排列、组合的意义，掌握计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.；
（2）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.；
（3）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件、等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；
（4）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
（5）会计算事件n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；
（6）了解离散型随机变量及其期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；
（7）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本，用样本频率分布去估计总体分布；
（8）了解正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用.
二．经典例题剖析
考点一排列、组合的应用问题
1.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点（均除O点外），连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有（）
解析：
方法1：
从OA边上（不包括O）中任取一点与从OB边上（不包括O）中任取两点，可构造一个三角形，有C
C
个；第二类办法
从OA边上（不包括O）中任取两点与OB边上（不包括O）中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C
C
个；第三类办法
从OA边上（不包括O）任取一点与OB边上（不包括O）中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C
C
个
由加法原理共有N=C
C
+C
C
+C
C
个三角形
方法2
从m+n+1中任取三点共有C
个，其中三点均在射线OA（包括O点），有C
个，三点均在射线OB（包括O点），有C
个
所以，个数为N=C
－C
－C
个
答案
C
2.如图，一环形花坛分成
四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）.
A．96B．84C．60D．48
解析：
解法一当选两种不同的花时，有
种，选三种不同的花
时有
种，选四种不同的花时有
种，共有
种.
解法二当A、C种同一种花时，有
种，当A、C种不同的花时，有
种，共有
种，故选B.
3.将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A.540B.300C.180D.150
解析：
将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，１两种，所以共有
种方案，故D正确．
4.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为
的种数是
，顺序有
种，而甲乙被分在同一个班的有
种，所以种数是
故C正确.
5.已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A）33（B）34（C）35（D）36
解：
不考虑限定条件确定的不同点的个数为
＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A
6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是.
A．152B．126C．90D．54
解析：
甲乙从事同一样工作，有
种安排方案，甲乙从事不同工作，有
种安排方案，则共有
种，应选C.
考点二、二项式定理的应用
7.设
，则
解析：
令
得
令
时
令
时
两式相加得：
两式相减得：
代入极限式可得，故0
8.
的展开式中，
的系数与
的系数之和等于.
解析：
由二项式定理，
的系数为
的系数为
，故系数和为
.
9.若多项式
-10
10.已知
的展开式前三项中的x的系数成等差数列。
求展开式里所有的x的有理项；
求展开式里系数最大的项。
解析：
（1）∵
由题设可知
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项
据题意，
必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8
∴r=0，4，8，故x的有理项为
，
，
设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有
≥1且
≤1
∵
由
≥1得r≤3
又∵
由
≤1得：
r≥2
∴r=2或r=3所求项为
和
考点三、概率
11.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率为.
A、
B、
C、
D、
解析：
因为
为实数，
所以
故
则可以取1、2
6，共6种可能，所以
12.一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）
A．
B．
C．
D．
解析：
设“取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数”为事件A，则A包含的有利事件有
种，而从中任取两个球共有n=
种结果，由等可能性事件的概率公式知,
故选D.
13.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件
：
“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件
：
“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率
．
解析：
（1）记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则
互斥，且
，故
于是
．解得
（舍去）．
（2）记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则
．
∴
14.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是.
A．
B．
C．
D．
解析：
依题意有
则A、B至少有一个发生的概率是
故选C.
15．抛一枚均匀的骰子来构造数列
（1）求
的概率；
（2）若
的概率.
解：
（1）设事件
为A，则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数，而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为
。
。
（2）若
，即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数.若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数，其概率：
；若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：
∴所求事件的概率
16.栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为
，
，移栽后成活的概率分别为
，
．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
解：
分别记甲、乙两种果树成苗为事件
，
；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件
，
，
，
，
，
．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件
则
，
．恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：
恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
17.四棱锥
的所有棱长均为1米，一只小虫从
点出发沿四棱锥爬行，若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的。
设小虫爬行
米后恰回到
点的概率为
。
（1）求
的值；
（2）求证：
；
（3）求证：
解：
（I）P2表示从S点到A（或B、C、D），然后再回到S点的概率，
∴；因为从S点沿SA棱经过B或D，然后再回到S点的概率为，所以。
（2）设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn，那么表示爬行n米后恰好没回到S点的概率，
则此时小虫必在A（或B、C、D）点，所以。
（3）由，从而，
所以
。
考点四、随机变量的分布列、期望和方差
18.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）。
现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号。
（1）求ξ的分布列，期望和方差；
（2）若
，
，
，试求a,b的值.
解析：
（1）
的分布列为：
0
1
2
3
4
P
（2）由
，得
，即
，又
，所以
当
时，由
，得
；
当
时，由
，得
.
，或
，即为所求.
19.一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记
；出现“×”，则记
，令
（1）当
时，记
，求
的分布列及数学期望；
（2）当
时，求
的概率.
解：
（I）
的取值为1，3，又
∴ξ的分布列为（略）.
∴Eξ=1×
+3×
=
.
（2）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.故此时的概率为
20.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数
的概率分布。
每次取出的产品不再放回；
每次取出的产品仍然放回去；
每次取出一件次品后，再另放一件正品放回到这批产品中。
解析：
（1）由于总共7件正品，3件次品，所以，
可能取的值有1，2，3，4.取这些值时的概率分别为：
所以，
的分布列为：
（2）由于每次取出的产品仍放回去，下次取时和前一次情况完全相同，所以，
可能取的值是
，相应取值的概率为：
，
┅
.
所以，
的分布列为：
┅
┅
┅
┅
（3）与
（1）的情况类似，
可能取的值有1，2，3，4.取这些值时的概率分别为：
，
.
所以，
的分布列为：
21.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量
，求
的分布列和数学期望.
解析：
依题意，可分别取
、6、
11取，则有
的分布列为：
5
6
7
8
9
10
11
P
22．甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为
（1）求n的值；
（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得
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