概率论课本作业第一章.docx
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概率论课本作业第一章
第一章
1、一般事件（复合事件）：
由不止一个样本点做成的事件。
以下哪些试验是随机试验。
（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；
（2）记录某电话传呼台在一分钟内接到的呼叫次数；
（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；
（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；
（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置。
：
（1）
（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验。
2、写出下列随机试验的样本空间。
（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；
（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；
（3）记录某汽车站在5分钟内到达的乘客数；
（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；
（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；
（6）观察一次地震的震源；
：
（1）
{1,2,3,4,5}；
（2）
{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；
（3）
{0,1,2,3,4...}
（4）
其中x表示灯泡的寿命；
（5）
其中x、y分别表示弹着点的横坐标、纵坐标；
（6）
其中x、y、z分别表示震源的经度、纬度、离地面的深度。
3、抛掷一个骰子，观察出现的点数。
用A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数大于4”，C表示“出现的点数为3”,D表示“出现的点数大于6”，E表示“出现的点数不为负数”，
（1）写出实验的样本空间；
（2）用样本点表示事件A、B、C、D、E；
（3）指出事件A、B、C、D、E何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。
:
（1）
{1,2,3,4}；
（2）
{1，3，5}，
{5，6}，
{3}，
，
{1，2，3，4，5，6}；
（3）C为基本事件，E为必然事件，D为不可能事件。
1．先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，请写出样本空间。
1．答案：
2．10个产品，其中2个次品，现从中任取3个产品，用A表示“取到的3个中恰有一个次品”，B表示“取到的3个中没有次品”，C表示“取到的3个都是次品”，D表示“取到的3个中次品数小于3”。
（1）写出样本空间；
（2）用样本点表示事件；
（3）指出事件A、B、C、D何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。
2．答案：
（1）
其中：
0表示正品，1表示次品；
（2）
，
，
，
；
（3）B为基本事件，D为必然事件，C为不可能事件。
：
设
、
、
为三个事件，用
、
、
的运算式表示下列事件：
（1）
发生而
、
都不发生；
（2）
与
发生而
不发生；
（3）
、
、
三事件都发生；
（4）这三个事件恰好发生一个；
（5）这三个事件至少发生一个；
（6）这三个事件至多有一个不发生。
：
（1）
或
或
；
（2）
或
或
；
（3）
；
（4）
；
（5）
或
；
（6）
。
：
试证：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
：
（1）右边
=左边；同理可证
（2），（3）。
一、判断题
1．“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生。
（B）
A正确
B错误
2．从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示“抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示“抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。
（B）
A正确
B错误
二、单项选择题
设A、B为二事件，事件
可化简为。
（D）
AA
BB
CA-B
DB-A
：
抛掷二次硬币，求结果都是反面的概率。
：
设事件
=“二次抛掷均出现反面在上”，
{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，因样本空间有限，且每种结果发生的可能性相同，故是古典概型；
=｛（反，反）｝，此时，
，
，故
。
一、计算题
1．抛掷三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。
1．答案：
7/8
2．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
答案：
1/2
3．抛两个骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为6；
（2）点数之和不超过6；
（3）至少有一个6点。
答案：
（1）5/36
（2）5/12（3）11/36
：
把七个不同的球扔进四个有号码的盒子，每个球落在任何一个盒子的机会是相等的，那么第一个盒子恰好有两个球的概率是多少？
：
由盒子模型问题
（2）知，所求概率为：
：
袋中有
只黑球，
只白球，从中依次不放回地模三次，每次摸一个球，求下列事件的概率：
（1）A=“仅第二次摸得黑球”；
（2）B=“三次中恰有一次摸得黑球”；
（3）C=“至少有一次摸得黑球”。
：
（1）关心的事件与顺序有关，仿抽签问题做法，应该算排列，得
；
（2）关心的事件与顺序无关，仿超几何概率问题做法，应该算组合，得
；
（3）利用概率的可加性，不考虑顺序，得
或
。
一、填空题
1.一袋中有编号为0，1，2，…，9的球共10只，某人从中任取3只球，则
（1）取到的球最小号码为5的概率为；
（2）取到的球最大号码为5的概率为。
2.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则
（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；0.1
（2）“第一卷出现在旁边”的概率为。
0.4
二、单项选择题
1．袋中装有1，2，…，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（A）。
A
B
C
D
2.从6双不同的手套中任取4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（B）。
A
B
C
D
1：
在圆内取一直径EF，然后在EF上随机的取一点为中心作弦，可得其概率为
。
2：
设弦AB的一端固定在圆上，另一端在圆上随机的取一点作弦，可得其概率为
。
3：
在半径为
的同心圆内任取一点，以它为中心作弦，可得其概率为
。
：
两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去，试求这两个人能会面的概率。
：
以
，
分别表示两人到达的时刻，有
“两人能会面”
“
”。
将
，
作图（如上）。
这是一个几何概率问题
=5/9
：
如图,设
“任投一针与平行线相交”。
又设
表示针的中点与最近一条平行线的距离，
表示针与最近一条平行线的交角。
显然
，
。
一、计算题
1．在长度为
的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。
1．解：
设
分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为
，则
，
又设
=“三条线段能构成一个三角形”
=
=
的面积为
，则
。
窗体底端窗体底端
2．在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R的概率。
2．解：
设
表示弦与垂直于弦的直径的交点到圆点O的距离，则
，
又设
=“弦长大于R”
=
故
：
抛掷一枚均匀的硬币，样本空间为：
其中
=（正面），
=（反面），
。
：
（德.梅尔问题）一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到？
：
设
“一颗骰子投4次至少得到一个六点”，则
“一颗骰子投4次都没有出现六点”。
因而
；
又设
“两颗骰子投24次至少得到一个双六”，有
于是我们知道，前者机会大于后者的机会。
：
已知事件A、B、A∪B分别为0.4，0.3，0.6，求
。
：
。
1．一口袋中装有
只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第
次摸球时摸到黑球的概率是多少？
1．解：
设
“第
次摸球摸到黑球”，
“第
次摸球摸到白球”=“前
－1次摸到为黑球，第
次摸到为白球”，故
故
。
1．若A、B为二事件，
，则
0.7
一、单项选择题
1.
，
，
，
（A）。
A
B
C
D
2.设
，则必有（A）。
A
B
C
D
1．设
则
r-q
2.在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。
在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则
（1）“只订A报及B报的”概率为0.07
；
（2）“只订A报的”概率为0.3
：
设有100件产品中有5件是不合格品，用下列2种方法抽取2件，求2件都是合格品的概率。
1．不放回顺序抽取；
2．放回顺序抽取。
：
设
“第
次抽出为合格品”。
（1）
；
（2）
。
：
（波利亚pólya罐模型）罐中
只黑球及
只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球
只，再摸第二次，这样下去共摸了
次，问前面的
次出现黑球，后面的
次出现红球的概率是多少？
：
设
“第
次取出为黑球”，
=1，2，…，
，所求概率为：
1．设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球（不放回）,则三只球依次为黑白黑的概率为
2．设随机事件A的概率为P（A）=0.5,随机事件B的概率为P（B）=0.4，条件概率
，则
=0.8
二、计算题
1．甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，已知甲市下雨的情况下，求乙市下雨的概率。
1．解：
设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”
2．假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：
（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；
（2）当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。
2．解：
设A:
表示“甲河泛滥”，B:
表示“乙河泛滥”，
（1）
（2）
一、计算题
1．炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,求目标被击毁的概率。
1．解：
设A表示“目标被击中”，
表示“炮弹距目标250米射出”，
表示“炮弹距目标200米射出”，
表示“炮弹距目标150米射出”，
：
在数字通讯中，由于存在着随机干扰，因此接到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常要计算各种概率。
现发报机以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于受到随机干扰的影响，发出信号0时收到信号为0和1的概率分别为0.8和0.2，同样，发出信号1时，收到信号为1和0的概率分别为0.9和0.1，求当收到信号0时，原发信号也是0的概率。
：
设
“发出0”，
“收到0”，由贝叶斯公式：
：
假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。
用
表示“被检验者患有肝癌”，
表示“血清甲胎球蛋白检验为阳性”。
已知
，又设在自然人群中
，现若有一人在此检验中检查结果为阳性，求此人真正患有肝癌的概率
。
=0.0038
性质1：
若事件
、
独立，且
，则
证明：
由条件概率定义得：
性质2：
若事件
与
独立，则下列各对事件也相互独立。
：
由
故
与
独立。
同理可得另外两对。
：
设A、B为两个随机事件，且
，证明：
若
，则A与B相互独立。
：
由定义知，A与B相互独立。
：
设甲、乙两射手独立地同时射击一目标，他们击中目标的概率分别为0.9，0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。
：
设
=“目标被击中”，
=“甲击中目标”，
=“乙击中目标”
则
；
由题意
与
相互独立，故有
＝0.9＋0.8－0.90.8＝0.98。
另解：
二、多个事件的独立性
：
（三个事件的独立性）：
设有三个事件
，若
（2）
成立，则称三事件
相互独立。
事实上，定义中的
（1）、
（2）不能相互代替。
一般地有
：
（
个事件的独立性）：
设有
个事件
，…
，若对于所有的组合
，都有
成立，则称事件
相互独立。
在解决实际问题中，常常可以根据实际情况判断事件的独立性，然后利用定义去计算这些事件乘积的概率。
：
假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。
：
设
=“第
个人的血清中含有肝炎病毒”，
。
由题意知若
相互独立，所求概率为
一、单项选择题
1．对事件A、B，下列说法正确的是（D）。
A若A与B互不相容，则
与
也互不相容
B若A与B相容，则
与
也相容
C若A与B互不相容，则A与B相互独立
DA与B相互独立，则
与
也相互独立
2．设事件
、
的概率均大于零，且
与
互为逆事件（或对立事件），则有（B）。
A
与
相互独立
B
与
互不相容
C
与
相等
D
包含
或
包含
二、判断题
1．设A、B、C为三事件，若它们两两独立，则它们必相互独立。
（B）
A正确
B错误
2．设
，若A与B互不相容，则A与B必不相互独立。
（A）
A正确
B错误
三、证明题
1.设A、B、C三事件相互独立，证明：
（1）
与C相互独立；
（2）
与C相互独立。
1．证明:
（1）
由定义知
与C相互独立。
（2）
由定义知
与C相互独立。
：
若在
件产品中有
件废品，现进行
次有放回的抽样检查，问共抽得
件废品的概率是多少？
：
由于抽样是有放回的。
因而每次是否抽得废品与其它各次是否抽得废品无关。
若将每一次抽取看成一次试验，则
次有放回的抽取可看成
次重复独立试验，且抽到为废品的概率均为
，因而是贝努里概型。
于是所求概率为
，
。
：
设有8门大炮独立地同时向一目标各发一弹，若有不少于2发炮弹击中目标，目标算作被击毁。
如果每门炮命中目标的概率为0.6，求击毁目标的概率是多少？
：
将每门炮的一次射击结果看成一次试验，且每门炮击中与否是相互独立的，故本问题可看成
=8的贝努里试验，且
（击中）=0.6，于是所求概率为
。
一、计算题
1．掷硬币出现正面的概率为P，掷了n次，求下列事件的概率：
（1）至少出现一次正面；
（2）至少出现两次正面。
1．解：
设
表示第
次出现正面，则
（1）
（2）
2．最近来某房产公司的100为顾客中有一位顾客购买了该公司的一所房子，根据这个比例，在接下来到的50位顾客中恰好有一位购买该公司房子的概率是多少？
2．解：
。
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